¿Cómo curva la energía el espacio-tiempo?

Punto de vista teórico:

Las ecuaciones de campo de Einstein se pueden escribir en la forma:

Experimentos que confirman este punto:

Primero, ¿los fotones tienen masa? La respuesta es un rotundo 'no' . El momento de un fotón es$p=\frac{hf}c$, y de la relatividad especial:

Afirmación: los fotones no están sujetos a la atracción gravitacional ya que no tienen masa en reposo.

Prueba experimental: lentes gravitacionales :

Se podía ver cómo la luz se desviaba debido a la presencia de un fuerte campo gravitacional.

Conclusión: Incluso si la luz no tiene masa en reposo, tiene energía e impulso. Y está siendo atraída por la gravedad, por lo que la conclusión natural es que la energía curva el espacio-tiempo.

La materia curva el espacio-tiempo porque (verificado experimentalmente y matemáticamente natural) las ecuaciones de Einstein que gobiernan la curvatura del espacio-tiempo dicen que el tensor de Einstein que codifica la curvatura local$G_{\mu\nu}$es proporcional a la tensión-energía$T_{\mu\nu}$. Este último contiene números, especialmente la densidad de masa-energía y cantidad de movimiento y su flujo (que también depende de la presión local).

Debido a que la materia transporta masa-energía, hace que el espacio-tiempo se deforme. Cualquier otra forma de masa-energía hará lo mismo. Digo masa-energía porque en el contexto de la relatividad, masa y energía son realmente lo mismo debido a la conocida fórmula de la relatividad especial,$E=mc^2$, que dice que una unidad (por ejemplo, kilogramo) de masa (relativista) es equivalente a$c^2$unidades (julios) de energía.

La masa o la energía pueden almacenarse en varias formas, pero en última instancia tienen el mismo impacto en la curvatura del espacio-tiempo (y otras cosas). Algunas de las formas de masa-energía se parecen más a la masa, otras se parecen a lo que solíamos llamar energía, pero solo hay un tipo de cantidad que curva el espacio-tiempo y una cantidad que se conserva.

De acuerdo con la gravedad newtoniana, si hicieras 100 millones de balas de cañón (10 kg cada una) y las enviaras al espacio profundo, las ensamblarías con algunos explosivos y las harías explotar con la fuerza suficiente para que ninguna saliera herida, pero todas salieron esféricamente a un máximo de 2 millas (si no sabes lo que es una milla, solo léelo como un km y nada de la física será diferente, pero la abreviatura es mi y la usaré más adelante) desde el centro que solo la masa de las balas de cañón y el número de ellos importa, por lo que sería como un (muy pequeño) planeta de 1000 millones de kg de masa. Específicamente, la gravedad newtoniana dice que, en cambio, podrías enviar más explosivos para dispararles, de modo que todos viajen esféricamente hacia el exterior durante 10 millas y alguien que los orbite sentiría la misma atracción gravitacional que si hicieras una explosión de 2 millas de las bolas,

La relatividad general no está de acuerdo. Lo que es bueno. Porque los explosivos adicionales para hacerlo de 10 millas en lugar de 2 millas tenían algo de masa y la atracción gravitatoria lejana no debería cambiar en el instante en que los activas. No exactamente en el mismo instante al menos, ya que nada debería ir más rápido que la luz con solo hacer estallar un explosivo.

Por un lado, su pregunta parece tener una respuesta fácil, en realidad es la energía asociada con la masa la que hace la curvatura. La masa en sí no hizo nada, solo la energía asociada con la masa hizo algo. pero esa respuesta, aunque precisa, elude toda la pregunta sobre cómo se produce la curvatura.

Lo primero que hay que saber sobre la curvatura es que es natural. la ecuacion de einstein$R_{ab}-\frac{1}{2}g_{ab}R=kT^\frac{8\pi G}{c^4}T_{ab}$tiene una versión para vacío que es$R_{ab}-\frac{1}{2}g_{ab}R=0$y esa ecuación no dice que la curvatura sea cero. Dice que ciertas combinaciones de tasas de cambio de la métrica tienen que equilibrarse con la métrica actual existente. Entonces, ciertas métricas tienen que cambiar de cierta manera. La ecuación permite, por ejemplo, que las ondas gravitatorias se propaguen a través del espacio vacío con la tasa de cambio de curvatura en una región que cambia de acuerdo con la forma en que varía la curvatura cercana.

