Deducción de H=Bμ0−MH=Bμ0−M\mathbf H =\dfrac{\mathbf B}{\mu_0}-\mathbf M

¡Feliz Navidad a todos los usuarios!

quiero llegar a$\mathbf H =\dfrac{\mathbf B}{\mu_0}-\mathbf M$del principio de superposición, como han hecho algunos textos de electrostática con$\mathbf D=\epsilon_0\mathbf E+\mathbf P$. En magnetostático estoy atascado.

Por ejemplo, en electrostática, por el principio de superposición, el potencial fuera de un cuerpo polarizado debe ser la suma de los potenciales debidos a las cargas libres y ligadas. Al aplicar el degradado resulta

$$\begin{array}{cl}\boldsymbol\nabla V=\boldsymbol\nabla V_\text{l}+\boldsymbol\nabla V_\text{p}&(1)\end{array}$$

El campo total vendrá dado por el potencial eléctrico total (de nuevo, por el ppio de superposición), de modo que$\mathbf E=-\boldsymbol\nabla V$. Si aplicamos el gradiente (con respecto a las coordenadas de$\mathbf r$) a

$$\begin{equation} V_\text{p}\left(\mathbf r\right)=k_e \displaystyle\int_V\dfrac{\mathbf P\left(\mathbf r^{\prime}\right)\cdot\hat{\mathbf R}}{R^2}\ \mathrm{d}\tau^{\prime} \end{equation}$$

obtendremos el campo eléctrico debido a la polarización:

$$\begin{array}{rcl}\boldsymbol\nabla V_p&=&\boldsymbol\nabla\left(k_e \displaystyle\int_V\dfrac{\mathbf P\left(\mathbf r^{\prime}\right)\cdot\hat{\mathbf R}}{R^2}\mathrm{d}\tau^{\prime}\right)=k_e \displaystyle\int_V\mathbf P\left(\mathbf r^{\prime}\right)\cdot\underbrace{\boldsymbol\nabla\left(\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}\right)}_{4\pi\delta^3\left(\mathbf R\right)}\mathrm{d}\tau^{\prime}\\&=&\underbrace{4\pi k_e }_{1/\epsilon_0}\displaystyle\int_V\mathbf P\left(\mathbf r^{\prime}\right)\delta^3\left(\mathbf r-\mathbf r^{\prime}\right)\mathrm{d}\tau^{\prime}=\dfrac{\mathbf P\left(\mathbf r\right)}{\epsilon_0}\end{array}$$

Sustituyendo en$(1)$y multiplicando la ecuación por$\epsilon_0$resultados

$$\begin{equation}\epsilon_0\mathbf E+\mathbf P=-\epsilon_0\boldsymbol\nabla V_l\end{equation}$$

El miembro de la izquierda generalmente se abrevia por

$$\begin{equation}\mathbf D=\epsilon_0\mathbf E+\mathbf P\end{equation}$$ que llamamos vector de desplazamiento.

En magnetostatica no he visto en libros que hagan eso de esta forma, si no sumando las corrientes de magnetizacion y libres. Aunque esto sirve me gustaria hacerlo por el principio de superposicion y me gustaria hacer lo mismo:

Empezando desde

$$\begin{array}\mathbf A_\text{m}\left(\mathbf r\right)=k_m\displaystyle\int_V\dfrac{\mathbf M\left(\mathbf r^{\prime}\right)\wedge\hat{\mathbf R}}{R^2}\ \mathrm{d}\tau^{\prime},&(2)\end{array}$$ por el principio de superposición, el potencial vectorial fuera de un cuerpo magnetizado debe ser la suma de los potenciales vectoriales debidos a las corrientes libres y la magnetización. Al aplicar el rizo obtenemos $$\begin{array}{cl}\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A=\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A_\text{l}+\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A_\text{m}&(3)\end{array}$$

El campo magnético total resultará de aplicar el rotacional al vector potencial total (sup. pple. nuevamente), de modo que$\mathbf B=\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A$. Si aplicamos el rotacional (con respecto a las coordenadas de$\mathbf r$) a$(2)$obtendremos el campo magnético debido a la magnetización del material:

$$\begin{equation}\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A_\text{m}=\boldsymbol\nabla\wedge\left(k_m\displaystyle\int_V\dfrac{\mathbf M\left(\mathbf r^{\prime}\right)\wedge\hat{\mathbf R}}{R^2}\ \mathrm{d}\tau^{\prime}\right)=k_m\displaystyle\int_V\boldsymbol\nabla\wedge\left(\mathbf M\left(\mathbf r^{\prime}\right)\wedge\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}\right)\ \mathrm{d}\tau^{\prime}.\end{equation}$$ Expandiendo el integrando: $$\begin{equation}\boldsymbol\nabla\wedge\left(\mathbf M\left(\mathbf r^{\prime}\right)\wedge\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}\right)=\underbrace{\left(\mathbf M\cdot\boldsymbol\nabla\right)\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}}_{(\text{a})} -\underbrace{\left(\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}\cdot\boldsymbol\nabla\right)\mathbf M}_{(\text{b})}+\underbrace{\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}\left(\boldsymbol\nabla\cdot\mathbf M\right)}_{(\text{c})}-\underbrace{\mathbf M\left(\boldsymbol\nabla\cdot\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}\right)}_{(\text{d})}\end{equation}$$

