¿Funcionará una hélice en un superfluido?

No.

De hecho, probé esto en un laboratorio de física de pregrado hace mucho tiempo. Colocamos dos aspas de ventilador una contra la otra en un dewar de vidrio. Uno fue conducido y el otro estaba libre para girar. Llenamos el dewar con líquido He y giramos el abanico. El otro giraba bien.

Bombeamos el LHe hasta que hizo la transición a un superfluido. Hicimos girar el abanico. El otro simplemente se sentó allí y luego, lentamente, comenzó a girar.

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Así que sí, funcionó un poco. Pero tan mal que la mejor respuesta es no. Como ¿Todo superfluido tiene un componente normal y otro superfluido? dice que tiene dos componentes. El componente normal fue responsable de la viscosidad residual. Si hubiéramos reducido la temperatura, habría una fracción más pequeña de componente normal y menos viscosidad. Funcionaría aún peor.

Y debo incluir el obligatorio XKCD .

Interesante pregunta. En primer lugar, en la pregunta más general, ciertamente es posible diseñar dispositivos que proporcionen empuje en un superfluido, y se dieron algunos ejemplos en el hilo al que se ha vinculado. Una hélice simple, por otro lado, no funcionará si podemos suponer que la viscosidad es exactamente cero. Si es muy pequeño, entonces la hélice debería funcionar bien.

Ahora, todavía podríamos preguntarnos si había una forma de hacer que una hélice funcionara en un fluido de viscosidad cero, utilizando algunos dispositivos auxiliares. El problema crítico es que necesitamos crear circulación en el fluido, sin la ayuda de la viscosidad. Hay formas de crear tal circulación (usando chorros de pared tangenciales, digamos), pero no estoy seguro de si los dispositivos efectivos que crean fuerzas en tales fluidos pueden diseñarse de esta manera. Mi intuición es que el simple uso de propulsores a reacción impulsados ​​por algún tipo de bombas de desplazamiento positivo podría ser el camino a seguir.

Para hacer este argumento más riguroso, consideraremos las ecuaciones fundamentales que describen este problema de flujo de fluidos, que son las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles para un fluido incompresible,

donde ignoramos las fuerzas de volumen potencial (como las fuerzas gravitatorias), más la condición libre de divergencia,

dentro de un dominio bidimensional cerrado$\Omega$(en general, múltiples conexiones; vea los comentarios a continuación para el caso 3-D).

Consideraremos problemas caracterizados por condiciones de contorno que prescriben que el flujo sea normal al contorno,${\mathbf u}\cdot{\mathbf t}=0$en parte de la frontera$\partial\Omega$(en los límites de entrada/salida), o tangencial al límite,${\mathbf u}\cdot{\mathbf n}=0$en otras partes del límite (a lo largo de paredes sólidas). Aquí$\mathbf n$y$\mathbf t$son los vectores unitario normal y tangente en el límite, respectivamente. Como nuestra segunda condición límite prescribimos una "condición libre de tracción",$\nu\,\Delta{\mathbf u}\cdot {\mathbf t}=0$, lo que significa que el fluido se desliza por la superficie sin fricción.

Elegimos una condición inicial para un campo de velocidad${\mathbf u}_0={\mathbf u}(t=0)$que satisface$\nabla\cdot{\mathbf u}=0$(condición de incompresibilidad) así como$\nabla\times{\mathbf u}=0$(irrotacionalidad) en el interior de$\Omega$. Finalmente, requerimos que el campo de velocidad inicial${\mathbf u}_0$Por lo menos$C^0$-continua en el dominio cerrado$\Omega$. Notamos de pasada que esta condición no es trivial y con frecuencia se viola en muchos problemas prácticos (es decir, soluciones numéricas). Sin embargo, juega un papel crucial en las matemáticas del problema de Navier-Stokes: si se viola esta condición, entonces el problema de Navier-Stokes está mal planteado. Para evitar complicaciones innecesarias, requeriré la condición un poco más fuerte de$C^1$-continuidad por debajo. La diferencia no es matemáticamente trivial, pero no debería tener consecuencias físicas.

