¿POR QUÉ ocurren los armónicos?

Es una pregunta simple con una respuesta bastante complicada.

Primero, una introducción rápida a la longitud de onda, la frecuencia y el tono.

La frecuencia es cuántas veces se repite una vibración en un período de tiempo. La longitud de onda es la longitud de una sola vibración, que para algo como una cuerda de guitarra, corresponde al tiempo que tarda en repetirse. Puedes ver que si la longitud de onda se reduce a la mitad, la frecuencia se duplica.

Convenientemente, la longitud de onda del sonido de una cuerda que vibra es proporcional a la longitud de la cuerda, por lo que podemos hablar de las dos casi indistintamente.

Duplicar la frecuencia (reducir a la mitad la longitud de onda) nos sube una octava.

Cuando golpeas/arrancas/sacudes cualquier cosa, vibrará en todo tipo de frecuencia. La mayoría de esas frecuencias desaparecerán muy rápidamente. Este es el por qué.

Estas son imágenes conceptuales de una cuerda vibrando. Piense en un extremo como la tuerca de una guitarra y el otro como el puente. El de abajo "no es una frecuencia resonante", porque la línea no termina en el puente. Quizá podría haber dibujado la última parte de la onda con una curva más pronunciada, de modo que llegara al punto, y eso habría mostrado lo que sucede con las ondas de esa frecuencia: en lugar de trabajar con la longitud de la cuerda para reforzarse, actúa en contra de la longitud de la cuerda, se cancela y desaparece.

Ahora mira las otras olas. Se sostienen porque "encajan" en la longitud de la cuerda. Seguirían vibrando así para siempre, si no fuera por la placa de sonido, la fricción del aire, etc., tal vez el campo magnético de una pastilla, quitándole energía.

He mostrado el primero, segundo, tercero y cuarto, pero continúan, en varios niveles de volumen.

La forma de onda compleja de una nota de guitarra es el resultado de sumar todas esas frecuencias resonantes.

Aquí hay algunas formas de onda:

Aquí hay un análisis de frecuencia de una sola nota de guitarra: el eje horizontal es la frecuencia, el eje vertical es la amplitud. Cada pico es un armónico diferente.

Es la mezcla precisa de frecuencias, y la rapidez con la que cada una muere, lo que proporciona el timbre del instrumento.

Una buena manera de hacerse una idea de esto es jugar con un sintetizador analógico (o una simulación de uno). Estos usan "síntesis aditiva", en la que un oscilador produce una onda sinusoidal pura, y usted construye un timbre agregando "armónicos" usando más osciladores, eligiendo el tono y el volumen relativos para cada uno.

Es posible que hayas notado que tu guitarra suena "más atronadora" si la tocas cerca del traste 12, y más aguda cuando la tocas cerca del puente. Eso es porque cuando punteas cerca de la mitad de la cuerda, le estás dando mucha energía al primer armónico y muy poca a los otros armónicos.

Ahora, ¿qué sucede si tocas suavemente el punto medio de la cuerda?

• Matas el 1er armónico. Eso implicó que la cuerda se moviera exactamente en el punto que ha suprimido.
• Permite que el segundo armónico siga sonando; la cuerda no necesita moverse en la posición que ha silenciado.
• Matas el 3er armónico
• El cuarto armónico sigue sonando
• ... y así.

El resultado es que resta la nota fundamental y muchos armónicos "impares", dejando un armónico que está una octava arriba y algunos de los armónicos más altos. El resultado es un sonido con menos armónicos que por lo tanto suena más "puro".

Una excelente manera de tener una idea de esto es tocar la cuerda al aire, luego escuchar atentamente mientras toca suavemente el punto medio, para ver cómo logra la octava restando parte del sonido.

Ver también este otro post

¿POR QUÉ ocurren los armónicos?

Bueno, no suceden, no necesariamente.

