La edad del universo

Un observador con velocidad de comovimiento cero (es decir, velocidad peculiar cero). Tal observador se puede definir en cada punto del espacio. Todos verán el mismo Universo, y el Universo se verá igual en todas las direcciones ("isotrópico").

Tenga en cuenta que aquí estoy hablando de un Universo "idealizado" descrito por la métrica FLRW:

$$\mathrm{d}s^2 = a^2(\tau)\left[\mathrm{d}\tau^2-\mathrm{d}\chi^2-f_K^2(\chi)(\mathrm{d}\theta^2 + \sin^2\theta\;\mathrm{d}\phi^2)\right]$$

donde $a(\tau)$ es el "factor de escala" y:

$$f_K(\chi) = \sin\chi\;\mathrm{if}\;(K=+1)$$ $$f_K(\chi) = \chi\;\mathrm{if}\;(K=0)$$ $$f_K(\chi) = \sinh\chi\;\mathrm{if}\;(K=-1)$$

y $\tau$ es el tiempo conforme:

$$\tau(t)=\int_0^t \frac{cdt'}{a(t')}$$

La velocidad peculiar se define:

$$v_\mathrm{pec} = a(t)\dot{\chi}(t)$$

por lo que la condición de velocidad peculiar cero se puede expresar:

$$\dot{\chi}(t) = 0\;\forall\; t$$

La "edad del Universo" de aproximadamente $14\;\mathrm{Gyr}$que escucha con frecuencia es una buena aproximación para cualquier observador cuya velocidad peculiar no sea relativista en todo momento. En la práctica, estos son los únicos observadores que nos interesan, ya que las velocidades peculiares de cualquier objeto voluminoso (como las galaxias) tienden a no ser relativistas. Si estuviera interesado en el tiempo experimentado por una partícula relativista desde el comienzo del Universo, no sería terriblemente difícil de calcular.

Puede definir la edad del universo aproximadamente como el momento adecuado para un observador hipotético que se mueve con las galaxias y no está demasiado cerca de un objeto fuertemente gravitante. Esto es impreciso porque las galaxias se están moviendo y la edad dependería exactamente de la línea de tiempo del observador y cómo se movió para evitar objetos pesados ​​que dilatan el tiempo, etc.

Esta definición es lo suficientemente buena para las mediciones cosmológicas porque el universo es aproximadamente homogéneo, pero si desea una definición muy precisa de la edad del universo en cualquier lugar y momento dado que no dependa del flujo comóvil, entonces esto es fácil de hacer. La edad de un evento puede definirse simplemente como la más largatiempo propio posible a lo largo de cualquier línea de tiempo similar al tiempo que comienza en la singularidad del big bang y termina en el evento del espacio y el tiempo. Para maximizar este tiempo adecuado, un observador debe evitar la gravedad de los objetos y las altas velocidades que causarían la dilatación del tiempo. Este máximo está bien definido siempre que el big bang se considere como una singularidad en todas partes en el pasado del universo observable y que no existan curvas temporales cerradas que estropeen la hiperbolicidad. Evita la suposición de que el universo es homogéneo o está modelado por una cosmología particular como FLRW. Por supuesto, en el caso especial de FLRW, la definición general es equivalente al tiempo de movimiento simple.

Usamos las ecuaciones de Friedmann y EFE:

