Nota: si alguien puede verificar dos veces mis números y el resultado al final de esta respuesta, se lo agradecería mucho.

Esto parece una pregunta que se puede desglosar según sus viñetas, así que creo que lo haré así.

¿Es la gravedad de la tierra lo suficientemente fuerte como para tener una segunda luna más lejos de nosotros que nuestra luna actual?

Como señaló JDługosz , la respuesta a esto depende de si la luna está o no dentro de la esfera Hill de la Tierra , la región en la que puede contener satélites en órbitas estables. La fórmula general para un cuerpo de masa.$m$orbitando un cuerpo de masa$M$con un semieje mayor de$a$es

$$r\approx a\sqrt[3]{\frac{M}{3m}}$$ Para la Tierra, esto es ^[1] $$r_{\oplus}\approx a_{\oplus}\sqrt[3]{\frac{M_{\odot}}{3m_{\oplus}}}=1.496\times10^{9}\text{ meters}$$ Esto es aproximadamente una décima parte de la distancia al Sol (y cuatro veces el radio orbital de la Luna). No tiene en cuenta las influencias de los otros planetas, pero eso no debería ser un problema. Después de todo, Venus y Marte están mucho más lejos que 0,1 UA de la Tierra, incluso en sus pasos más cercanos.

Con respecto a su solicitud de diferentes velocidades angulares: dos cuerpos en órbitas circulares con diferentes radios siempre se moverán a diferentes velocidades angulares y tangenciales, por lo que está bien allí.

¿Hay un cierto tamaño que tendría que ser?

Siempre que la masa de la luna adicional sea mucho menor que la del planeta, no debería haber efectos nocivos ni en la Tierra ni en la Luna. Cualquier masa distinta de cero perturbará un poco la órbita de la Tierra, por lo que no hay una línea de corte. Solo tienes que especificar qué límite te parece bien.

Es interesante pensar en los efectos de la luna sobre la luna. Tengo algo que decir sobre el tema, algo sobre lo que he tenido la intención de escribir durante un tiempo, pero lo haré en una sección separada.

¿Puede una órbita como esta ser estable? (dos lunas, la mitad del tamaño de la luna y moviéndose a diferentes velocidades, en relación con la tierra)

Bueno, sí, puede, nuevamente, siempre que la luna esté lo suficientemente lejos de la luna. Los lugares donde la configuración es inestable se pueden encontrar fácilmente; nuevamente, esto vendrá más adelante. Sin embargo, la respuesta corta es que esto debería ser perfectamente seguro. Solo usa la ley de gravitación de Newton:

$$F=G\frac{m_{\text{Moon}}\frac{1}{2}m_{\text{Moon}}}{(r_{\text{Moon}}-r_{\text{moon}})^2}$$ Esto le da la fuerza en el acercamiento más cercano, que debería ser mínimo, para valores lo suficientemente grandes de$r_{\text{moon}}$.

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Aquí está la sección sobre estabilidad, la estabilidad de la órbita de la Luna, a la que aludí anteriormente. Voy a basarme fuertemente en estas notas de clase .

Aquí, usamos la función perturbadora , que tiene la misma magnitud que el potencial gravitacional del cuerpo perturbador ¹ , en este caso, la luna adicional. La forma general es

$$\mathcal{R}=-\frac{Gm_{12}m_3}{R}+\frac{Gm_2m_3}{|\mathbf{R}-\alpha_1\mathbf{r}|}+\frac{Gm_1m_3}{|\mathbf{R}+\alpha_2\mathbf{r}|}\tag{1}$$ donde los subíndices$_1$,$_2$, y$_3$se refieren a la Tierra, la Luna y la Luna, respectivamente,$m_{ij}=m_i+m_j$,$\alpha_i=m_i/m_{12}$.