Ahora, con estas preparaciones es posible probar que el espacio de soluciones de flujo potencial de este problema es un subespacio invariante de las ecuaciones de Navier-Stokes, lo que significa que si nuestra condición inicial representa un flujo irrotacional e incompresible, el flujo debe permanecer así en todos los tiempos futuros. Una consecuencia específica de esta situación es que la circulación$\Gamma$satisface

en todo momento. Notaré que estoy omitiendo la prueba. Los detalles técnicos son algo severos; para obtener más información, consulte la Teoría matemática del flujo viscoso incompresible de Ladyzhenskaya .

En este punto, el único ingrediente adicional que necesitamos es el teorema de Joukowski que dice que las fuerzas en los flujos potenciales alrededor de contornos cerrados son proporcionales a la circulación .$\Gamma$alrededor del contorno. Dado que hemos demostrado anteriormente que la circulación sigue siendo cero, no puede haber fuerzas.

Le recuerdo al lector que el argumento anterior asume un dominio bidimensional. Solo diré sin prueba que se puede extender al caso tridimensional, a costa de una considerable complejidad matemática...

Finalmente, vale la pena señalar que el argumento anterior aborda las matemáticas de este problema para el caso de un fluido no viscoso ideal. Si realiza un experimento en tal flujo, una serie de efectos del mundo real pueden cambiar el resultado de manera significativa. Por ejemplo, el flujo potencial alrededor de los bordes de salida afilados de las superficies aerodinámicas de la hélice requiere gradientes de presión extremadamente fuertes. Estoy bastante seguro de que cualquier fluido real estaría sujeto a cavitación en estas condiciones, y quién sabe qué podría pasar entonces. Lo más seguro es que el modelo del fluido incompresible ideal ya no se aplique a la situación.

Los fluidos con viscosidad cero (superfluidos) son incapaces de intercambiar energía con un objeto en movimiento sumergido en él. Entonces, si el objeto es una hélice giratoria, el fluido no puede transferirle energía, lo que es lo mismo que decir que si la hélice está unida a un submarino, la energía cinética del submarino no puede aumentar, por lo que la hélice no tiene ninguna utilidad. usar. Incluso una pieza cuadrada de metal que se mueve a través de un superfluido no experimenta un cambio en la velocidad (lo cual es bastante contrario a la intuición).

Si bien todavía no me queda totalmente claro si funciona una hélice "giratoria" (otras respuestas afirman "no", pero diría "sí" , vea también esto ), hay un tipo de hélice que funciona con seguridad, ya que tiene nada que ver con la viscosidad (simplemente acción-reacción , es decir, conservación total del momento): considere una hélice que funciona como una "jeringa" llena de superfluido. Para "recargarlo", puede cerrar la boquilla principal y abrir las válvulas a los lados de la jeringa, de modo que el superfluido se succione desde los lados (y no en la dirección del movimiento). Luego, cierra las válvulas laterales y extrae el superfluido de la boquilla principal.

Además: ¿funcionará un tipo de movimiento "anguiliforme", "thunniforme" (etc ... ver Wikipedia para la locomoción de los peces ) en un superfluido? Yo diría que sí (aunque el más eficiente puede que no sea el más eficiente en agua). De hecho, existen "estrategias de natación" que pueden funcionar en fluidos incompresibles perfectos (es decir, de viscosidad cero), consulte este documento y las referencias que contiene, o este (el otro caso extremo, dominado por la viscosidad, se describe en el documento Life at low Reynolds número ). Además, esta respuesta, mientras que aquí se describe una comparación entre el caso del número de Reynolds bajo y el no viscoso .

Nota sobre hélices giratorias en fluidos no viscosos: ¡las ecuaciones de Euler se utilizan para estudiar hélices! Por ejemplo , una revisión de las técnicas de modelado de hélices basadas en los métodos de Euler (1998): "Las discrepancias entre los experimentos y las simulaciones se remontan al descuido de la viscosidad física". Esto es consistente con la descripción básica de cómo funciona una hélice , donde la viscosidad o la fricción no se mencionan realmente (pero Bernoulli sí, ¡y el principio de Bernoulli es válido en superfluidos!). De hecho, es bien sabido que un superfluido a temperatura cero (es decir, sin un componente normal viscoso) no es más que un fluido no viscoso regido por la ecuación de Euler habitual (más la cuantificación de la condición de circulación).