¿Por qué la presión se comporta exponencialmente en la atmósfera?

Consideremos las diferencias entre el mar y la atmósfera. La atmósfera es una capa de gas, mientras que el mar es una capa de fluido (casi) incompresible. Podemos utilizar las propiedades de estos para deducir la variación de presión con la profundidad.

En ambas situaciones, necesitamos equilibrar las fuerzas de la presión del aire (agua) y la gravedad.

Considere primero el aire. Como el aire es (aproximadamente) un gas ideal, la densidad viene dada por$\mu p / RT$dónde$\mu$es la masa molar promedio del aire. La fuerza de la presión del aire sobre una "losa" delgada de aire en altura$z$con espesor$\Delta z$y área$A$es$( p(z) - p(z + \Delta z) )A$, donde up se considera positivo. La fuerza de gravedad es igual a la densidad por el volumen, o$- \left( \frac{\mu p g}{RT} \right) (A \Delta z)$. El balance de fuerzas dice

$$(p(z + \Delta z) - p(z))A = - \left( \frac{\mu p g}{RT} \right) (A \Delta z)$$ $$\frac{dp}{dz} = \frac{ p(z + \Delta z) - p(z) }{\Delta z} = -\frac{\mu p g}{RT}$$

en el límite como$\Delta z \to 0$. Porque$dp / dz$es proporcional a$p$, tenemos una dependencia exponencial,$p \propto \exp(-\frac{ \mu g z }{ RT })$.

Ahora, considere el agua. Como el agua es un fluido incompresible, la densidad es constante en todas partes, sea$\rho$. Entonces, el balance de fuerzas lee, en la profundidad$z$,

$$(p(z) - p(z + \Delta z))A = - (\rho g) (A \Delta z) .$$

Note la diferencia en los signos: por convención, dejamos$z$ser la profundidad bajo la superficie del agua, en oposición a la altura sobre el fondo del mar.

Así, podemos escribir

$$\frac{dp}{dz} = \frac{ p(z + \Delta z) - p(z) }{\Delta z} = \rho g .$$

Como la derivada es constante, podemos escribir$p = p_0 + \rho g z$, que es un gradiente lineal.

Resumen. La diferencia en los tipos de gradientes de presión surge debido al hecho de que la densidad es (casi) constante en el mar, mientras que la densidad es linealmente proporcional a la presión en el aire.

Los gases son comprimibles; así como el peso de las capas superiores ejerce presión sobre el gas; el gas también tenderá a comprimirse.

Esto significa que a medida que se obtiene una atmósfera más espesa; el peso no aumenta simplemente porque hay más líquido encima; también cambia porque cuanto más fluido está por encima de él; cuanto mayor es la densidad del fluido, ya que se comprime más por el peso. Todo esto se relaciona con la ley de los gases ideales .

El agua es prácticamente incompresible a presiones moderadas, por lo que no se comporta de esta manera y aproximadamente solo tiene el efecto lineal de la presión hidrostática .

Las moléculas de nitrógeno y oxígeno no están unidas entre sí y se mueven de forma independiente. Su distribución de altura viene dada por el factor de Boltzmann:

$$P(E) \propto \exp\frac{mgh}{kT},$$ dónde $mgh$es la energía potencial gravitacional de una molécula de aire y es $kT$la energía térmica a la temperatura $T\approx 260$kelvin Esta distribución exponencial está razonablemente de acuerdo con la fórmula barométrica y la altura de escala de la atmósfera.

Las moléculas de agua se pegan. La gravedad actúa sobre el líquido condensado como un todo. La densidad es alta y casi constante porque la compresibilidad del líquido es baja. Con la presión como el peso del material de arriba, esto da un aumento de presión lineal.