Para analizar esto, tenemos que expandirlo , básicamente, escribirlo en otra forma usando sumas y funciones llamadas armónicos esféricos . Para aquellos interesados, las notas de clase proporcionan una derivación completa, pero para abreviar, la expansión intermedia es

$$\mathcal{R}=G\mu_im_3\sum_{l=2}^{\infty}\sum_{m=-l}^l\left(\frac{4\pi}{2l+1}\right)\mathcal{M}_l\left(\frac{r^l}{R^{l+1}}\right)Y_{lm}(\theta,\varphi)Y_{lm}^*(\Theta,\psi)\tag{2}$$ dónde $$\mathcal{M}_l=\frac{m_1^{l-1}+(-1)^lm_2^{l-1}}{m_{12}^{l-1}}$$ y$Y_{ab}(\beta,\gamma)$es un armónico esférico.

¿Por qué nos importa? Buena pregunta. La función perturbadora nos permite identificar resonancias orbitales ² , que pueden ayudar a que un sistema se mantenga estable.

Para ello, disponemos de nuevo de expandir la función perturbadora , esta vez como expansión de Fourier. Obtenemos

$$\mathcal{R}=G\mu_im_3\sum_{l=2}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}c_{lm}M_l\left(r^le^{imf_i}\right)\left(\frac{e^{-imf_o}}{R^{l+1}}\right)e^{im(\varpi_i-\varpi_o)}\tag{3}$$ dónde $$c_{lm}=\frac{(l-m)!}{(l+m)!}[P_l^m(0)]^2$$ dónde$P_l^m(x)$es un polinomio de Legendre asociado y$f$y$\varpi$son elementos orbitales .

Todo esto se puede ampliar aún más por medio de . . . ¿te estoy aburriendo? Bueno, voy a saltar a la parte buena. Solo quería enfatizar que esta pequeña función contiene mucha información .

Eventualmente llegamos a una función.$\phi_{n'nm}$que se llama el ángulo de resonancia , dado por

$$\phi_{n'nm}=n'M_i-nM_o+m(\varpi_i-\varpi_o)\tag{4}$$ $M$es la anomalía media y$\varpi$es el argumento del periapsis .

Podemos encontrar la tasa de cambio de este con respecto al tiempo,$\dot{\phi}$, y luego escribe una función$\mathcal{E}$como

$$\mathcal{E}=\frac{1}{2}\dot{\phi}^2-\omega^2(\cos\phi+1)$$ Hay tres clases posibles de valores de$\mathcal{E}$:

1. $\mathcal{E}>0$: El sistema está circulando.
2. $\mathcal{E}<0$: El sistema está librando.
3. $\mathcal{E}=0$: El sistema está en un equilibrio inestable (piense en un péndulo apuntando hacia arriba).

Entonces podemos escribir otra ecuación donde

$$\ddot{\phi}\propto\sin\phi$$ La asociada$\mathcal{E}$nos dice si el sistema es estable.

Hay un algoritmo de estabilidad explícito del autor de las notas de la conferencia en un artículo relacionado (ver Mardling (2008) usando una expansión diferente. Debería poder darle una respuesta de sí o no para la estabilidad resonante para órbitas dadas de la Luna y la luna Veré si puedo aplicarlo aquí.

El algoritmo exacto es

(1) Identifique qué$[n : 1](2)$resonancia el sistema está cerca y calcular la distancia$\delta_{\sigma n}$de esa resonancia:$\delta_{\sigma n} =\sigma-n$, dónde$n = \lfloor\sigma\rfloor$. (el entero más cercano para el cual$n \leq \sigma$);
(2) Tome el ángulo de resonancia asociado como cero en lugar de la definición (2.18) (consulte la discusión a continuación):$\phi_{2n1} = 0$;
(3) Calcule la excentricidad inducida de (5.1) y (si$m_1 = m_2$) la excentricidad octopolar máxima de (5.3). Determinar$e_i = \text{max}[e^{(ind)}_i, e^{(oct)}_i]$para uso en$s^{(22)}_1 (e_i)$;
(4) Calcular$\mathcal{A}_{2n1}$de (3.6);
(5) Calcular$\mathcal{E}_{2n1}$y$\mathcal{E}_{2 \ n+1\ 1}$: considerar el sistema inestable si$\mathcal{E}_{2n1} < 0$y$\mathcal{E}_{2 \ n+1\ 1} < 0$.