Las cadenas pueden hacer todo tipo de cosas:

Todas estas son formas posibles en las que podría verse una instantánea de una cuerda en movimiento. No solo eso, también podría moverse en cada punto con una velocidad arbitraria. La velocidad podría ser en todas partes 0 (por un momento infinitesimalmente corto). En el primer estado que se muestra, si la velocidad también es cero, esto significaría que la cuerda está simplemente en "modo silencioso", es decir, sin vibración alguna. El segundo estado es libre de armónicos (el estado propio más bajo de la cuerda; si esta instantánea es con velocidad cero, significa que la cuerda está en la posición de giro superior, es decir, se movió hacia arriba hasta ahora y luego comenzará a moverse hacia abajo).

El cuarto estado es un grupo confuso de armónicos. Con esto quiero decir que podría tomar un poco del estado fundamental de la imagen 2, algo del segundo armónico (una forma de S), un poco del 3er y así sucesivamente, sumarlos todos y obtener exactamente la imagen 4 ¿Cómo sonaría eso? Bueno, solo la suma de todas esas frecuencias como sobretonos, como en la típica vibración de cuerdas que estamos acostumbrados a escuchar. Excepto que la imagen 4 no es un estado de cadena típico: no esperaría encontrar una cadena real en ese estado.

Al contrario del estado 3: así es exactamente como se ve una cuerda de guitarra cuando la ha pulsado y está a punto de soltarse del clavo/púa. ¿Y qué pasa entonces? Bueno, se mueve como si nunca hubiera habido un pico, es decir, como si estuviera en medio de su movimiento normal y simplemente tomamos una instantánea que se parecía a la imagen 3. Pero la imagen 3 claramente no es un estado propio: al igual que imagen 4, la única forma en que una cuerda podría verse así es vibrando en múltiples modos al mismo tiempo. Y es por eso que una guitarra no produce oscilaciones sinusoidales, sino tonos propios con armónicos.

En realidad, la pregunta opuesta es más relevante

• ¿Por qué una cuerda no vibra en todas las frecuencias? Cuando lo golpeas, no estás proporcionando solo un nodo de vibración, sino que estás poniendo una porción de energía.

Todo se reduce a dónde están los nodos o ceros (eche un vistazo a la respuesta de @MatthewRead aquí ) ya que con los extremos de la cuerda fijos, cualquier onda que tenga un elemento de movimiento en esos puntos no se propagará (el punto final solo no se moverá)

Entonces, lo que eso hace es limitar las posibles frecuencias a aquellas que tienen una longitud de onda que cabe en la cuerda un número entero de veces.

Desde un punto de vista puramente teórico tiene que ver con dos cosas: excitación y no linealidad.

Como lo sugieren los diagramas de leftaroundabout, DONDE punteas una cuerda, por ejemplo, afectará en gran medida si vibra principalmente en el "fundamental" o en algún armónico. Esto es excitación. Por lo tanto, alguien que toque un instrumento de cuerda puede obtener un sonido más puro y "fundamental" tocando cerca de la mitad de la cuerda, y un sonido "más rico" y más "armónico" tocando más cerca del final de la cuerda.

La no linealidad, por otro lado, tiene que ver con el hecho de que, por ejemplo, la cuerda de un instrumento de cuerda no es perfectamente flexible, debe lidiar con la resistencia del aire y una serie de otros factores. Esto significa que incluso si de alguna manera inicialmente se excita a la frecuencia fundamental precisa, el hecho de que, por ejemplo, las cuerdas estén rígidas en los extremos hará que los extremos se "retrasen" ligeramente con respecto al movimiento del resto de la cuerda, por lo que en lugar de vibrar en un arco suave, la cuerda tomará una ligera forma de S. Si analiza matemáticamente la forma de S y traza su espectro de frecuencia, habrá un pico fuerte en la frecuencia fundamental, pero (debido a la forma de S) picos más débiles en los sobretonos. Además, el pico "agudo" en la fundamental (y los armónicos) se "expandirá" ligeramente debido a la resistencia del aire, etc.