Entonces, la curvatura es natural, incluso en el espacio vacío, y la curvatura puede causarse a sí misma, ya sea causando una curvatura cercana o provocando una futura curvatura allí mismo. Y ciertos tipos de curvatura se alinean bien en el espacio-tiempo, y otros no. Los tipos que se alinean resuelven$R_{ab}-\frac{1}{2}g_{ab}R=0.$Los tipos que no se alinean naturalmente, no resuelven$R_{ab}-\frac{1}{2}g_{ab}R=0.$

Lo segundo que debe saber sobre la curvatura es tener en cuenta que$R_{ab}-\frac{1}{2}g_{ab}R$siempre tiene la propiedad de que su divergencia (covariante) desaparece. Eso significa que es posible tener materia que sea igual$R_{ab}-\frac{1}{2}g_{ab}R$porque la materia tiene su divergencia (covariante) siempre se desvanece. Algunas personas van un poco al extremo con esto, hacen espacio-tiempos con burbujas warp y agujeros de gusano de larga duración y dicen, bueno, solo necesitas poner algunas cosas muy, muy, muy raras en los lugares correctos.

Pero sí significa que la materia puede hacer que las cosas se curven de manera diferente a como lo harían naturalmente en el vacío. Usemos eso para ver cómo la materia puede hacer que el espacio-tiempo se curve.

Tome dos curvaturas naturales diferentes. Para el primero, puede tomar la forma en que se curva el espacio-tiempo del vacío fuera de un planeta en el espacio profundo (el más simple se llama espacio-tiempo de Schwarzschild), ya que es la región fuera de un planeta donde todo es vacío, este es el tipo de curvatura que existe bien por sí misma, e incluso está curvada correctamente para que la curvatura en el futuro sea igual a la curvatura actual. Para la segunda curvatura natural, puede tomar un espaciotiempo plano (llamado espaciotiempo de Minkowski). Si toma una bola de radio de 10 millas y toma esa región de Minkowski plano, esa puede ser su primera región. Entonces puedes tomar la solución de Schwarzschild para un parámetro de$M= 1000 million kg$y recortar una superficie esférica de área superficial$4\pi (10mi)^2$y pegue la bola del espacio-tiempo de Minkowski al exterior del espacio-tiempo de Schwarzschild, de modo que sea Schwarzschild por fuera y Minkowski por dentro

Cada vez que las superficies se alinean, es un posible espacio-tiempo. Pero el asunto podría tener que ser realmente extraño. ¿Necesitamos materia realmente extraña? No. Tener los 100 millones de balas de cañón de 10 kg cada una que se detuvieron a 10 millas del centro es exactamente la distribución correcta de materia para unir esas dos soluciones.

Y ahora, a medida que bajan las bolas del cañón, podemos ver cómo se crea la curvatura. No hay curvatura en el interior del caparazón esférico de las balas de cañón. Pero a medida que caen las balas de cañón, la región justo fuera de la capa exterior ya no tiene materia allí, por lo que tiene que evolucionar de forma natural (vacío), pero la curvatura ahí fuera es la curvatura de Schwarzschild, que es una de las tipos de curvatura que evolucionan naturalmente hacia sí mismos, por lo que la curvatura justo fuera del caparazón de las balas de cañón se hará más por dentro si no hay nada que lo detenga.

Y cuando digo más de sí mismo, extrañamente quiero decir exactamente eso. Una característica totalmente interesante (o alucinante) es que cuando las balas de cañón llegan a estar a solo 9 millas del centro, la distancia fuera del caparazón de las balas de cañón que caen es más de 1 milla de distancia de donde comenzó. Cuando caen las balas de cañón, la solución de Schwarzschild en el exterior crea más distancia entre sí misma y la región exterior que la que come desde adentro hacia abajo. Es como hacer un embudo gigante que es más profundo, para hacer que el embudo pase de un círculo de circunferencia$2\pi(10cm)$a un círculo de circunferencia$2\pi(9cm)$requiere más de 1 cm de distancia entre los dos círculos porque la superficie del embudo es curva.

