¿De dónde viene la fórmula de la energía cinética? [duplicar]

Por "ecuación de energía cinética", supongo que te refieres a la definición

$$KE = \frac{1}{2} mv^2$$

De hecho, esto surge del teorema del trabajo y la energía, que dice que el trabajo neto realizado sobre un objeto de masa$m$en algún intervalo de tiempo está dada por

$$W_{net}=\frac{1}{2}mv_f^2- \frac{1}{2} mv_i^2$$

Mirando esa ecuación, simplemente notamos que la cantidad$\frac{1}{2} mv^2$parece ser útil, así que le damos un nombre -energía cinética- y luego formulamos el teorema trabajo-energía como

$$W_{net} = \Delta(KE)= KE_f - KE_i$$

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El trabajo neto realizado sobre un objeto entre tiempos$t_i$y$t_f$es

$$W_{net} = \int_{t_i}^{t_f} \mathbf F_{net}(t) \cdot \mathbf v(t) \ dt$$ La segunda ley de Newton nos dice que$\mathbf F_{net} = m\mathbf a$, y entonces

$$W_{net} = \int_{t_i}^{t_f} \bigg(m \mathbf a(t) \cdot \mathbf v(t)\bigg) dt$$

Sin embargo,$\mathbf a(t) = \mathbf v'(t)$, entonces

$$\mathbf a \cdot \mathbf v = \mathbf v' \cdot \mathbf v = \frac{1}{2} \frac{d}{dt}(\mathbf v \cdot \mathbf v) = \frac{d}{dt}\bigg(\frac{1}{2} v^2\bigg)$$ y así finalmente

$$W_{net} = \int_{t_i}^{t_f} \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} m v^2\right) dt = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2$$

Bien, derivación del teorema trabajo-energía de F=ma

La calificación 'teorema' es ciertamente apropiada.
Si aceptamos la segunda ley de Newton como axioma, y ​​aceptamos como axioma que el espacio es euclidiano, entonces el teorema trabajo-energía se sigue lógicamente.

Las dos primeras relaciones cinemáticas estándar, válidas para el caso de aceleración uniforme. La derivación aprovechará estas relaciones:

Cambio de velocidad en función del tiempo:

$$v = v_0 + at \qquad (1)$$

Cambio de posición en función del tiempo:

$$s = s_0 + v_0t + \tfrac{1}{2}at^2 \qquad (2)$$

Con lo anterior podemos obtener una expresión que es en términos de derivadas del tiempo únicamente.

(1) se puede reformular en la forma de (3), y luego se sustituye el$t$en (2) con la expresión para$t$de (3)

$$t = (v - v_0)/a \qquad (3)$$

Parece peludo, pero resulta que muchos términos se contraponen entre sí.
Al final llegas a esta fórmula:

$$a(s - s_0) = \tfrac{1}{2}v^2 - \tfrac{1}{2}v_0^2 \qquad (4)$$

La expresión anterior también se conoce como fórmula de Torricelli.

Lo anterior aún no es física; sigue siendo sólo una relación cinemática.

Combinando (4) y F=ma obtenemos un enunciado dinámico .

$$F \Delta s = \tfrac{1}{2}mv^2 - \tfrac{1}{2}mv_0^2$$

Recordatorio: la unidad de fuerza se llama 'Newton' . Las dimensiones son:

$${\displaystyle 1\ {\text{N}}=1\ {\frac {{\text{kg}}\cdot {\text{m}}}{{\text{s}}^{2}}}.}$$

Discusión General

Otras respuestas a esta pregunta proceden de acuerdo con la siguiente estrategia: definir un concepto llamado 'trabajo realizado' y luego mostrar que esto implica una expresión$\tfrac{1}{2}mv^2$, esa expresión se puede definir como 'energía cinética'.

En Dynamics estamos acostumbrados a pensar en términos de acumulación en el tiempo . Una ecuación de movimiento es una función del tiempo ; la posición futura se calcula como una función del tiempo

El teorema del trabajo y la energía no encaja en ese molde. El teorema del trabajo y la energía describe la acumulación a lo largo de la distancia .

En la historia de la física, el teorema del trabajo y la energía se reconoció bastante tarde. Creo que se dijo por primera vez alrededor de 1800 más o menos.

Generalización

Por supuesto, el uso de (4) no es una forma general de derivar el teorema del trabajo y la energía. Las relaciones cinemáticas utilizadas son para aceleración uniforme.

Un examen más detallado:
(1) y (2) están estrechamente relacionados: cuando diferencia (2) obtiene (1). Como sabemos, la diferenciación y la integración son esencialmente operaciones inversas entre sí. (4) debe verse como el resultado de la integración.