Son todas estas sutiles variaciones las que dan a un instrumento musical su tono. Un tono fundamental puro suena "electrónico" y muy artificial. (Pero, por supuesto, demasiados armónicos y demasiada "propagación" dan como resultado un sonido turbio).

Hasta ahora, no he visto a nadie abordar la cuestión del "por qué" de los armónicos en un grado útil: todo el mundo tiene la intención de explicar cómo una cuerda (como un buen ejemplo de un oscilador con armónicos) puede soportar múltiples armónicos, o agitando la mano alrededor del problema. .

La respuesta es "condiciones de contorno". Un oscilador puede admitir múltiples modos, por lo que la pregunta es qué combinación de modos corresponderá realmente a una determinada excitación única, continua o semicontinua: la excitación establece las condiciones límite. Si punteamos una cuerda que no suena, se forma en dos segmentos de línea recta (asumiendo que el punteo es lento en comparación con la vibración) y luego la soltamos.

Así que necesitamos encontrar una superposición de armónicos y modos que den como resultado exactamente la forma de la cuerda y las fuerzas y el impulso en cada parte de ella en el momento en que la soltamos y la dejamos a su suerte: esto determinará los diversos proporciones de modos, y por lo general también decaerán con diferentes constantes de tiempo. Con las cuerdas, puede dar a algunos parciales una ventaja injusta al tocar la cuerda en lugares donde no se moverían: entonces otros parciales se extinguen mucho más rápido, el resultado es un sonido armónico puro o "flagelet".

Además, tocar una cuerda en varios puntos tendrá diferentes matices en el resultado. A algunos les gusta tocarlo muy cerca del puente para que sea básicamente el ruido de la púa que viaja de un lado a otro de la cuerda lo que crea el sonido inicial, bastante rico en armónicos hasta que los parciales más altos mueren.

Asumiré que te preguntas acerca de los componentes armónicos de un sonido, no los armónicos de la guitarra tocados con solo tocar la cuerda (que era la verdadera pregunta detrás de "¿Cómo funcionan los armónicos?" , Creo).

Cualquier señal periódica se puede representar como una suma de ondas sinusoidales. Estas ondas sinusoidales se muestran en un espectro: los picos en el gráfico de espectro de slim representan las amplitudes de las ondas sinusoidales, cuyas frecuencias están dadas por el eje x de los picos.

Sume estas ondas sinusoidales y recuperará su señal original. Si solo tiene un componente (un pico) en un espectro, la señal es solo un seno con esa frecuencia y amplitud.

Con eso en mente, su pregunta puede ser reformulada:

" ¿Por qué una cuerda de guitarra no vibra en una sola frecuencia? " -> " ¿Por qué una cuerda de guitarra no vibra como una onda sinusoidal? "

Se podría decir que una cuerda de guitarra vibra a una frecuencia (en una forma de onda no sinusoidal). Pero su forma de onda puede descomponerse en una suma de ondas sinusoidales de diferentes frecuencias.

Ahora bien, ¿por qué la cuerda de una guitarra no vibra como un seno? Como mencionaron otros, esto está controlado por las restricciones aplicadas a la cadena. El contacto con el punteo, donde se golpea la cuerda, la rigidez de la cuerda, las conexiones con el cuerpo de la guitarra, el cuerpo en sí, la habitación, tus dedos...

Todo tiene que ver con los matices. En pocas palabras, el sonido es una onda de compresión. (Por lo general, se dibuja como una onda estacionaria por simplicidad). Cada tono tiene una frecuencia establecida, por lo que el punto más alto de la onda ocurre cada cierto tiempo.

Un sobretono, que es lo que es un armónico, ocurre cuando tienes dos ondas de sonido cuyos puntos altos se superponen en ciertos intervalos. Por ejemplo, una octava por encima de cualquier nota dada es el doble de la frecuencia de esa nota, por lo que los puntos altos de la nota superior se superpondrán a los puntos altos de la nota inferior cada dos veces. Se producen efectos similares para la mayoría de los sobretonos.