En nuestro ejemplo, es como poner un disco plano de 10 cm de radio en su embudo gigante y luego sacarlo y reemplazarlo con un disco plano de 9 cm de radio, habrá más embudo visible porque el más pequeño cubre menos. La geometría normal se mantiene en el disco y la geometría curva se mantiene en el embudo. Estamos haciendo lo mismo pero en una dimensión superior.

ESTÁ BIEN. Así que ahora vemos cómo se crea la curvatura. Cada galaxia se formó en el pasado por materia que caía hacia el centro, a medida que cada capa de materia cruza una región esférica de capa delgada, une una región de menos curvatura en el interior con una región de más curvatura en el exterior. ¿Por qué? Porque eso es lo que hace la materia ordinaria ordinaria de todos los días. En realidad, no es un asunto extraño, por lo que conecta una curvatura más alta en el exterior con una curvatura más baja (o ninguna) en el interior. Dejando así la galaxia exterior curvada para que el sol algún día pudiera orbitar el centro galáctico. Y de manera similar a como el sol se formó capa por capa, conectó una región de mayor curvatura en el exterior con una región de menor curvatura en el interior, dejando el sistema solar curvo fuera del sol para que algún día pudiéramos orbitar alrededor del sol.

Ahora dije que GR da una curvatura diferente para la explosión de 2mi y la explosión de 10mi. Veamos qué sucede cuando las balas de cañón llegan a 2 millas del centro. Todavía quedan 100 millones de balas de cañón. Y todavía tienen una masa de 10 kg cada uno. Pero han caído 8 (¿o más?) millones y han estado acelerando todo el camino. Tienen más energía. Y es en realidad la energía, el impulso, la presión y el estrés de la materia lo que permite unir diferentes regiones de curvatura. Si tuviera la misma cantidad de balas de cañón a 2 millas de radio del centro pero todas ellas estuvieran en reposo, no tendrían suficiente energía para conectarse a un espacio-tiempo tan altamente curvado. Lo que eso significa es que cuando trajiste las balas de cañón y la cantidad más pequeña de explosivos no

Esto tiene sentido, si trajiste menos explosivos cuando hiciste la explosión de tu bala de cañón, el espacio-tiempo exterior estaba menos curvado. Si trajiste más explosivos, entonces curvaste más el espacio. Entonces, cuando los explosivos se agotan (sus explosivos podrían haber sido materia y antimateria que explotaron en energía pura, tanto la materia cotidiana normal como las antipartículas frente a la materia cotidiana normal tienen energía positiva y masa positiva, esas cosas realmente muy raras que usted la necesidad de espacios-tiempos extraños es realmente, muy, muy rara). Entonces, cuando los explosivos se agotan, las balas de cañón despegan con mucha energía, pero esa región del espacio-tiempo exterior todavía está curvada de la misma manera que cuando enviaste los explosivos hacia el centro. Esta materia de mayor energía (más energía porque se mueve más rápido) tiene que ser suficiente para convertir esa curvatura más alta en el exterior en un espacio (menos) plano que se convierte en el interior. Sabemos que la curvatura en el interior tiene que ser cero por razones de simetría (todo es esféricamente simétrico y no hay nada dentro de la capa de materia y asumimos que las balas de cañón no son realmente raras, por lo que no están cubiertas con energía negativa en por un lado y energía positiva extra compensadora por el otro).

Puede pensar en ello como una cierta cantidad de densidad de energía que deja un espacio vacío de una distancia menor que la distancia de la superficie curva que consume a medida que se expande. Pero esa tasa está determinada por la energía y el impulso y la presión y el estrés. Y no en masa. La gravedad y la curvatura no son creadas por la masa, sino por la energía (y el impulso, la presión y el estrés). La energía y el impulso y la presión y el estrés juntos hacen$T_{ab}$y juntos evolucionan de tal manera que tienen una divergencia cero (covariante), por lo que solo aquellos pueden unir un término distinto de cero en el lado izquierdo de$R_{ab}-\frac{1}{2}g_{ab}R=kT^\frac{8\pi G}{c^4}T_{ab}.$

Dado que es la energía, no la masa, la que evoluciona con divergencia covariante cero, es la energía, no la masa, la que puede seguir esa apariencia de expansión y contracción del espacio como el lugar donde evolucionan las soluciones de vacío de la curvatura natural. La suma de las masas en reposo de las partes no cambia con el tiempo, la forma en que necesita parchear las dos curvaturas naturales diferentes entre sí en función de cómo evolucionan las dos curvaturas naturales (de vacío).

