¿A qué corrimiento al rojo cosmológico zzz, la velocidad de recesión es igual a la velocidad de la luz? ¿Cómo se calcula?

El número exacto depende del modelo cosmológico y sus parámetros. En los modelos relativistas especiales (por ejemplo, el modelo de Milne), el corrimiento al rojo a la velocidad de la luz es, por supuesto, infinito. Sin embargo, en todos los modelos cosmológicos viables, las velocidades de recesión exceden la velocidad de la luz para objetos con corrimientos al rojo mayores que$z\sim 1.5$.

La relación relativista general entre la velocidad de recesión y el corrimiento al rojo cosmológico es:

$$v_{rec}(t,z)=c\dfrac{\dot{R(t)}}{R(0)}\int_0^z{\dfrac{dz^{'}}{H(z^{'})}}$$

Las líneas oscuras sólidas y el sombreado gris en el gráfico muestran una gama de modelos FLRW.

Para obtener más detalles, consulte: Confusión en expansión: conceptos erróneos comunes sobre los horizontes cosmológicos y la expansión superlumínica del universo .

Si tiene un corrimiento al rojo asociado con un objeto que se mueve, obtiene dos respuestas; uno para la velocidad de recesión que tenía cuando emitió su luz, y otro para la velocidad de recesión que tiene ahora cuando su luz te alcanza.

Uno se calcula multiplicando la distancia actual por la constante de Hubble, y el otro multiplicando la distancia anterior por el parámetro de Hubble en ese momento.

Cuanto mayor sea el corrimiento al rojo, mayor será la diferencia (por ejemplo, la última superficie de dispersión con z=1089 tenía una velocidad de recesión de 63c cuando emitía su luz, y ahora tiene alrededor de 3c, ya que el parámetro de Hubble era más alto en el pasado).

En este gráfico, la curva roja es la velocidad de recesión cuando se emitió la luz, y la curva marrón cuando la luz llega al observador (como se puede ver en z=10 ya hay una diferencia de un factor ≈2, y al igual que el anterior hablantes ya mencionados c está en z≈1.5

En z≈1,9, las curvas se cruzan y la velocidad de recesión era la misma que ahora, por lo que los objetos con z<1,9 son más rápidos ahora que entonces, y los objetos con z>1,9 son más lentos ahora que en ese momento emitieron su luz:

eje x: corrimiento al rojo, eje y: velocidad de recesión, parámetros: Planck 2013

De la ecuación de Friedmann, la distancia en función del corrimiento al rojo es:

$$d(z)=\frac{c}{H_0}\int_0^z \frac{dx}{\sqrt{\Omega_{R_0}(1+x)^4+\Omega_{M_0}(1+x)^3+\Omega_{K_0}(1+x)^2+\Omega_{\Lambda_0}}}$$

La ley de Hubble-Lemaître:

$$v=H_0 \cdot d$$

Queremos$\boxed{v=c}$ahora. La distancia que cumple esta condición se conoce como Distancia de Hubble actual, (o Radio de Hubble, o Longitud de Hubble):

$$d_{H_0}=\frac{c}{H_0}$$

Combinando ambos, obtenemos la condición:

$$\int_0^z \frac{dx}{\sqrt{\Omega_{R_0}(1+x)^4+\Omega_{M_0}(1+x)^3+\Omega_{K_0}(1+x)^2+\Omega_{\Lambda_0}}}=1$$

Para$\Omega_{R_0}\approx 0 \quad \Omega_{K_0}\approx 0 \quad \Omega_{M_0}\approx 0.31 \quad \Omega_{\Lambda_0}\approx 0.69$

La condición es:

$$\int_0^z \frac{dx}{\sqrt{0.31(1+x)^3+0.69}}=1$$

Buscando por ensayo y error, encontramos que el valor de corrimiento al rojo que cumple la condición es$z=1.474 \approx 1.5$

Atentamente.