Ley de Ampère vs ley de Biot Savart

cuando preguntas

¿Por qué la ley de Ampère a menudo se aplica a un cable infinitamente largo y la ley de Biot Savart se aplica a un cable corto?

estás completamente equivocado: tanto la ley de Ampère como la ley de Biot-Savart siempre se cumplen .

Más específicamente, si usted tiene un actual$I$corriendo en una curva$\mathcal C_0$, entonces:

• La ley de Biot-Savart especifica el campo magnético$\mathbf B(\mathbf r)$en cualquier posición dada$\mathbf r$en términos de una integral sobre el circuito portador de corriente,

  $$\mathbf B(\mathbf r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathcal C_0} \frac{I\mathrm d\mathbf l \times(\mathbf r-\mathbf r')}{\|\mathbf r-\mathbf r'\|^3}.$$

• La ley de Ampère especifica la circulación de$\mathbf B$sobre cualquier curva arbitraria$\mathcal C$en términos de la corriente encerrada por dicha curva:

  $$\oint_\mathcal{C} \mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf l = \mu_0 I_\mathrm{enc}.$$

Si tu objetivo es encontrar$\mathbf B(\mathbf r)$en un punto dado, puede usar uno o ambos para encontrarlo, y normalmente usa la ruta más simple disponible. Si tienes un cable infinito con mucha simetría, la ruta más simple es usar la ley de Ampère, porque no tienes que hacer integrales. Si no tiene tal simetría, por defecto utiliza la ley de Biot-Savart, porque entonces la ley de Ampère no dice nada sobre ningún punto individual en el espacio.

En última instancia, para los cálculos magnetostáticos, la ley de Biot-Savart es probablemente la forma más sólida de obtener campos magnéticos (aunque en algunas situaciones puede tener sentido resolver numéricamente la ley de Ampère en su forma diferencial). Sin embargo, en términos de importancia fundamental, es la ley de Ampère la que gana el día, como parte integral de las ecuaciones de Maxwell y, por lo tanto, como parte central del marco principal de la electrodinámica.

Para empezar, la ley de Ampere es solo una variación ligeramente diferente de la cuarta ecuación de Maxwell, por lo que se puede usar en casi cualquier lugar (al igual que la ley de Gauss, pero no obtendrá resultados útiles excepto en algunos casos de simetría evidente). La ley de Biot-Savart es el análogo magnético de la ley de culombio. Puede encontrar el campo para cualquier distribución de corrientes, siempre que pueda integrarlo para obtener resultados útiles.

Del 4to eqn de Maxwell, tenemos:

$\nabla \times \vec B = \mu_0. J + \frac{1}{c^2}.\frac{\partial \vec E}{\partial t}$

La ley de amperios descuidó el segundo término, y en forma integral se ve así:

$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$

Este es familiar, supongo. Uno puede aplicar la ley de los amperios a un alambre infinito, solo porque$\vec B$es uniforme y circular alrededor de este alambre. Ese no es el caso de los cables finitos, donde no se puede tomar$\vec B$de la integral de la izquierda, y hacer un buen uso de ella. La ley no es incorrecta excepto en los casos de tipo condensador cuando el segundo término en la ecuación de Maxwell. hay que tener en cuenta. Siempre dará la respuesta correcta. Pero sin un cierto grado de simetría, ejemplo: una forma regular como un toroide, solenoide, círculo, etc., la ley de Ampere es generalmente inútil. La ley de Biot-Savart, por otro lado, puede darle B para cualquier distribución actual, siempre que pueda integrarse adecuadamente.