Hice algunos números y pasé por una o dos resonancias. mardling centrado en$[n:1](2)$resonancias, que son importantes aquí. Encontré que por un$[2:1](2)$resonancia, el sistema es inestable en la mayoría de las excentricidades, pero parece, a juzgar por algunos de los gráficos dados, que en resonancias más altas, el sistema es perfectamente estable.

Revisé una cierta combinación de valores para probar la estabilidad; Sería increíble que alguien pudiera revisarlos. Aquí están, con valores intermedios (los subíndices$_i$y$_o$se refieren a los satélites interior y exterior, la Luna y la luna).

Los datos dados son (he elegido los dos últimos):

$$m_1=m_{\text{Earth}}=5.9722\times10^{24}\text {kg}=81.285 m_2$$ $$m_2=7.3462\times10^{22}=1m_2$$ $$m_3\equiv\frac{1}{2}m_2$$ $$e_i(0)=0.0549$$ $$e_o(0)=0.01$$ $$a_o=2.75a_i$$ Los valores intermedios son: $$\sigma=4.5466$$ $$n=\lfloor\sigma\rfloor=4$$ $$\delta\sigma_4=\sigma-4=0.5466$$ $$n=4,n'=1,m=2$$ $$e_i^{(eq)}=0.02206$$ $$A=1.4891$$ $$e_i^{(oct)}=0.09902$$ $$l=l_{min}=2$$ $$s_{224}=0.44833$$ $$F_4^{(22)}(e_o)=2.712\times10^{-6}$$ $$f_4^{(22)}(e_o)=2.6513\times10^{-6}$$ $$\beta_4=5.6513\times10^{-8}$$ $$e_i^{(ind)}=0.0549$$ $$e_i=\text{max}[e_i^{(ind)},e_i^{(oct)}]=e_i^{(oct)}=0.09902$$ $$s_4^{(22)}(e_i)=-0.16443$$ $$\mathcal{M}_2=1$$ $$M_i^{(2)}=0.006114$$ $$M_o^{(2)}=0.0119568$$ $$\sigma_4=1$$ $$c_{(22)}=\frac{3}{8}$$ $$\mathcal{A}_{241}=3.9059\times10^{-8}$$ $$\delta\sigma_{41}=\sigma-n/n'=0.5466$$ $$\bar{\mathcal{E}}_{241}=0.1493857019$$ Esto es mayor que cero, por lo que el sistema es estable.

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Actualización, 28 de octubre de 2016

He estado revisando y verificando algunos de estos números nuevamente, en el proceso de intentar escribir un algoritmo en torno a esto, y estoy bastante seguro de que hay algunos errores, que potencialmente incluyen (y, por lo tanto, comienzan con)$s_4^{(22)}(e_i)$. Esto puede significar que el sistema es inestable, como muestran los resultados de kingledion .

He estado ejecutando algunas simulaciones por mi cuenta, utilizando el software ORSA de código abierto de la Agencia Espacial Europea . Solo he hecho cuatro o cinco recorridos durante períodos de tiempo, pero están comenzando a clasificarse en dos categorías: o la luna secundaria se expulsa lentamente, o las dos entran en órbitas elípticas separadas, con cambios periódicos en la excentricidad y la semirreflexión. -ejes principales. En aras de la precisión, solo ejecuté las simulaciones durante un año, pero parece que puede haber configuraciones estables y configuraciones inestables.

Además, no he incluido el Sol en esto, así que no sé cómo podría cambiar nada de esto.

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^{1 En este caso, estoy hablando de perturbar la Luna.
2 En concreto, resonancias órbita-órbita.}

No, esa configuración no es estable.

No parece haber órbitas estables para otra luna, de ningún tamaño, fuera de la órbita de la Luna.