$$\begin{cases} 3\frac{\dot{a}^2}{a^2}+3\frac{kc^2}{a^2}-\Lambda c^2=\frac{8\pi G}{c^2}\rho \qquad(1) \\[2ex] -2\frac{\ddot{a}}{a}-\frac{\dot{a}^2}{a^2}-\frac{kc^2}{a^2}+\Lambda c^2=\frac{8\pi G}{c^2}p \qquad(2)\\[2ex] R_{ij}-\frac{1}{2}Rg_{ij}=\frac{8\pi G}{c^4} T_{ij} \qquad(3) \end{cases}$$ si fumamos $k=0; \Lambda\neq 0$que nuestro universo es plano y su expansión es acelerada; por lo que la EFE se puede escribir: $$R_{ij}-\frac{1}{2}Rg_{ij}-\Lambda g_{ij}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{ij}$$ O también se puede escribir: $$R_{ij}-\frac{1}{2}Rg_{ij}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{ij}+\Lambda g_{ij} \Leftrightarrow R_{ij}-\frac{1}{2}Rg_{ij}=\frac{8\pi G}{c^4}\Bigr(T_{ij} \frac{c^4\Lambda }{8\pi G}g_{ij}\Bigl)$$ Expresamos el tensor tensión-energía para el vacío: $$T_{ij}^{\mathbf{Vacuum}}=\frac{c^4\Lambda g_{ij}}{8\pi G}$$ Comparándolo con el fluido perfecto: $$T_{ij}^{\mathbf{Matter}}=-p.g_{ij}+\Bigl(\frac{p}{c^2}+\rho_0\Bigr)u_i u_j$$ Podemos simular el vacío como un fluido. $$\begin{cases} \mathbf{Pressure}\ :\ p=-\frac{\Lambda c^4}{8\pi G} \\ \mathbf{Energy\ density}\:\ \rho=-p=\frac{\Lambda c^4}{8\pi G} \end{cases}$$ Adición de parámetros cosmológicos: $$\begin{cases} \Omega_v+\Omega_m=1 \\ 2q-1+3\Omega_v =0 \end{cases} \iff \begin{cases} \Omega_m =1-\Omega_v \\ \Omega_v =\frac{1-2q}{3} \end{cases}$$ Dejar $t=t_0$ y $\Lambda = \frac{3\Omega_{v_0}H_0^2}{c^2}$

$$\begin{cases} \Omega_{v_0}+\frac{8\pi G \rho_0}{3c^2 H_0^2}=1 \\[2ex] \Omega_{v_0}=\frac{\Lambda c^2}{3H_0^2}=\frac{1-2q_0}{3} \end{cases} \iff \begin{cases} 1-\Omega_{v_0}=\frac{8\pi G \rho_0}{3c^2 H_0^2} \iff (1-\Omega_{v_0})\frac{H_0^2}{c^2}=\frac{8\pi G \rho_0}{3c^2} \\[2ex] \Omega_{v_0}=\frac{1-2q_0}{3} \iff 1-\Omega_{v_0}=\frac{2}{3} (1+q_0) \end{cases}$$

Así obtenemos:

$$\frac{8\pi G\rho_0}{3c^4}=\frac{2}{3} \frac{H_0^2}{c^2} (1+q_0)$$ En la primera ecuación, tenemos lo siguiente:

Recuerdo $\ k=0, \Lambda \neq 0\ $:

$$3\frac{\dot{a}^2}{a^2} -\Lambda c^2=\frac{8 \pi G}{c^2}\rho$$ Lo sabemos : $\rho a^3=\rho_0 a_0^3$; por lo tanto : $\rho=\frac{\rho_0 a_0^3}{a^3}$ $$\Rightarrow 3\frac{\dot{a}^2}{a^2} -\Lambda c^2=\frac{8 \pi G}{c^2}\frac{\rho_0 a_0^3}{a^3} \iff \dot{a}^2=\frac{8 \pi G}{3c^2}\frac{\rho_0 a_0^3}{a}+\frac{\Lambda c^2 a^2}{3} \iff da=\sqrt{\underbrace{\frac{8 \pi G\rho_0 a_0^3}{3c^2}}_{K}\frac{1}{a}+\underbrace{\frac{\Lambda c^2 }{3}}_{B}a^2} dt$$ Dejar $\ K=\frac{8 \pi G\rho_0 a_0^3}{3c^2}\ $ y $\ B=\frac{\Lambda c^2}{3}\ $ : $$da=\sqrt{\frac{K}{a}} \sqrt{1+\frac{B}{K} a^3} dt \iff dt=\frac{da.a^{1/2}}{\sqrt{K}\sqrt{1+\frac{B}{K} a^3}}$$ Integrando, obtenemos lo siguiente: $$\int dt=\int \frac{da.a^{1/2}}{\sqrt{K}\sqrt{1+{\frac{B}{K} a^3}}}$$ Dejar $x^2=\frac{B}{K} a^3\ $ por lo tanto : $$\begin{cases} 3a^2da=2\frac{K}{B} x dx \\ a^2=\bigl(\frac{K}{B}\bigr)^{2/3} x^{4/3} \\ a^{1/2}=\bigl(\frac{K}{B}\bigr)^{1/6}x^{1/3} \end{cases}$$ Entonces (¡voy a saltarme las matemáticas aquí!): $$\int \frac{\frac{2}{3} \bigr(\frac{K}{B}\bigl)^{1/2}dx}{\sqrt{K}\sqrt{1+\underbrace{\frac{B}{K}a^3}_{x^2}}}=\int dt \iff \frac{2}{3B^{1/2}} \text{arcsh}(x)=t \qquad(\text{I'm Skiping math !})$$ $$\fbox{$a^3=\frac{8\pi G \rho_0 a_0^3}{c^4\Lambda}\text{sh}^2\Bigr(\frac{c}{2}\sqrt{3\Lambda}t\Bigl)$}$$ Recuerdo : $\Lambda = \frac{3\Omega_{v_0}H_0^2}{c^2}$ y $\frac{8\pi G\rho_0}{3c^4}=\frac{2}{3} \frac{H_0^2}{c^2} (1+q_0)$

