¿Por qué la presión del aire en la superficie de la tierra es exactamente igual al peso de toda la columna de aire sobre ella?

Suponga que la presión en la superficie de la Tierra es$P$. Considere una columna de aire de área transversal$A$. La fuerza hacia arriba sobre la columna es$F_{\text{up}}=PA$. Denote el peso de la columna como$W$. Por definición de "peso", la fuerza hacia abajo sobre la columna es$F_{\text{down}}=W$.

Supongamos que la presión es demasiado baja, tal que$F_{\text{up}}<F_{\text{down}}.$La columna de aire caerá entonces hacia abajo. A medida que lo hace, más moléculas de aire llegan a la superficie de la Tierra, aumentando la densidad del aire y, por lo tanto, también aumentando la presión. Como la presión aumenta, también lo hace$F_{\text{up}}$. Esto continuará hasta$F_{\text{up}} = F_{\text{down}}$, en cuyo momento el sistema está en equilibrio y permanece igual.

En otras palabras, la presión es tal que equilibra el peso de la columna porque esa es la única situación que no cambiará inmediatamente.

¿Por qué la presión del aire en la superficie de la tierra (resultante de colisiones de moléculas en la superficie de la tierra que tiene que ver con la velocidad de las partículas) es exactamente igual al peso de toda la columna de aire sobre ella (que solo tiene que hacer con el número y la masa de las moléculas en la columna de aire)?

Eso no es exactamente cierto. Existen desviaciones del equilibrio hidrostático. Los nombres genéricos para estas desviaciones son "tiempo" (desviaciones locales y a corto plazo) y "clima" (desviaciones globales y a más largo plazo).

Sin embargo, es aproximadamente cierto. Las razones son dos, el equilibrio hidrostático y la segunda ley de la termodinámica.

Considere una pequeña parcela de aire en forma de paralelepípedo con dos caras horizontales (superior e inferior) de área$A$y altura$\Delta z$. Las fuerzas verticales en este paquete son la fuerza de gravedad hacia abajo y la fuerza de flotación hacia arriba o hacia abajo. La flotabilidad es la diferencia de presión entre las caras superior e inferior multiplicada por el área de las caras superior e inferior. Definición$\Delta p \equiv p_\text{top} - p_\text{bottom}$, la fuerza hacia abajo de la flotabilidad es$F_b = A \Delta p$. Sumando la fuerza gravitatoria$mg$produce la fuerza descendente neta sobre el paquete,$F = A \Delta p + mg$. Dividiendo por la masa da la aceleración hacia abajo:$a = \frac {A \Delta p} m + g$. Dado que la masa es el volumen por la densidad, esto se convierte en$a = \frac 1 {\rho} \frac {\Delta p}{\Delta z} + g$. en el limite$\Delta z \to 0$esto se convierte$a = \frac 1 \rho \left(\frac {dp}{dz} + \rho g\right)$. El término entre paréntesis debe ser cero para que la parcela permanezca estacionaria:

La otra razón es la segunda ley de la termodinámica. Una consecuencia de esta ley es que un sistema tiende hacia un estado que minimiza la energía potencial total si existe un camino que permite que esto suceda. El equilibrio hidrostático minimiza la energía potencial de la atmósfera. Los movimientos hacia arriba y hacia abajo que resultan de las desviaciones del equilibrio hidrostático proporcionan la autocorrección que mueve la atmósfera hacia el equilibrio hidrostático.

Como señalé en mi párrafo inicial, existen desviaciones. El hecho de que la Tierra sea calentada por el Sol durante el día y se enfríe durante la noche, y que el calentamiento por unidad de área varíe con la latitud obliga a que se produzcan estas desviaciones. Estas desviaciones van desde pequeñas y locales (chubascos de lluvia convectivos por la tarde) hasta muchos cientos de kilómetros (huracanes y tifones) y globales (las células de Hadley, Ferrel y polares). El forzamiento del Sol significa que la atmósfera de la Tierra nunca puede estar exactamente en equilibrio hidrostático. Está extremadamente cerca de estar en equilibrio hidrostático después de promediar esas desviaciones a lo largo del tiempo y sobre la faz de la Tierra.

Aquí hay una respuesta simple, no matemática. Aunque la presión en la superficie depende de la velocidad de las moléculas de aire, esa no es la imagen completa. Es más preciso decir que depende de la tasa de colisiones . La tasa de colisión depende de la velocidad de las moléculas, es decir, de la temperatura. Pero también depende de la densidad de las moléculas. Mayor densidad significa más colisión. A su vez, debería ser obvio que la densidad en la superficie depende de la masa de la columna de aire. Por tanto, la presión depende de la masa de la columna de aire y de la temperatura local (velocidad) del aire.