La generalización al caso más general (aceleración en función de otra cosa) es sencilla.

La derivación presentada en esta respuesta no es tan general como puede ser. Elegí presentar esta derivación para enfatizar: el teorema trabajo-energía se deriva directamente de F=ma.

Para la mecánica clásica la energía cinética$T$se define como${1 \over 2} m v^2$.

${d \over {dt}} ({1 \over 2} m v^2) = \vec F \cdot \vec v$. Entonces$T_2 - T_1 = {1 \over 2}mv_2^2 - {1 \over 2}mv_1^2 = \int_{t_1}^{t_2} \vec F \cdot \vec v \enspace dt$. Desde$\vec v \enspace dt = d \vec r$,$T_2 - T_1 = \int_{r_1}^{r_2} \vec F \cdot d \vec r$, que es el trabajo realizado por la fuerza$\vec F$entre$r_1$y$r_2$.

Ver un texto de mecánica clásica de física, como Mechanics de Symon.

El 1/2 es una cuestión de definición. Si lo cambiamos a algún otro número sin unidades, entonces otras ecuaciones también tendrían que cambiar, por ejemplo, la segunda ley de Newton.

la proporcionalidad a$m$no es una definición arbitraria. Queremos una cantidad conservada y las leyes de conservación son aditivas. si hubiéramos usado$m^2$o algo así, no habríamos tenido una cantidad aditiva.

La dependencia de$v^2$no es una definición arbitraria, y de hecho ni siquiera es correcta. Es simplemente el término más bajo que no desaparece en la serie de Taylor de la expresión relativista.

Las leyes de Newton son lógicamente equivalentes a la conservación de la energía y el momento. Si parte de cualquiera de los dos, puede derivar el otro. Cualquier experimento que establece uno es también un experimento que establece el otro. Cualquier experimento que refuta uno, como los experimentos que muestran efectos relativistas, refuta el otro.

El trabajo realizado por una fuerza es$\Delta W = \int_{x_1}^{x_2} \mathbf{F.dx}$. Cuando$\mathbf F$es la resultante de las fuerzas en un cuerpo, se aplica la segunda ley:$\mathbf F = m\mathbf a$.

Entonces,

$$\Delta W = \int_{x_1}^{x_2} m\mathbf {a.dx} = m\int_{x_1}^{x_2} \frac{\mathbf {dv}}{dt}\mathbf {.dx}$$

Como$\mathbf x$es una función de t,

$$\mathbf {dx} = \frac{\mathbf {dx}}{dt}dt$$

$$\Delta W = m\int_{t_1}^{t_2} \frac{\mathbf {dv}}{dt}\frac{\mathbf {dx}}{dt}dt$$

Integrando por partes, obtenemos 2 integrales idénticas:

$$\Delta W = m\int_{t_1}^{t_2} \frac{\mathbf {dv}}{dt}\frac{\mathbf {dx}}{dt}dt = m\left [\frac{\mathbf {dx}}{dt}\frac{\mathbf {dx}}{dt}\right]_{t_1}^{t_2} - m\int_{t_1}^{t_2} \frac{\mathbf {dv}}{dt}\frac{\mathbf {dx}}{dt}dt$$

Y finalmente:

$$\Delta W = \frac{1}{2}mv_ 2^2 - \frac{1}{2}mv_ 1^2$$

La fórmula de la energía cinética se deriva de la fórmula del trabajo realizado, pero la fórmula del trabajo realizado no se deriva más de ninguna fórmula subyacente más fundamental. Proviene de los resultados empíricos de un experimento realizado en el siglo XVIII. El experimento consistía básicamente en dejar caer pelotas sobre arcilla blanda y medir la distancia desde la que caía y el impacto. Lo que encontró el experimento es que el impacto fue proporcional a la distancia. Así que se les ocurrió la fórmula,$W=Fd$. Luego, si desea obtener la fórmula para la energía cinética, debe combinar la fórmula para$W$con la segunda ley de Newton, es decir$F=ma$y cinemática. La derivación exacta es la siguiente:

$$W = Fd$$ $$F=ma=m\cdot\frac{v-u}{t}$$

Si reemplaza la F en la primera ecuación con el valor de la segunda ecuación y considera que la KE (energía cinética) es el cambio de energía, es decir, el trabajo realizado en un objeto para alcanzar su velocidad desde una velocidad inicial$u$de 0, obtienes:

$$K.E. = m\cdot\frac{v-u}{t} \cdot d = m\cdot\frac{v-u}{t} \cdot \frac{v+u}{2} \cdot t = \frac{1}{2}mv^2$$

Y así es como obtienes la fórmula de la energía cinética.

Para referencia: https://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89milie_du_Ch%C3%A2telet#Advocacy_of_kinetic_energy