¿Errores de transformación C, T, P en ``QFT de Peskin&Schroeder''?

Supongo que la forma correcta de hacer la transformación C (carga), T (reversión de tiempo), P (paridad) en el estado$\hat{O}| v \rangle$con operadores$\hat{O}$es eso:

$$C(\hat{O}| v \rangle)=(C\hat{O}C^{-1})(C| v \rangle)\\ P(\hat{O}| v \rangle)=(P\hat{O}P^{-1})(P| v \rangle)\\ T(\hat{O}| v \rangle)=(T\hat{O}T^{-1})(T| v \rangle)$$

Así, para entender cómo un operador$\hat{O}$se transforma bajo C,P,T, nos importa la siguiente forma

$$\hat{O} \to (C\hat{O}C^{-1})\\ \hat{O} \to (P\hat{O}P^{-1})\\ \hat{O} \to (T\hat{O}T^{-1})$$

Aquí$\hat{O}=\hat{O}(\hat{\Phi},\hat{\Psi},a,a^\dagger)$contiene posibles operadores de campo ($\hat{\Phi},\hat{\Psi}$), o$a,a^\dagger$etc.

Para entender cómo es un estado$|v \rangle$transforma, nos importa

$$| v \rangle\to C| v \rangle\\ | v \rangle \to P| v \rangle\\ | v \rangle\to T| v \rangle$$

Sin embargo, en el libro QFT de Peskin y Schroeder, a lo largo del Capítulo 3, la transformación se realiza en el campo de fermiones.$\hat{\Psi}$(operador en el QFT) :

$$\begin{align} \hat{\Psi} &\to (C\hat{\Psi}C)? \tag{Eq.3.145}\\ \hat{\Psi} &\to (P\hat{\Psi}P)? \tag{Eq.3.128}\\ \hat{\Psi} &\to (T\hat{\Psi}T)? \tag{Eq.3.139} \end{align}$$

Supongo que uno debería tomar un lado como operador inverso ($(C\hat{\Psi}C^{-1}),(P\hat{\Psi}P^{-1}),(T\hat{\Psi}T^{-1})$). Lo que se ha escrito allí en Peskin y Schroeder QFT Capítulo 3 es incorrecto, especialmente porque$T \neq T^{-1}$, y$T^2 \neq 1$en general. ($T^2=-1$para espín-1/2 fermión)

¿Tengo razón? (P&S incorrecto aquí) ¿O estoy equivocado en este punto? (¿Por qué es eso correcto? Supongo que S. Weinberg y M. Srednicki y A Zee usan la forma que describí).