Para la primera parte de su pregunta, y suponiendo una órbita ecuatorial, depende de la altitud orbital, pero las matemáticas son lo suficientemente simples para comenzar:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}$$

Dónde$a$es el semieje mayor (en nuestro caso, el radio ecuatorial de la Luna de 1.738,14 km, más la altitud orbital media por encima de él), y$\mu$es el parámetro gravitatorio estándar del cuerpo central (en nuestro caso 4.903,86 km³/s², alguien escribió algo mal en esa página de Wikipedia) que es un producto de la constante gravitatoria $G$(6.674×10 ⁻ ¹¹ N⋅m²/kg²) y la masa del cuerpo central$M$(7.3477×10²² kg).

Entonces, para una altitud orbital de 200 km sobre la Luna, nuestro período orbital$T$es de 127 minutos y 34 segundos . Pero, durante este tiempo, la Luna también gira 1,08° , así que tenemos que hacer esto de forma un poco diferente. Tenemos que encontrar el tiempo sideral de nuestro satélite . Ya que sabemos que no se desvía mucho del tiempo orbital de nuestro satélite$T$, podemos simplificar esto y decir que la rotación de la Luna aumenta nuestro tiempo sideral para órbitas progradas y lo disminuye para órbitas retrógradas (lo sabemos porque giró sobre su eje menos de 180° durante una de las órbitas de nuestro satélite). Entonces podemos decir que:

• La velocidad orbital de nuestro satélite ($\sqrt{\mu/r}$) es 1.590,53671 m/s , por lo que su velocidad angular $\omega = \Delta\phi/\Delta t$es 0.000820651095 rad/s
• El período orbital de la Luna es de 29,530589 días, o en$\omega$, 2,4626008 × 10 ^-6 rad/s y lo sumaremos a la velocidad orbital de nuestro satélite para una órbita retrógrada y lo restaremos para una órbita prograda

Entonces, para completar un tiempo sideral de una órbita de 200 km alrededor de la Luna, y para una estación ecuatorial donde se observa este tiempo sideral, y suponiendo órbita circular, tenemos:

• Para órbita prograda: 127,99 minutos
• Para órbita retrógrada: 127,22 minutos

En caso de que te estés preguntando hasta ahora por qué lo hice al revés, creo que empezaste a apreciarlo. O mejor, porque se vuelve aún más complicado para órbitas inclinadas y/o elípticas. No haré cálculos matemáticos exactos para ello, porque también tenemos que considerar el nodo orbital (o más específicamente su fase , es decir, en qué posición orbital está el satélite cuando su trayectoria terrestre se alinea con nuestra longitud fuera del ecuador) y el tiempo de inserción en órbita (nuestra época), así como decidir qué rango es lo suficientemente cercano para nuestro caso (probablemente diferentes márgenes para la deriva longitudinal y el cambio de fase), pero asumiendo que no hay precesión orbital ( nodal debido a la no oblación del cuerpo central, absidaldebido a la excentricidad de las órbitas no circulares, etc.), una constelación igualmente dispersa y un horizonte circular dentro del cual todavía contamos un sobrepaso como nuestra conjunción, debería poder integrarlo de manera relativamente simple (probablemente desee usar polinomio de interpolación de Lagrange ). Alguien más podría ser más misericordioso y publicar un muro de fórmulas para ti, pero no seré tan cruel ahora (también conmigo mismo, porque ha pasado un tiempo desde que me obligaron a hacerlo ). ¡Que te diviertas!

Esto es solo un complemento de la respuesta aceptada .

Para órbitas bajas donde el semieje mayor está cerca del radio del cuerpo central, el período está relacionado con la densidad promedio del cuerpo y no está relacionado con su tamaño.

Entonces, una órbita baja alrededor de un asteroide esférico (que generalmente no los hay) hecho de una mezcla de roca y hierro (que generalmente no los hay) será de aproximadamente 90 minutos como LEO, incluso si solo tiene 1 km de diámetro.

Empezando con

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{\mu}} = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{Gm}}$$

y

$$\rho = \frac{m}{\frac{4}{3} \pi R^3}$$

$$\frac{1}{m} = \frac{1}{\frac{4}{3} \rho \pi R^3}$$

dónde$\rho$es la densidad y$R$es el radio del cuerpo. Después:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{G\frac{4}{3} \rho \pi R^3}}$$

Si primero establece$a=R$usted obtiene

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{3}{4G\pi \rho}}$$

y finalmente

$$T = \sqrt{\frac{3 \pi}{G\rho}}$$

Entonces están relacionados por la raíz cuadrada inversa.

Según Wikipedia, la densidad media de la luna (3,344 g/cm ^ 3) es 0,61 de la Tierra, por lo que una órbita lunar baja debería ser$1/\sqrt{0.61}$o 28% más largo que el de la Tierra , basado solo en la densidad.

Pruebas:

Si también escala las altitudes a los radios (1738 y 6378 km), digamos 109 km en órbita lunar y 400 km en órbita terrestre, debería coincidir exactamente. ¡Vamos a intentarlo!

Wikipedia da el parámetro gravitacional estándar$GM$para la Luna y la Tierra como 4.905E+12 y 3.986E+14 m ³ /s ² .

Luna:

$$2\pi\sqrt{\frac{(1738000+109000)^3}{4.905 \times 10^{12}}} = 118.7 minutes$$

$$2\pi\sqrt{\frac{(6378000+400000)^3}{3.986 \times 10^{14}}} = 92.6 minutes$$

¡y voilá! ¡ El período de la órbita baja de 109 km de la Luna es un 28% más largo que la órbita de 400 km de la Tierra!