Una cuerda de guitarra realmente solo vibra a una frecuencia única, que está determinada por su longitud y su tensión. Los armónicos se alinean con otras frecuencias, lo que hace que las cuerdas cercanas afinadas apropiadamente resuenen con la cuerda si coinciden con uno de los armónicos.

Esta es una simplificación excesiva, por supuesto. Este video de youtube es la mejor explicación de todo el proceso que he visto en mucho tiempo.

¿Por qué una cuerda de guitarra no vibra en una sola frecuencia?

Una cuerda ideal cuidadosamente punteada en su centro lo haría, pero las cuerdas de guitarra del mundo real no son cuerdas idealizadas. No carecen de masa, tienen grosor, a menudo son paquetes de metal retorcidos, tensión, calibre, etc. inconstantes. Y, probablemente lo más importante, se arrancan en algún lugar cerca de un extremo de la cuerda, lo que va en contra del movimiento natural. una cadena ideal le gustaría tomar. Así, más de un modo (frecuencia) de la cuerda estará vibrando; estos son los armónicos.

Este diagrama muestra cómo se ve el movimiento real de una cuerda pulsada (negra):

Los colores son los diferentes modos (sobretonos o armónicos) de la vibración de la cuerda. Cualquiera de estas "cuerdas" de colores es un movimiento natural que le gustaría tomar a la cuerda negra. Dado que la "cuerda" roja tiene la mayor amplitud, su frecuencia es la más prominente que se escucha proveniente de la cuerda vibrante. Todos estos colores, cuando se superponen, crean la vibración no "pura" de una picadura arrancada. Puede ver que la forma de la cuerda negra no es simétrica, está "doblada", a diferencia de las "cuerdas" de colores.

Pulsar en el medio de la cuerda es una forma de minimizar los armónicos. Si hace esto, escuchará un sonido más puro. Esto se debe a que no se opone al movimiento natural de una cuerda, sino a tirar cerca de un extremo de la cuerda.

¿Por qué una cuerda de guitarra no vibra en una sola frecuencia?

Los armónicos en general son producidos por sistemas que tienen una respuesta no lineal, como una cuerda.

Una forma de entender los armónicos es observar las operaciones matemáticas, como las transformadas de Fourier u otras transformadas. Estas operaciones convierten (transforman) una ecuación integral de alguna cantidad, generalmente amplitud frente a tiempo, en una suma de otra cantidad, generalmente amplitud frente a frecuencia, donde las frecuencias armónicas aparecen como términos principales de la suma.

Otra forma es ver cómo la no linealidad crea armónicos. Esto es lo que desarrollaré aquí. La no linealidad no es algo desconocido para los músicos, tan pronto como un amplificador o un micrófono no es lineal, crea una distorsión armónica , que son solo frecuencias armónicas parásitas agregadas a la copia amplificada de la entrada de audio. La distorsión armónica en la música también se llama... timbre de instrumento . ¡Tantas palabras diferentes para un efecto físico!

Linealidad de la fuerza restauradora: Resorte

Como ejemplo de linealidad, imagina un resorte. Si uno alarga el resorte, percibe una fuerza restauradora, cuanto mayor sea el alargamiento y mayor la fuerza, tal vez hasta el punto en que el resorte no pueda extenderse más. En general, un resorte helicoidal desarrolla una fuerza restauradora exactamente proporcional al alargamiento:

Tal sistema se dice lineal en cuanto a su respuesta a una perturbación. Para obtener más información sobre la linealidad de los resortes y algunas aplicaciones, una buena lectura es el artículo de Wikipedia sobre la ley de Hooke .

Linealidad de la fuerza restauradora: Diapason

El diapasón es un instrumento interesante porque oscila mayormente sin armónico. La oscilación de las puntas ocurre en el dominio lineal de la elasticidad del metal, donde la fuerza de restauración es proporcional a la distancia actual desde la posición de reposo.

