Representaciones del Grupo Lorentz

¡Agradecería que alguien pudiera verificar que mi exposición aquí es correcta y luego aventurar una respuesta a la pregunta al final!

$SO(3)$tiene una representación fundamental (spin-1), y representaciones de productos tensoriales (spin-$n$por$n\in\mathbb{Z})$.

$SO(3)$tiene grupo de cobertura universal$SU(2)$. La representación básica de$SU(2)$y sus representaciones de productos tensoriales descienden a representaciones proyectivas de$SO(3)$. A estas representaciones las llamamos representaciones de espín de$SO(3)$(girar-$n/2$por$n\in \mathbb{Z}$).

El espacio vectorial complejo$\mathbb{C}^2$tiene elementos llamados espinores, que se transforman bajo una rotación$R$según el representante correspondiente$D(R)$. La generalización natural de un espinor se llama pseudotensor y vive en el espacio del producto tensorial.

Podemos repetir el análisis para el grupo de Lorentz ortocrónico propio$L_+^\uparrow$. Encontramos que el grupo de cobertura universal es$SL(2,\mathbb{C})$y obtenemos dos espines no equivalentes$1/2$representaciones proyectivas de$L_+^\uparrow$, a saber, las representaciones fundamentales y conjugadas de$SL(2,\mathbb{C})$.

Ahora bien, cuando pasamos al grupo completo de Lorentz, de alguna manera las representaciones proyectivas desaparecen y se convierten en representaciones genuinas. ¿Por qué, moral y matemáticamente, es esto? Si es posible dar una respuesta sin recurrir al álgebra de Lie, y solo trabajando con representaciones del grupo, ¡estaría encantado!

Muchas gracias de antemano.