$$\require{cancel} a^3=\frac{2H_0^2(1+q_0)a_0^3}{c^2\Lambda }\text{sh}^2\Bigr(\frac{c}{2}\sqrt{3\Lambda}t\Bigl) \iff a^3=\frac{2\cancel{H_0^2}(1+q_0)a_0^3 \cancel{c^2}}{3\cancel{c^2}\Omega_{v_0}\cancel{H_0^2}}\text{sh}^2\Biggr(\frac{\cancel{c}}{2}\sqrt{\frac{9\Omega_{v_0}H_0^2}{\cancel{c^2}}}t\Biggl)$$ Por lo tanto: $$a^3=\frac{2a_0^3(1+q_0)}{3\Omega_{v_0}}\text{sh}^2 \Bigr(\frac{3H_0}{2}\sqrt{\Omega_{v_0}}t\Bigl)$$ y ahora calculemos esto $t$, bueno vamos a suponer que $t=t_0$ y $a=a_0$: $$\begin{aligned}\require{cancel}\cancel{a_0^3}=\frac{2\cancel{a_0^3}(1+q_0)}{3\Omega_{v_0}}\text{sh}^2 \Bigr(\frac{3H_0}{2}\sqrt{\Omega_{v_0}}t_0\Bigl) \iff \frac{3\Omega_{v_0}}{2(1+q_0)}=\text{sh}^2 \Bigr(\frac{3H_0}{2}\sqrt{\Omega_{v_0}}t_0\Bigl)\\ \iff \frac{3H_0}{2}\sqrt{\Omega_{v_0}}t_0=\text{arcsh}\Biggr(\sqrt{\frac{3\Omega_{v_0}}{2(1+q_0)}}\Biggl) \\ \iff t_0=\frac{2}{3} \frac{1}{H_0\sqrt{\Omega_{v_0}}}\text{arcsh}\Biggr(\sqrt{\frac{3\Omega_{v_0}}{2(1+q_0)}}\Biggl) \end{aligned}$$ Y aquí tienes, la fórmula de la edad de nuestro universo: $$\fbox{$t_0=\frac{2}{3} \frac{1}{H_0\sqrt{\Omega_{v_0}}}\text{arcsh}\Biggr(\sqrt{\frac{3\Omega_{v_0}}{2(1+q_0)}}\Biggl)$}$$ La sustitución numérica: $$\begin{cases} H_0^{-1}\approx 14.56\times 10^9 \\ q_0\approx -0.5245 \\ \Omega_{v_0}\approx 0.683 \end{cases}$$ Por lo tanto : $$t_0=\frac{2}{3}\times 14.56\times 10^9 \frac{1}{\sqrt{0.683}}\text{arcsh}\Biggr(\sqrt{\frac{3\times 0.683}{2(1-0.5245)}}\Biggl)\approx 13.8\times 10^9\text{y}$$ Espero que ahora hayas entendido mi comentario, depende de los valores numéricos de los parámetros cosmológicos.

Y sí, una cosa más, lo siento, me salté muchos pasos en la prueba debido a mi pereza y es larga.

Buena suerte !