Esta elasticidad (casi) lineal existe para el material metálico, pero solo para pequeños desplazamientos, lo que significa que se transmite poca energía al aire y una intensidad de sonido limitada. Si tratáramos de crear sonidos más altos, saldríamos del dominio lineal y aparecerían los armónicos.

Volveremos al diapasón más tarde. Primero veamos un sistema verdaderamente no lineal: ¡La cuerda de la guitarra!

Guitarra: gran oscilación, en su mayoría no lineal

Un sistema oscilante como una cuerda vibrante también tiene una posición de reposo. Cuando se aleja de esta posición desarrolla una fuerza, en forma de tensión, que tiende a restablecer el estado de reposo, cuanto mayor es la distancia transversal a la posición de reposo, mayor es la tensión longitudinal.

Sin embargo, la cuerda de la guitarra no funciona en el pequeño rango de elasticidad lineal del diapasón, necesita producir sonidos potentes, la cuerda se "excita" con entradas grandes, a las que el material no puede responder de forma lineal. La tensión no es proporcional a la distancia transversal en un punto dado de la cuerda:

^{(Gráfico de la derecha de Henrik B Pedersen y Jeppe Langeland Knudsen , adaptado)}

(Nota: la figura anterior se actualizó después de que @user1079505 comentara sobre un valor incorrecto para la amplitud x. La figura incorrecta/original está aquí ).

La amplitud de la fuerza restauradora tiende a aumentar en mayor proporción a medida que nos acercamos al límite de elasticidad y nos acercamos un poco más al punto de deformación/rotura permanente. Otros factores juegan un papel, incluyendo que la respuesta no es independiente del tiempo, la respuesta también depende de la perturbación previa de la cuerda.

El resultado es que la fuerza de restauración no es una copia escalada de la distancia actual de la cuerda desde su posición de reposo y, lo que agrega complejidad, en un momento dado, el factor de escala no es el mismo para todos los segmentos de la cuerda.

Esta no linealidad entre la amplitud de desplazamiento y la tensión de restauración es el origen de los armónicos. El mecanismo real es complejo, pero veremos un caso simple mirando de nuevo al diapasón, que después de todo no es totalmente lineal...

De vuelta al diapasón con su pequeña no linealidad

Decir que un diapasón no tiene armónicos era una aproximación. El diapasón generalmente desarrolla el segundo armónico, y el detalle de cómo sucede esto es un buen ejemplo de la extrema sensibilidad de los dispositivos físicos oscilantes a la asimetría y la no linealidad que se ve en acción con las cuerdas.

Básicamente, las púas de un diapasón oscilan en su plano común como vigas en voladizo, y el centro de masa, visto desde arriba, se mantiene inmóvil debido a la simetría de los desplazamientos. Sin embargo, este no es el caso de su posición vertical.

Cuando las puntas oscilan, su centro de masa individual se mueve hacia arriba y hacia abajo una pequeña distancia, siguiendo un arco circular. También ocurre a 440 Hz (o cualquier frecuencia para la que esté sintonizado el tenedor). Este desplazamiento de la masa induce una reacción en dirección vertical, el vástago sube y baja en una cantidad muy pequeña.

El diapasón generalmente se sostiene contra otro soporte, por ejemplo, una mesa. Al hacerlo, las vibraciones de las púas se transmiten al soporte actuando como amplificador.

Parece que el vástago es más eficiente para transmitir vibraciones verticales, y la superficie de la mesa se dobla más fácilmente verticalmente que se mueve horizontalmente. Debido a esta amplificación selectiva por parte de la mesa, la muy pequeña vibración vertical tiene ahora más importancia relativa.

La frecuencia de la onda transversal y la onda del centro de masa son las mismas, esto aún podría no tener consecuencias, sin embargo, lo que es problemático es que su forma de onda es diferente, una es una sinusoide distorsionada. Y adivina la razón de esta distorsión... Aquí estamos: ¡No linealidad!

