¿Cómo se calcula la resistencia inducida para un ala con forma de planta elíptica?

La resistencia inducida es causada por la desviación hacia abajo del aire que fluye alrededor del ala. La fuerza aerodinámica resultante se inclina hacia atrás la mitad del ángulo de deflexión y el aire sale del ala con un componente de velocidad vertical adicional, lo que produce una corriente descendente . Aumentar el ángulo descendente significa aumentar tanto la sustentación como la inclinación hacia atrás, por lo que la resistencia inducida aumenta con el cuadrado de la sustentación producida.

Si desea minimizar la resistencia inducida para una sustentación dada, esta dependencia cuadrática significa que se alcanza el óptimo cuando el ángulo de flujo descendente es constante a lo largo del tramo.

¿Cómo se calcula la resistencia inducida para un ala con forma de planta elíptica?

El ala elíptica sin torsión tiene el mismo ángulo de ataque y el mismo coeficiente de sustentación sobre la envergadura, y produce el ángulo descendente constante deseado. Para simplificar las cosas, supongamos que el ala solo actúa en el aire con la densidad$\rho$fluyendo con la velocidad$v$a través de un círculo con un diámetro igual a la envergadura$b$del ala Si solo miramos este tubo de corriente, el flujo másico es

$$\frac{dm}{dt} = \frac{b^2}{4}\cdot\pi\cdot\rho\cdot v$$

Elevar$L$es entonces el cambio de impulso que es causado por el ala. Con la velocidad del aire hacia abajo$v_z$impartida por el ala, la sustentación es:

$$L = \frac{b^2}{4}\cdot\pi\cdot\rho\cdot v\cdot v_z = S\cdot c_L\cdot\frac{v^2}{2}\cdot\rho$$

$S$es el área del ala y$c_L$el coeficiente global de sustentación. Si ahora resolvemos para la velocidad vertical del aire, obtenemos

$$v_z = \frac{S\cdot c_L\cdot\frac{v^2}{2}\cdot\rho}{\frac{b^2}{4}\cdot\pi\cdot\rho\cdot v} = \frac{2\cdot c_L\cdot v}{\pi\cdot AR}$$ con $AR = \frac{b^2}{S}$la relación de aspecto del ala. Ahora podemos dividir la velocidad vertical por la velocidad del aire para calcular el ángulo por el cual el aire ha sido desviado por el ala. llamémoslo $\alpha_w$: $$\alpha_w = arctan\left(\frac{v_z}{v}\right) = arctan \left(\frac{2\cdot c_L}{\pi\cdot AR}\right)$$

La desviación ocurre gradualmente a lo largo de la cuerda del ala, por lo que el ángulo de flujo local medio a lo largo de la cuerda es justo$\alpha_w / 2$. El ascensor actúa perpendicularmente a este flujo local, por lo que se inclina hacia atrás por$\alpha_w / 2$. En coeficientes, la sustentación es$c_L$, y la componente hacia atrás es$\alpha_w / 2 \cdot c_L$. Llamemos a este componente$c_{Di}$:

$$c_{Di} = arctan \left(\frac{c_L}{\pi\cdot AR}\right)\cdot c_L$$

Para pequeños$\alpha_w$s el arcus tangens se puede despreciar, y obtenemos esta ecuación familiar para el componente de la fuerza de reacción que apunta hacia atrás:

$$c_{Di} = \frac{c_L^2}{\pi\cdot AR}$$

Si la circulación sobre el tramo tiene una distribución elíptica, el cambio local en la circulación multiplicado por la cantidad local de circulación es constante, y la resistencia inducida$c_{Di}$está en su mínimo. Si esto fuera diferente, un local más alto$v_z$provoca un aumento cuadrático en la resistencia inducida local, por lo que toda el ala creará su sustentación de manera menos eficiente.

¿Es esta forma de ala la más eficiente?

Solo si le preguntas a un aerodinámico, la respuesta sería sí. Un ala elíptica te dará la mejor relación entre sustentación y arrastre, lo que claramente es una forma de expresar eficiencia.

