Además de la segunda ley de la termodinámica, ¿qué leyes de la óptica impiden que la temperatura del punto focal de la lente sea más caliente que la fuente de luz?

"... ¿hay alguna manera de demostrar que podrías construir una máquina de movimiento perpetuo a partir de esto?"

Sí. Concentre el calor radiante de un depósito térmico en un punto que, según la hipótesis, se eleva a una temperatura más alta a través de su concentración en un área más pequeña. Ahora conecte el motor térmico, un motor de Carnot, entre el punto caliente como entrada de calor del motor y el depósito original como salida de calor. Ahora el motor funcionará, generando trabajo. Su hipótesis significa que tiene un sistema de motor térmico que convierte espontáneamente el calor en el depósito térmico en trabajo y ahí está su máquina de movimiento perpetuo (del llamado segundo tipo ).

Obligatorio en cualquier conversación de este tipo es el artículo Fire From Moonlight de Randal Munroe .

Una forma de entender todo esto es notar que los sistemas ópticos son reversibles, de modo que si la luz puede pasar desde el punto A en la entrada hasta el punto B en la salida, la luz también puede ir en sentido contrario. Entonces, si un cuerpo caliente dirige su calor radiante hacia otro objeto a través de un sistema de lentes, la temperatura de este último comenzará a aumentar naturalmente. Eso significa que el segundo cuerpo irradiará hacia el primer cuerpo. Si el segundo cuerpo se calentara más que el primero, estaría devolviendo una potencia calorífica mayor al primero por los caminos inversos de donde procedía el calor incidente. Por lo tanto, la transferencia de calor se detendrá antes de que el segundo cuerpo alcance la temperatura del primero.

La segunda ley de la termodinámica en óptica es equivalente al no decreciente de étendue , que es el volumen de un sistema de rayos que representa un campo de luz en el espacio de fase óptica y, por lo tanto, una medida de entropía. Si étendue no se puede disminuir, esto significa que la densidad de rayos en el espacio de fase no se puede aumentar; a su vez, esto significa que los ángulos de divergencia de un conjunto de rayos deben aumentar si el área que atraviesan se reduce. Esto significa que la luz de cualquier punto de un cuerpo caliente no se puede hacer más brillante en el punto donde alcanza el cuerpo objetivo.

Esta es también la razón por la cual un láser funciona de manera diferente si tratamos de razonar como arriba. Si la energía llega a un cuerpo a través de un láser, las trayectorias de la luz incidente tomadas tienen una extensión cercana a cero: casi no hay dispersión del haz. El segundo cuerpo se calentará cada vez más, pero el calor radiante del segundo cuerpo caliente se dispersa en todas las direcciones (esto es fundamental para la radiación de cuerpo negro: no existe la radiación de cuerpo negro colimada). Por lo tanto, casi nada de la luz radiada se acepta de regreso a lo largo del rango extremadamente estrecho de caminos de regreso al láser. La luz láser es una luz que no está en equilibrio: es el equivalente óptico del trabajo termodinámico, en lugar del calor.

Además de los argumentos termodinámicos, se puede demostrar que étendue se conserva muy generalmente en sistemas ópticos pasivos utilizando la formulación de geometría hamiltoniana / simpléctica del principio de Fermat. Discuto esto con más detalle en esta respuesta aquí . El principio de Fermat significa que la propagación a través de medios no homogéneos en los que el índice de refracción (ya sea que el material sea isotrópico o no) varía suavemente con la posición corresponde a flujos hamiltonianos en el espacio de fase óptica; Se puede demostrar que espejos, lentes y otras transformaciones "abruptas", así como flujos hamiltonianos suaves, imparten simplectomorfismosdel estado de la luz en el espacio de fase, lo que significa que conservan ciertas formas diferenciales, entre ellas la forma volumétrica. Todo esto significa que el volumen de cualquier sistema de rayos en el espacio de fase óptica siempre se conserva cuando los rayos son transformados por estos sistemas. Este es el célebre Teorema de Liouville .

Hay una forma más tosca pero quizás más accesible de entender todo esto en óptica. Linealizamos el comportamiento de un sistema sobre cualquier rayo de referencia a través del sistema y escribimos matrices que describen la transformación lineal de todos los sistemas ópticos de bloques de construcción. Puede parecer que la linealización implica una aproximación y, por lo tanto, algo que generalmente no es cierto, pero deténgase con este pensamiento: este no es el caso. Este es el método de matriz de transferencia de rayos y estas transformaciones lineales describen la acción del sistema en los rayos que están cerca del rayo de referencia (el "rayo principal") del campo de luz en el espacio de fase óptica. Estas matrices actúan sobre el estado$X$de un rayo en el plano de entrada de un subsistema óptico:

dónde$(x,\,y)$es la posición en el plano de entrada del rayo,$(\gamma_x,\,\gamma_y)$son los$x$y$y$componentes de los cosenos directores de la dirección del rayo y$n$es el índice de refracción en el plano de entrada en la posición del rayo de referencia. Las cantidades$n\,\gamma_x$y$n\,\gamma_y$son los momentos ópticos conjugados (en el sentido de la mecánica hamiltoniana) a las posiciones$x$y$y$; Curiosamente, son de hecho equivalentes (escala de módulo por la constante$\hbar\,\omega/c$) hacia$x$y$y$componentes del momento fotónico$\hbar\,\vec{k}$, dónde$\vec{k}$es el vector de onda, pero este hecho es un aparte. (1) describe nuestros puntos en el espacio de fase óptica.

Ahora anotamos las matrices que representan la acción linealizada de cada componente óptico que se nos ocurra; por ejemplo, una lente delgada (que representa el comportamiento paraxial de una superficie óptica) impartirá la matriz:

Si estudias la acción de esta matriz, verás que transforma un haz colimado en uno que converge a un punto a una distancia$f$del plano de entrada.

Un punto clave a tener en cuenta es que esta matriz tiene un determinante de 1. Si revisa la lista de todos los componentes ópticos pasivos posibles, encontrará que las matrices que describen su comportamiento paraxial tienen un determinante unitario (son unimodulares). ). Entonces, todos se multiplican para dar una matriz de transferencia de rayos unimodular del sistema general construido a partir de estos subsistemas encadenados.

Este determinante es el jacobiano de la transformación general, no linealizada, no aproximada , que el sistema imparte a cualquier sistema de rayos. Podemos imaginarnos recalcular una matriz de cada vecindad de cada rayo principal en un volumen de rayos arbitrario, no infinitesimal en el espacio de fase. Todas estas matrices serán unimodulares, por lo que lo que hemos mostrado es la idea clave:

el jacobiano$J(X)$de la transformación realizada por cualquier sistema óptico pasivo es la unidad en todos los puntos$X$en el espacio de fase .

Esto significa que si calculamos el volumen$\int\mathrm{d}V$de un sistema de rayos en el espacio de fase, entonces el volumen de sus imágenes$\int\,J(X)\,\mathrm{d}V$será exactamente el mismo para cualquier componente óptico pasivo. Así que hemos mostrado la versión exacta de la ley de conservación de la extensión para la óptica sin necesidad de toda la maquinaria de la geometría simpléctica y la mecánica hamiltoniana.