^Fuente

Este gráfico es parte de un estudio que es bueno leer. Muestra las dos oscilaciones (las escalas no son del mismo orden). Mientras que la onda transversal es casi sinusoidal, la onda vertical debido al desplazamiento de masa tiene picos y mínimos de diferentes formas. La causa es que la oscilación vertical alterna fuerzas de tensión y compresión en el vástago, a lo que el metal responde de diferente manera, con distintas velocidades. Nos quedan dos ondas que naturalmente interfieren, creando el armónico de 880 Hz:

Este es un ejemplo simple de armónicos creados por una pequeña no linealidad, el principio es el mismo para otros materiales y dispositivos vibratorios, incluidas las cuerdas de guitarra, aunque hay más elementos involucrados.

Linealidad: una definición más precisa

Técnicamente decimos que es un homomorfismo, de forma homos - igual y -morfe . Esas son grandes palabras, en la práctica aquí hay una transformación lineal:

^Fuente

BC y B'C' son transformaciones lineales entre sí. La definición de un sistema lineal es:

• Si la entrada x produce la salida u, entonces para cualquier número k, kx debe producir ku. Esto significa que la salida debe ser proporcional a la entrada. Si la entrada aumenta en un factor k, entonces la salida aumenta en el mismo factor.

• Si la entrada x produce u, y la entrada y produce v, entonces la entrada k1.x + k2.y debe producir k1.u + k2.v (siendo k1 y k2 cualesquiera multiplicadores). Significa que la salida producida por la suma es la misma que la suma de las salidas de las entradas individuales.

Eso es todo. Cualquier sistema que no tenga las dos propiedades anteriores produce distorsión/armónicos. Puede ocurrir con amplificadores, dispositivos vibratorios, ondas cósmicas o la red eléctrica. Los armónicos generalmente no son deseados, pero pueden ser difíciles de eliminar.

Usted preguntó "¿Por qué la cuerda de una guitarra no vibra en una sola frecuencia?". Mirémoslo desde la otra perspectiva: cada tipo de instrumento musical produce sonidos que tienen sobretonos, y cada tono tocado en cada tipo de instrumento tiene múltiples frecuencias, no solo en la guitarra. Ningún instrumento musical que no tenga armónicos en absoluto produce un sonido repetitivo y oscilante. El único sonido que puede existir que no tiene sobretonos sería una onda sinusoidal completamente pura. Solo podría crear una onda sinusoidal pura con un oscilador electrónico. Ningún instrumento musical acústico o electroacústico puede crear un sonido similar a una onda sinusoidal pura.

Vibraría solo a la frecuencia fundamental si lo excitara exactamente en el medio y no hubiera pérdidas en el material.

Sin embargo, si lo excita al azar, pasará a un estado de "equilibrio" en el que solo sobrevivirán las ondas estacionarias múltiplo de frecuencia fundamental.

Es decir, en un escenario ideal podrías generar solo los armónicos deseados si excitas una cuerda ideal en los puntos correctos.

Sobre la base de las respuestas de todos hasta ahora, proporcionaré un ejemplo concreto con el que puede jugar: https://www.desmos.com/calculator/ii4bptqcb0 . En todos los ejemplos, querrá dejar que la variable t cambie presionando el botón de reproducción junto a la variable.

Para entender esto, comience con la versión básica y comprenda que k está cambiando la fase del 2do armónico.

Después de eso, puede ver que en el ejemplo original v1 ... vk es la fase correspondiente a cada armónico, por lo que se pueden ajustar.

Tenga en cuenta que cuando carga el experimento, la línea simula el momento antes de que el jugador suelte la cuerda como en el diagrama de leftaroundabout:

Y después de que se libera, se parece más a la onda final en el diagrama anterior.

También tenga en cuenta que establecer todos los parámetros en 0 también brinda una buena aproximación de un arranque: https://www.desmos.com/calculator/p8rpxes5tw

Y luego deja que la variable t "juegue". Observe lo cerca que está este movimiento del movimiento que observamos en este video:

Espero que estos ejemplos lo ayuden a obtener una comprensión concreta de las otras soluciones.