Ejecuté una simulación en rebote para ver qué pasaría con esta configuración lunar. Usé una cuadrícula de diferentes comportamientos para comprobar cómo reaccionaría la segunda luna en diferentes escenarios.

Aquí estaba mi configuración en rebote:

import rebound
from math import sqrt

for m_selene in [3/2, 1, 1/2, 1/4, 1/10, 1/100, 1/1000]:
    for a_selene in [3/2, 2, 3, 5, 10]:
        for e_selene in [0, 0.01, 0.02, 0.05, 0.1, 0.25]:
            sim = rebound.Simulation()
            sim.integrator = 'whfast'
            sim.units = ('AU', 'days', 'Msun')


            sim.add(m=1)
            sim.add(m=0.000003004, a=1, e=.016709)
            sim.add(primary=sim.particles[1], m=0.000000037, a=0.00257, e=.0549)
            sim.add(primary=sim.particles[1], m=0.000000037*m_selene, a=0.00257*a_selene, e=e_selene)

            sim.integrate(10*365.2563)
            earth_luna = sqrt((sim.particles[2].x - sim.particles[1].x)**2 + (sim.particles[2].y - sim.particles[1].y)**2)
            earth_selene = sqrt((sim.particles[3].x - sim.particles[1].x)**2 + (sim.particles[3].y - sim.particles[1].y)**2)
            print(m_selene, a_selene, e_selene, "{0:.2f}".format(earth_luna), "{0:.2f}".format(earth_selene))

Primero ejecuté la simulación solo para el sistema tierra-luna para asegurarme de que fuera estable, y así fue. Luego lo ejecuté de nuevo con todos los objetos (Sol, Tierra, Luna, la luna real, Selene, una nueva luna exterior).

Modifiqué el programa anterior para encontrar 'puntos de interrupción' donde se observó un comportamiento diferente. Esto es lo que conseguí:

• Sea m_selene la masa de Selene como proporción de la masa de Luna (entonces 0.5 significa que Selene tiene la mitad del tamaño de la luna).
• Sea a_selene el semieje mayor de Selene como una proporción del semieje mayor de Luna (por lo que 2 significa el doble de la distancia de la Tierra a la Luna).
• Sea e_selene la excentricidad de Selene.

Luego hay cuatro escenarios.

• Luna es expulsada del sistema y Selene se convierte en la luna nueva. Esto ocurre solo en raras circunstancias cuando Selene es grande y está cerca de Luna (m_selene > 1.25, a_selene < 1.75) o cuando Selene es de tamaño mediano pero con una órbita altamente excéntrica (m_selene > 0.35, 1.25 < a_selene < 2.25, e_selene > 0.075) .

• Luna y Selene son expulsadas del sistema. Esto es probable cuando Luna y Selene tienen aproximadamente el mismo tamaño y están cerca una de la otra (m_selene > 0.35, a_selene < 2.25). Esto sucede tanto en órbitas altamente excéntricas como no excéntricas de Selene. También puede ocurrir raramente para masas más pequeñas de Selene (tan bajas como m_selene> .125), pero no para órbitas más grandes.

• Luna y Selene son (¡¿de alguna manera?!?!) expulsadas del sistema solar . No veo cómo esto es posible, pero ocurre en el caso de m_selene = 0.5, a_selene = 1.5, y las excentricidades de selene y la luna son casi iguales.

• La situación más común es que Selene sea expulsada del sistema y Luna permanezca. Esto sucede en todos los casos (en realidad, todos menos uno) donde m_selene < 0,35 y a_selene > 2,25, y rara vez cuando Selene es más grande o más cercana.

Entonces, lo que no notas es ninguna situación en la que Selene y Luna estén estables en órbita alrededor de la Tierra. Entonces, esta no es una solución numérica exhaustiva, ni es una prueba analítica, pero a partir de una búsqueda en cuadrícula de una solución numérica, no puedo encontrar órbitas estables para una segunda luna más pequeña fuera de la órbita de la Luna.