En realidad, el ala tiene que levantarse sola más una carga útil, pero solo se debe considerar levantar la carga útil al formular la eficiencia. Por lo tanto, la optimización pura de elevación/arrastre es demasiado limitada. Lo que debería contar es la mejor proporción de sustentación menos el peso del ala en relación con la resistencia. RT Jones escribió una nota técnica de NACA en 1950en el que analizó este problema de forma analítica. El peso del ala aumenta cuando se crea mucha sustentación cerca de las puntas, porque esta sustentación provocará un momento de flexión de la raíz desproporcionado, y el larguero del ala que tiene que soportar este momento de flexión es una parte importante de la estructura del ala. Por lo tanto, reducir la sustentación en las puntas y agregar más sustentación en la raíz creará un ala más liviana para un aumento modesto de la resistencia, lo que resultará en un óptimo general para una distribución de sustentación casi triangular. En comparación con una forma en planta de ala elíptica, la envergadura total del ala de un ala optimizada es mayor para la misma resistencia general, pero esta ala pesará menos.

Comparación de carga en sentido transversal para alas de la misma sustentación fija, de la Nota técnica 2249 de NACA.

Pero esto es demasiado fácil. Las leyes de escala deben ser consideradas además. Usted sabe que los elefantes tienen patas mucho más masivas en relación con el tamaño de su cuerpo que los antílopes (o incluso las hormigas, para una comparación aún más drástica), ya que la masa corporal se escala con el cubo de la dimensión lineal, mientras que la fuerza estructural se escala solo con el cuadrado de la dimensión lineal. . Esto significa que el peso del larguero del ala será proporcionalmente mayor para aeronaves más grandes.

Como consecuencia, los insectos tienen alas más elípticas que los albatros, y los modelos de aviones tienen alas óptimas que son mucho más elípticas que el ala óptima de un avión comercial. El óptimo cambia de una distribución de carga elíptica a escalas muy pequeñas a una distribución casi triangular a escalas grandes.

Para un ala con carga de tramo elíptico, la resistencia inducida se puede calcular directamente a partir del coeficiente de sustentación. El coeficiente de arrastre inducido$C_{D_{i}}$se puede calcular como,

$C_{D_{i}} = \frac{C_{L}^{2}}{\pi A}$

donde$C_{L}$es el coeficiente de sustentación y$A$es la relación de aspecto.

La carga elíptica produce el arrastre inducido mínimo de acuerdo con la teoría de la línea de sustentación, cuando solo se consideran la luz y la sustentación . Si entran en juego otras consideraciones (como el momento de flexión del ala), la forma más eficiente varía.

En cuanto a por qué la mejor distribución es elíptica, las ecuaciones se pueden derivar fácilmente de la teoría de la línea de elevación; básicamente esto se debe a que la corriente descendente es constante a lo largo del tramo. Una buena manera de razonar por qué esto es así se da en The Minimal Induced Drag of Airfoils de Max Munk, NACA Report No. 121.

Si la distribución es la mejor, la resistencia no se puede disminuir o aumentar transfiriendo un elemento de elevación de su posición anterior a una nueva posición. Ahora, la participación de un elemento en el arrastre se compone de dos partes. Participa en la producción de una corriente descendente en la vecindad de otros elementos de elevación y, en consecuencia, en un cambio en su resistencia. Tiene en sí mismo un arrastre, al estar situado en la corriente descendente producida por los demás elementos.

... En el caso de la línea recta de elevación, las dos corrientes descendentes, cada una producida por un elemento en la vecindad del otro, son iguales. Por esta razón, las dos resistencias de los dos elementos, cada una producida por el otro, también son iguales y, por lo tanto, las dos partes de la resistencia total de las alas debidas a un elemento. ... por lo tanto, toda la resistencia aerodinámica debida a un elemento no cambia cuando el elemento se transfiere de una situación a otra con la misma corriente descendente, y la distribución es mejor solo si la corriente descendente es constante en toda el ala.

Por esta razón, cuando solo se consideran la envergadura y la sustentación, la carga elíptica proporciona la mínima resistencia inducida ya que la corriente descendente es constante sobre el ala. Cuando se modifican las restricciones, otras distribuciones y formas de ala se vuelven más eficientes. Por ejemplo, de On the Minimal Induced Drag of Wings de AH Bowers:

$\diamond$Prandtl/Munk (1914)

Elíptico

Restringido solo por la luz y la elevación

Lavado hacia abajo:$y = c$

$\diamond$Prandtl/Horten/Jones (1932)

en forma de campana

Restringido por sustentación y momento flector

Lavado hacia abajo:$y = bx + c$

$\diamond$Klein/Viswanathan (1975)

Forma de campana modificada

Restringido por sustentación, momento y cortante (estructura mínima)

Lavado hacia abajo:$y = ax + bx + c^{2}$