Aceleración sin fuerza en relatividad especial

Consideremos una partícula relativista de masa$m$y carga$q$en un campo eléctrico constante$\mathbf{E}=E\mathbf{\hat{j}}$moviéndose en dos dimensiones espaciales, una extensión relativista del conocido problema del movimiento de proyectiles. Para facilitar los cálculos, usaré el hamiltoniano para encontrar las ecuaciones de movimiento. Es$H=\sqrt{m^2c^4+(p_x^2+p_y^2)c^2}-qEy$, y las ecuaciones de Hamilton¹ dan las siguientes ecuaciones de movimiento para las posiciones y momentos:

$$\dot{p}_x=0, \dot{p}_y=qE$$ $$\dot{x}=\frac{p_xc^2}{\sqrt{m^2 c^4+(p_x^2+p_y^2)c^2}}, \dot{y}=\frac{p_yc^2}{\sqrt{m^2 c^4+(p_x^2+p_y^2)c^2}},$$ donde un punto sobre una variable representa un derivado WRT el tiempo de coordenadas$t$y mientras que en la mecánica no relativista la trayectoria es una parábola, en la mecánica relativista es una hipérbola. Las fórmulas para los componentes del impulso en función del tiempo coordenado en el$x$y$y$Las direcciones se encuentran trivialmente para ser$p_x(t)=p_{x,0}$y$p_y(t)=p_{y,0}+qEt$. Podemos sustituir estos resultados en las ecuaciones por$x$y$y$para encontrar que en el$x$dirección y factorización para eliminar$c$es que tenemos $$\dot{x}=\frac{p_{x,0}c}{\sqrt{m^2 c^2+p_{x,0}^2+(p_{y,0}+qEt)^2}},$$ sin embargo, se ve fácilmente que el$x$componente de la velocidad no es constante, es decreciente. Hay una aceleración distinta de cero a pesar de que no hay ninguna fuerza que actúe sobre ella. ¿Cómo es eso posible? ¿Cuál es la razón física de este fenómeno relativista?

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¹: en su forma estándar$\dot{p}_i=-\frac{\partial H}{\partial x_i}$y$\dot{x}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}$