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Editar: en respuesta a la solicitud de @Molot de órbitas dentro de Luna, resulta que la mayoría de las órbitas dentro de Luna son estables durante al menos un corto tiempo. La búsqueda de cuadrícula solo integra 10 años, por lo que no prueba la estabilidad a largo plazo, pero ejecuté una simulación para:

• m_selene = 0.5
• a_selene = 0.5
• e_selene = 0.02

y fue estable durante 100.000 años. La luna se movió ligeramente hacia afuera durante los primeros 1000 años para que Luna y Selene lograran una resonancia, pero luego las dos se mantuvieron estables mientras la simulación estuvo en marcha.

No puedo prometer estabilidad durante miles de millones de años, y para ser verdaderamente preciso, tendría que tener en cuenta Júpiter y Saturno (al menos) y las primeras migraciones de planetas del sistema solar, pero parece plausible que Selene pueda existir en una órbita interior. la de Luna.

(Versión de notas de acantilado para Hard-science)

Sí, la Tierra podría tener varias lunas. Marte tiene dos, aunque reconozca que son pequeños.

El gran problema que tienes es que la órbita determina la velocidad a la que un cuerpo orbita alrededor de otro. Entonces, cuanto más lejos esté, más lenta/larga será la órbita. Entonces, en este caso, la luna más pequeña sería más lenta que la luna grande, que parecería pasarla de vez en cuando.

El otro problema sería que las órbitas deberían estar lo suficientemente separadas para que su gravedad no se confunda: Epimeteo y Jano alrededor de Saturno cambian de órbita periódicamente, porque sus órbitas están demasiado juntas.

La órbita de la luna está a unos 380 mil kilómetros de la tierra. La luna tiene aproximadamente 1/100 de la masa de la tierra y su diámetro es aproximadamente 1/3.5 del de la tierra (1/3.66... ​​pero lo suficientemente cerca). La luna es menos densa que la tierra.

Supongamos que tienes una segunda luna dos veces más lejos que nuestra luna actual, y digamos 1/2 del diámetro de nuestra luna. Digamos que tiene la misma densidad que nuestra luna. Su masa sería 1/8 de la de nuestra luna solo por la diferencia de volumen, lo que la haría 1/800 de la masa de la tierra. Cuando está alineada con nuestra luna, la atracción de la luna nueva sobre nuestra luna actual, estando a la misma distancia, sería solo alrededor del 0,125% de la de la tierra. Causaría un buen bamboleo en la órbita de la luna, pero nada fuera del ámbito de la posibilidad.

Nuestra luna es unas 100 veces menos masiva que la tierra, pero, cuando esté alineada, estaría a la mitad de la distancia de esta luna nueva. Entonces, la atracción de nuestra Luna sobre esta luna nueva sería aproximadamente el 4% de la de la Tierra. El bamboleo en la órbita de la luna nueva sería significativamente más pronunciado, pero nuevamente nada que la órbita correcta no pudiera explicar.

Esta luna nueva tendría 1/8 de la masa de nuestra luna, y el doble de lejos, haciendo que su atracción sobre la tierra sea 1/32 de la de nuestra luna, o alrededor del 3% de la de la luna. No creo que esto produzca efectos atmosféricos significativos, pero, de nuevo, no soy astrofísico. Eso sí, la órbita de esta luna más pequeña también cambiaría de velocidad cerca de la alineación. A medida que se acercaba a la alineación, aumentaba la velocidad y, cuando pasaba la alineación, volvía a disminuir la velocidad. En general, al doble de la distancia de la Tierra, se movería unas 1,4 veces más lento que nuestra Luna actual. Pero su velocidad angular, que es lo que "veríamos", sería aproximadamente 2,8 veces más lenta que la luna (la raíz cuadrada de 8 para cualquiera que se preocupe). Además, la intensidad de la luz cambia inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, por lo que al doble de la distancia, el mismo objeto sería 1/4 más brillante,

Finalmente, como han dicho otros, otros planetas en nuestro sistema solar tienen múltiples lunas. No soy astrofísico (solo un loco de la física), pero parece que no hay nada que impida su escenario. Entonces sí, esto es plausible, y la órbita sería estable. A esas distancias, las órbitas tendrían algunas características interesantes, pero estoy bastante seguro de que sería algo para los astrónomos, no muy aparente visualmente para el observador terrestre promedio.

