Esto es un poco peculiar: durante mucho tiempo he encontrado que los pequeños agujeros negros que se evaporan de Stephen Hawking son mucho más razonables e intuitivos que los grandes agujeros negros.
La razón principal es que la gravedad es relativa solo si sus vectores de gravedad son todos paralelos. Cuando eso es cierto, puede simplemente acelerar junto con el campo y tener un marco perfectamente relativista a su favor.
No es así si sus vectores de gravedad se inclinan uno hacia el otro, como es particularmente cierto para los agujeros negros muy pequeños. En ese caso, la energía inherente en el espacio alrededor del agujero se vuelve bastante real y bastante caliente, y eso independientemente de si hay materia en la mezcla o no. (¿Ojalá eso sea bastante intuitivo para todos en este grupo?)
Entonces, ¿cómo puede el espacio que rodea inmediatamente a un pequeño agujero negro no estar increíblemente caliente? Por su misma geometría, debe estar absolutamente lleno de energía debido a la intersección no paralela de vectores de gravedad extremadamente intensos. Entonces, la idea de que esa energía se evidencie en la creación de partículas bastante reales fuera del horizonte de eventos parece casi una necesidad, una consecuencia directa de la estructura energética del espacio mismo.
Entonces, esa es realmente la base de mi pregunta: ¿No es la curvatura del espacio una mejor manera de entender su entropía sumando el área de superficie de un agujero negro?
Al centrarse en la curvatura, todo el espacio tiene entropía, no solo la peculiar variedad de espacio que se encuentra en los horizontes de sucesos. El espacio plano maximiza la entropía, mientras que el espacio increíblemente curvo cerca de un agujero negro microscópico la maximiza. También me gusta esto porque si lo analizas bien, la entropía tiene que ver con la suavidad, en múltiples formas.
Entonces: ¿la inversa de la curvatura del espacio se considera una métrica de entropía? ¿Si no, porque no? ¿Qué me estoy perdiendo?
Podemos asociar hasta cierto punto la curvatura de una solución a su entropía. La función de partición euclidiana en la relatividad general se puede aproximar por,
dónde es la acción euclidiana evaluada en todas las soluciones clásicas que tienen un período coordinar con el periodo . La entropía del sistema está dada aproximadamente por,
La acción de Einstein-Hilbert contiene el escalar de Ricci, es decir
Por lo tanto, técnicamente, la entropía depende de la curvatura . Además, incluso para soluciones no triviales como la métrica de Schwarzschild, puede haber casos en los que . Sin embargo, recuerde que para definir un principio de acción totalmente riguroso, debe complementarse con un término límite,
dónde es la curvatura extrínseca, y la métrica inducida en el límite .
Ejemplo de cálculo (solución de Schwarzschild)
Después de una rotación de Wick, teniendo en cuenta es periodico con periodo , la métrica está dada por,
Si elegimos una normal apropiada que apunta hacia adentro ,
la curvatura extrínseca viene dada por , es decir, la divergencia de la normal. Los pasos intermedios requieren la introducción de un corte radial , y la resta del término límite del espacio plano con el mismo límite . Eventualmente, uno encuentra,
dónde es el área del agujero negro. La entropía obtenida mediante el formalismo está de acuerdo con la entropía de Bekenstein-Hawking. (De hecho, el término límite se debió en parte a Hawking).
Consulte http://perimeterscholars.org/448.html ; la lección 10 proporciona el cálculo para el agujero negro de Schwarzschild, y las lecciones anteriores discuten las matemáticas requeridas de las subvariedades.
Algunas observaciones:
Si consideramos un agujero negro de Schwarzschild, una medida local de la curvatura es la raíz cuadrada del escalar de Kretschmann . Si consideras la inversa de la curvatura, tienes:
Por otro lado, la entropía total del agujero negro es:
[EDITAR]
Usted puede, por supuesto, pensar en , como una densidad de volumen de entropía, pero es falso, primero sabemos que tenemos que hacer alguna integral de alguna cantidad en el horizonte del agujero negro, que es una superficie, pero no un volumen, segundo la dimensionalidad de no es correcto, es ( y , mientras que debería ser .
Además, el espacio plano no "maximiza" la entropía. Si uno imagina alguna región vacía del espacio, es decir, sin ninguna información, tampoco habrá entropía. Si comenzamos llenando esta región del espacio con energía y cantidad de movimiento, habrá información y entropía (vista como información "uniforme"). El máximo de entropía surge cuando la energía es tan importante en la región espacial elegida que tienes un agujero negro.
Si la curvatura/planitud del espacio es una medida de la gravedad, entonces esta planitud ciertamente puede considerarse una forma de indicar la entropía. Esto es así por una razón muy simple; y no es necesario ir al extremo y considerar los agujeros negros y la temperatura en su vecindad para ver esto.
Observe una cosa: la gravedad y la entropía son simplemente dos fenómenos (fuerzas) opuestos. La entropía es lo que hace que las partículas se alejen unas de otras . Si no está restringida por ningún límite, la entropía, que cambia naturalmente de menor a mayor, hará que las partículas se sigan propagando más y más (perdiendo energía y velocidad al mismo tiempo, pero esto no es tan importante aquí) dándoles más libertad. Por otro lado, la gravedad hace que las partículas se unan , se concentren. Nuevamente, si no está restringida, la gravedad hace que las partículas se acerquen unas a otras, restringe la libertad de las partículas.
Por lo tanto, cuanto más plano sea el espacio (menor gravedad), mayor será la libertad de partículas (mayor entropía). Obviamente, cuantas más partículas haya, más restringirán la libertad de las demás, ya que el número creciente de partículas no solo bloquea el movimiento, sino que también aumenta la gravedad que ejercen entre sí. Aún así, dadas dos áreas del espacio, en igualdad de condiciones, ciertamente puede decir que la que tiene mayor gravedad (que puede medir por planitud si lo desea) producirá una entropía más baja.
EDITAR: Me doy cuenta de que tal respuesta puede parecer demasiado simple al considerar entidades tan elevadas y misteriosas como los agujeros negros, pero... bueno...
Selene Routley
Selene Routley