Paridad intrínseca de partícula y antipartícula con espín cero

Me desvío ligeramente de su notación y uso$\phi$para denotar el campo escalar como su estándar más. También debo señalar que los campos cuánticos son operadores y, por lo tanto, bajo una transformación, se actúa tanto desde la izquierda como desde la derecha.

El campo escalar complejo viene dado por,

$$\begin{equation} \phi (x) = \int \frac{ \,d^3p }{ (2\pi)^3 } \frac{1}{ \sqrt{ 2E _{ {\mathbf{p}} }}} \left( a _{ {\mathbf{p}} } e ^{ - i p \cdot x } + b ^\dagger _{ {\mathbf{p}} } e ^{ i p \cdot x } \right) \end{equation}$$ Bajo paridad tenemos que $a _{ {\mathbf{p}} } \rightarrow a _{ - {\mathbf{p}} }$y $b _{ {\mathbf{p}} } \rightarrow b _{ - {\mathbf{p}} }$lo que resulta en, $$\begin{equation} P \phi ( t, {\mathbf{x}} ) P = \phi ( t , - {\mathbf{x}} ) \end{equation}$$ Bajo conjugación compleja tenemos que $a _{ {\mathbf{p}} } \leftrightarrow b _{ {\mathbf{p}} }$lo que resulta en $$\begin{equation} C \phi ( t , {\mathbf{x}} ) C = \phi ^\ast ( t , {\mathbf{x}} ) \end{equation}$$

La naturaleza itinerante de$C$y$P$es entonces bastante trivial. La conjugación compleja no tiene nada que ver con la posición en la que se encuentra el campo. Es fácil ver eso,

$$\begin{equation} C P \phi (x) P C = C \phi ( t , - {\mathbf{x}} ) C = \phi ^\ast ( t , - {\mathbf{x}} ) \end{equation}$$ $$\begin{equation} P C \phi (x) CP = C \phi ^\ast ( t , {\mathbf{x}} ) C = \phi ^\ast ( t , - {\mathbf{x}} ) \end{equation}$$ y por lo tanto los dos operadores deben conmutar.