Aquí hay un ejemplo que es extraño y maravilloso. Por supuesto, se aplican los descargos de responsabilidad habituales sobre la integración numérica. La masa es ~21% de la masa de la luna, lo que equivale a un diámetro de ~60% de la luna, suponiendo densidades iguales (probablemente una mala suposición).

Algunos pensamientos:

• ~21% de la masa de la Luna.
• En una resonancia (¡retrógrada!) 2:3 con la luna. Especie de. Puede ser una de esas extrañas resonancias que están cerca de 2:3.
• Ocasionalmente será eclipsado por la Luna, pero no con mucha regularidad, debido a la inclinación. (Además, los eclipses serán bastante cortos, debido a la órbita retrógrada).
• Es estable durante el tiempo que me interesa ejecutarlo (~100 años con el integrador preciso, >10 000 con el integrador rápido y tamaño de paso predeterminado (0,001 días), >512k con el integrador rápido y tamaño de paso de 1/1000 de un año). Por otro lado, no soy un tipo de teoría, esto en realidad no es estable en escalas de tiempo más largas.
• Solo estoy simulando Tierra / Luna / Selene / Sol. No estoy simulando, por ejemplo, Júpiter, que puede (léase: afectará) las cosas.
  • Corrección: también he intentado simular Marte + Júpiter, al menos durante algunos años, pero no he intentado hacer simulaciones a largo plazo con ellos. Esta resonancia parece sorprendentemente robusta considerando lo "tambaleante" que es.

• Las mareas serán interesantes.

  import time
  import rebound
  from math import sqrt
  
  sim = rebound.Simulation()
  sim.integrator = 'hermes'
  sim.units = ('AU', 'days', 'Msun')
  
  sim.add("Sun")
  sim.add("399")
  sim.add("301")
  sim.add(primary=sim.particles[1], m=0.000000037*0.21564912733016417, a=0.00257*1.8967736522524086, e=0.08825717827598856, inc=2.695021633949315, Omega=5.385750562430302, omega=0.42668650997546287, f=0.7633635278610188)
  
  for orbit in sim.calculate_orbits():
      print(orbit)
  
  sim.move_to_com()
  sim.ri_whfast.safe_mode = 0
  sim.ri_whfast.corrector = 11
  
  sim.integrate(100*365.2563)
  
  earth_luna = sqrt((sim.particles[2].x - sim.particles[1].x)**2 + (sim.particles[2].y - sim.particles[1].y)**2)
  earth_selene = sqrt((sim.particles[3].x - sim.particles[1].x)**2 + (sim.particles[3].y - sim.particles[1].y)**2)
  
  print("{0:.8f}".format(earth_luna), "{0:.8f}".format(earth_selene))
  

(Con una respuesta de)

    0.00249790 0.00466839

Encontré esto a través de una búsqueda local repetida de inicio aleatorio en el espacio de búsqueda de órbitas que tardaron más en escapar; No pude mejorar más allá de esto usando este método porque todavía no he tenido este escape de órbita. Quizás vuelva a cambiar a "minimizar la distancia máxima desde la Tierra - distancia mínima desde la Tierra durante un período de tiempo establecido". Aunque eso tiende a terminar con órbitas "aburridas".

Este es el sistema Tierra-Luna-Selene después de 1 año, coordenadas siderales centradas en el baricentro de dicho sistema (por eso la Tierra se mueve ligeramente), las coordenadas están en AU. En el original, 1 cuadro == 1/10 de un día; No estoy seguro de si esto persiste.