Entonces, es la energía, no la masa, la fuente de la gravedad, y por fuente nos referimos a algo que puede juntar diferentes regiones naturales de curvatura, la energía cambia a medida que las superficies se mueven de tal manera que le permiten continuar uniéndolas. (posiblemente haciendo más espacio en un lado de lo que se come en el otro, pero en realidad se trata de mantener las tasas de tiempo que fluyen de manera diferente para alinearse, si el tiempo fluye más lento en las regiones más alejadas del exterior de una superficie, necesita haga más espacio en el exterior a medida que fluye la superficie hacia adentro.

ESTÁ BIEN. He respondido a su pregunta, pero hay un detalle sobre el que quiero ser honesto. Para abreviar, a veces hablé de "más curvatura en el exterior" y "menos curvatura en el interior" y lo que quería decir era que si tuviera dos capas de caparazones delgados, entonces dentro de ambos podría ser plano y entre los dos caparazones podría parecería una curvatura similar a una estrella de "menor masa" y fuera de ambas podría parecer una curvatura fuera de una estrella de "mayor masa". Eso es lo que quise decir con mayor curvatura y menor curvatura. Alrededor de una estrella de masa fija, la verdadera curvatura del objetivo real se hace más pequeña cuanto más lejos estás. Entonces, cuando la galaxia se estaba formando, la curvatura era pequeña aquí y, a medida que la galaxia en contracción tenía mucha materia acercándose, extendió esa curvatura aquí que era leve hacia una curvatura más cercana que estaba curvada "de la misma manera", es decir, esa forma de vacío natural. Pero esa "misma" forma naturalmente tiene más curvatura real más cerca, por lo que hay más curvatura más cerca, y no quería ser engañoso al respecto. Pero estaba tratando de dejar en claro que tienes un tipo de curvatura natural y otro tipo de curvatura natural, y pueden ser tipos que tienen una curvatura más alta o más baja (a la misma distancia de cuerpos muy, muy lejanos). Así que mi charla sobre más y menos curvatura fue precisa cuando el asunto estaba justo ahí y las dos regiones se tocaban justo ahí. Es solo que más tarde, cuando la materia se ha movido en esa región natural de curvatura, permite que la curvatura cambie de un punto a otro. En nuestro ejemplo,

Espero que no haya sido demasiado confuso. Pero quería tener una respuesta real aquí sobre qué hace la curvatura y qué significa ser una fuente de curvatura. Significa que permites que diferentes curvaturas naturales se alineen para que puedas hacer una transición a la otra, así hacer más o menos de una de ellas.

Potencialmente, permitir que uno construya más de una región para darle la oportunidad de obtener una curvatura más fuerte en una dirección si es el tipo de curvatura que se vuelve más fuerte en una dirección. Dejar una curvatura más fuerte en el exterior significa que la región recién creada tiene la curvatura más fuerte, por lo que la materia que se contrae (que no es materia extraña) crea más espacio y más curvatura a medida que se contrae.

La fuente de gravedad en GR no es solo la masa, sino el tensor total de energía-momento; esta cantidad tensorial es una medida de energía, impulso y estrés, y se aplica a TODAS las formas de materia y todos los campos que no son gravitacionales. Además, existe una cantidad en geometría diferencial que se conserva automáticamente en una pequeña vecindad en una variedad diferenciable, llamada momento de rotación de Cartan; resulta que esto es matemáticamente solo el dual del tensor de Einstein, y lo que GR hace es relacionar estas dos cantidades tensoriales. Esto es lo que nos dicen las ecuaciones de campo: que la geometría del espacio-tiempo está relacionada con su contenido de energía-momento.