Todo lo que se deriva del vector magnetización es nulo porque sólo depende de$\mathbf r^{\prime}$, entonces$(\text{b})$y$(\text{c})$son cancelados. El término$(\text{d})$es el que interesa:

$$\begin{equation}k_m\mathbf M\left(\boldsymbol\nabla\cdot\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}\right)=4\pi k_m \mathbf M\left(\mathbf r^{\prime}\right)\delta^3\left(\mathbf R\right)=\mu_0 \mathbf M\left(\mathbf r^{\prime}\right)\delta^3\left(\mathbf R\right)\end{equation}$$

Pensé que el término$(\text{a})$se cancelaría pero no me da nulo:

$$\begin{array}{rcl}\left(\mathbf M\cdot\boldsymbol\nabla\right)\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^3M_i\frac{\partial }{\partial x_i}\displaystyle\sum_{j=1}^3\frac{R_j}{R^3}\mathbf e_j=\displaystyle\sum_{i,j=1}^3M_i\mathbf e_j\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{R_j}{R^3}\right)\\&=&\displaystyle\sum_{i,j=1}^3\dfrac{M_i\mathbf e_j}{R^6}\left[R^3\frac{\partial R_j}{\partial x_i}-R_j\frac{\partial R^3}{\partial x_i}\right]\end{array}$$

por separado (con$\mathbf R=\mathbf r-\mathbf r^\prime=R_1\hat{\mathbf e}_1+R_2\hat{\mathbf e}_2+R_3\hat{\mathbf e}_3$y$R_i=x_i-x_i^\prime$):

$$\begin{array}{rcl}\dfrac{\partial R_j}{\partial x_i}&=&\dfrac{\partial x_j}{\partial x_i}=\delta_{ij}\\\dfrac{\partial R^3}{\partial x_i}&=&\dfrac{\partial R^3}{\partial R}\dfrac{\partial R}{\partial x_i}=3R^2\cdot\dfrac{R_i}{R}=3RR_i\end{array}$$ Sustituyendo: $$\begin{array}{rcl}\left(\mathbf M\cdot\boldsymbol\nabla\right)\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}&=&\displaystyle\sum_{i,j=1}^3\dfrac{M_i\mathbf e_j}{R^6}\left[R^3\delta_{ij}-R_j3RR_i\right]=\displaystyle\sum_{i,j=1}^3\dfrac{M_i\mathbf e_j}{R^6}R^3\delta_{ij}-\displaystyle\sum_{i,j=1}^3\dfrac{M_i\mathbf e_j}{R^6}R_j3RR_i\\&=&\dfrac{1}{R^3}\displaystyle\sum_{i=1}^3M_i\mathbf e_i-\dfrac{3}{R^5}\displaystyle\sum_{i=1}^3M_iR_i\displaystyle\sum_{j=1}^3R_j\mathbf e_j=\dfrac{\mathbf M}{R^3}-\dfrac{3}{R^5}\left(\mathbf M\cdot\mathbf R\right)\mathbf R\\&=&\dfrac{1}{R^3}\left[\mathbf M-3\left(\mathbf M\cdot\hat{\mathbf R}\right)\hat{\mathbf R}\right]\end{array}$$

Sustituyendo lo anterior e integrando (teniendo en cuenta que$\mathbf m=\int_V\mathbf M\ \mathrm{d}\tau^\prime$) Yo obtengo:

$$\begin{equation}\mathbf B_\text{m}=-\dfrac{k_m}{R^3}\left[3\left(\mathbf m\cdot\hat{\mathbf R}\right)\hat{\mathbf R}-\mathbf m\right]-\mu_0\mathbf M \end{equation}$$ El primer término coincide con el campo magnético de un dipolo magnético. No entiendo por qué está ahí, en electrostática no tenemos el campo eléctrico de un dipolo eléctrico.

Si$(\text{a})$fuera nula, esta última sólo integraría el término$(\text{d})$y obtener$\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A_\text{m}=-\mu_0\mathbf M\left(\mathbf r\right)$, por lo que sustituyendo en$(3)$sería$\mathbf B+\mu_0\mathbf M=\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A_\text{l}$. Pero necesitaría un signo menos allí para que fuera$\mu_0\mathbf H$. Sí, definitivamente soy un asco.

Bueno, la vida es dura y eso no lo entiendo, ¿alguien ve el fracaso?

PD: Quien lo hizo, gracias por leer este tedioso discurso ;).