¿Cuándo se puede escribir a=v⋅dv/dxa=v⋅dv/dxa=v \cdot dv/dx?

Esto va a ser esencialmente el mismo contenido que la respuesta de Jerry Schirmer, pero pensé que les gustaría escucharlo en términos más matemáticos. La función de velocidad$v$Se define como

$$v(t) = \dot{ x}(t)$$ Tomemos el dominio de la función de posición como el intervalo abierto $(t_1, t_2)$y supongamos que tiene la propiedad de que dado cualquier punto $x_0$en el rango de $x$, hay un punto único $t_0$en su dominio $(t_1, t_2)$tal que $x(t_0) = x_0$. Entonces existe una función $x^{-1}$(el inverso de $x$) definido en el rango de $x$satisfactorio $$x^{-1}(x(t)) = t$$ Ahora definimos una función $\bar v$en el rango de $x$por $$\bar v(x) = v(x^{-1}(x))$$ Es común abusar de la notación aquí y usar $v$en lugar de $\bar v$para esta función, pero mantengamos las cosas rigurosamente notadas. Entonces, por un lado, la regla de la cadena da $$\frac{d}{dt}\bar v(x(t)) = \frac{d\bar v}{dx}(x(t))\,\dot x(t) = \frac{d\bar v}{dx}(x(t))\,v(t)$$ Mientras que por otro lado usamos la definición de $\bar v$escribir $$\frac{d}{dt}\bar v(x(t)) = \frac{d}{dt} v(x^{-1}(x(t))) = \frac{dv}{dt}(t) = a(t)$$ y la combinación de estas observaciones da la identidad que querías $$a(t) = \frac{d\bar v}{dx}(x(t))\,v(t)$$ Tenga en cuenta que si nos entregamos al abuso habitual de la notación, entonces simplemente podemos escribir esto como $$a = v \frac{dv}{dx}$$

Se puede hacer en cualquier caso donde la velocidad se pueda escribir como una función de la posición. Esto se puede hacer si la velocidad no es constante y si no hay puntos de inflexión en el movimiento. Por ejemplo, considere$x = r\sin(\omega t)$,$v = \omega r \cos(\omega t)$.

Entonces nosotros tenemos:

$$\begin{align} x &= r \sin(\omega t)\\ t &= \frac{1}{\omega}\sin^{-1}(x/r)\\ v &= \omega r \cos (sin^{-1}(x/r))\\ &= \omega \sqrt{r^{2} - x^{2}} \end{align}$$

Que es una transformación válida siempre que$\sin^{-1}(x/r)$está definido, lo que significa que solo cubre la mitad derecha del círculo unitario.

Generalmente, la derivada total se puede descomponer en una suma de derivadas parciales. Si la aceleración$a$se toma como una función sólo de$x$y$t$, entonces la derivada total es

$$\begin{equation} a=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t} = \frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} \end{equation}$$

Uno puede escribir con seguridad$\mathbf{a}=\mathbf{v}\cdot\nabla \mathbf v$, entonces cuando$\partial v /\partial t=0$. Esto es cierto cuando está considerando una sola partícula u objeto, ya que la velocidad de la partícula en un punto donde la partícula no existe no cambia. Sin embargo, para distribuciones de partículas, la distinción es significativa.