¿Podemos encontrar la fórmula de decaimiento radiactivo exponencial a partir de los primeros principios?

Si quieres ser muy quisquilloso al respecto, el decaimiento no será exponencial. La aproximación exponencial se descompone tanto en tiempos pequeños como en tiempos largos:

• En tiempos pequeños, la teoría de la perturbación dicta que la amplitud del canal de decaimiento aumentará linealmente con el tiempo, lo que significa que la probabilidad de decaimiento es solo cuadrática en tiempos pequeños, y la probabilidad de supervivencia se redondea ligeramente cerca de$t=0$antes de bajar como$e^{-t/\tau}$. Esto no debería sorprender, porque la probabilidad de supervivencia es invariable en el tiempo y, por lo tanto, debería ser una función par.

• En tiempos muy largos, hay límites en la rapidez con la que la amplitud del estado límite puede decaer que se deben esencialmente al hecho de que el hamiltoniano está acotado desde abajo, y que demuestro en detalle a continuación.

Ambos regímenes son muy difíciles de observar experimentalmente. En tiempos cortos, normalmente necesita muy buena resolución de tiempo y la capacidad de preparar instantáneamente su sistema. En tiempos prolongados, probablemente no necesite salir tan lejos, pero generalmente es muy difícil obtener una buena relación señal-ruido porque la caída exponencial prácticamente ha matado a todos sus sistemas, por lo que necesita poblaciones para realmente ver esto.

Sin embargo, ambos tipos de desviaciones pueden observarse experimentalmente. A tiempos largos, la primera observación es

Violación de la Ley de Decaimiento Exponencial en Tiempos Largos. C Rothe, SI Hintschich y AP Monkman. física Rev. Lett. 96 163601 (2006) ; Edición electrónica de la Universidad de Durham .

(Para enfatizar la dificultad de estas observaciones, tuvieron que observar un sistema inestable durante 20 vidas para observar las desviaciones de la exponencial, momento en el cual$\sim10^{-9}$de la población permanece.) Para tiempos cortos, las primeras observaciones son

Evidencia experimental de decaimiento no exponencial en tunelización cuántica. SR Wilkinson et al. Naturaleza 387 núm. 6633 p.575 (1997) . Impresión electrónica de UT Austin ,

que midió la formación de túneles de átomos de sodio dentro de una red óptica, y

Observación de los efectos Quantum Zeno y Anti-Zeno en un sistema inestable. MC Fischer, B Gutiérrez-Medina y MG Raizen. física Rev. Lett. 87 , 040402 (2001) , UT Austin eprint (ps) .

Para ser claros, la probabilidad de supervivencia de un estado metaestable es exponencial para todos los propósitos y propósitos prácticos. Solo con un experimento cuidadoso, con grandes poblaciones durante mucho tiempo, o con un control temporal muy fino, se pueden observar estas desviaciones.

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Considere un sistema inicializado en$t=0$en el estado$|\psi(0)⟩=|\varphi⟩$y se dejó evolucionar bajo un hamiltoniano independiente del tiempo$H$. En el momento$t$, la amplitud de supervivencia es, por definición,

$$A(t)=⟨\varphi|\psi(t)⟩=⟨\varphi|e^{-iHt}|\varphi⟩$$ y la probabilidad de supervivencia es $P(t)=|A(t)|^2$. (Tenga en cuenta, sin embargo, que esta es una definición razonable pero cargada; para obtener más detalles, consulte esta otra respuesta mía ). Supongamos que $H$tiene una base propia completa $|E,a⟩$, que se puede complementar con un índice adicional $a$denotar los valores propios de un conjunto $\alpha$de operadores para formar un CSCO , por lo que puede escribir el operador de identidad como $$1=\int\mathrm dE \mathrm da|E,a⟩⟨E,a|.$$ Si reemplazas esto en la expresión para $A(t)$puedes ponerlo fácilmente en el formulario $$A(t)=\int \mathrm dE\, B(E)e^{-iEt},\quad\text{where}\quad B(E)=\int \mathrm da |⟨E,a|\varphi⟩|^2.$$ Aquí es fácil ver que $B(E)\geq0$y $\int B(E)\mathrm dE=1$, asi que $B(E)$tiene que comportarse bastante bien, y en particular es en $L^1$sobre el espectro de energía.

Aquí es donde entra en juego el espectro de energía. En cualquier teoría física real, el espectro del hamiltoniano debe estar acotado desde abajo, por lo que hay una energía mínima$E_\text{min}$, establecido en 0 por conveniencia, por debajo del cual el espectro no tiene soporte. Esto parece bastante inocente y nos permite refinar nuestra expresión para$A(t)$en el aspecto inofensivo

$$A(t)=\int_{0}^\infty \mathrm dE\, B(E)e^{-iEt}.\tag1$$ Resulta que esto ahora ha evitado la descomposición asintótica. $e^{-t/\tau}$de suceder.

La razón de esto es que en esta forma$A(t)$es analítico en el semiplano inferior. Para ver esto, considere un tiempo complejo$t\in\mathbb C^-$, para cual

$$\begin{align} |A(t)| & =\left|\int_0^\infty B(E)e^{-iEt}\mathrm dE\right| \leq\int_0^\infty \left| B(E)e^{-iEt}\right|\mathrm dE =\int_{0}^\infty \left| B(E)\right|e^{+E \mathrm{Im}(t)}\mathrm dE \\ & \leq\int_{0}^\infty \left| B(E)\right|\mathrm dE=1. \end{align}$$ como $\mathrm{Im}(t)<0$. Esto significa que la integral $(1)$existe para todos $t$para cual $\mathrm{Im}(t)\leq 0$, y por su forma significa que es analítico en $t$en el interior de esa región.

Esto es bueno, pero también condenatorio, porque las funciones analíticas pueden estar muy restringidas en términos de cómo pueden comportarse. En particular,$A(t)$crece exponencialmente en la dirección del aumento$\mathrm{Im}(t)$y decae exponencialmente en la dirección decreciente$\mathrm{Im}(t)$. Esto significa que su comportamiento a lo largo$\mathrm{Re}(t)$en principio, debería ser algo así como oscilatorio, pero puede salirse con la suya con algo como un decaimiento. Sin embargo, con lo que no puede salirse con la suya es con el decaimiento exponencial a lo largo de ambas direcciones de$\mathrm{Re}(t)$- simplemente ya no es compatible con las exigencias de la analiticidad.

La forma de hacer esto preciso es usar algo llamado el teorema de Paley-Wiener que en este entorno específico exige que

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{\left|\ln|A(t)|\right|}{1+t^2}dt<\infty.$$ Eso es, por supuesto, una integral torcida si alguien alguna vez vio una, pero puedes ver que si $A(t)\sim e^{-|t|/\tau}$para grandes tiempos $|t|$( $A(t)$debe ser simétrica con inversión de tiempo), entonces la integral de la izquierda (solo por poco) diverge. Se puede decir más sobre por qué sucede esto, pero para mí la conclusión es: la analiticidad exige algunas restricciones sobre qué tan rápido $A(t)$puede decaer a lo largo del eje real, y cuando haces el cálculo resulta ser esto.

(Para aquellos que se preguntan: sí, este límite está saturado. El lugar para comenzar a cavar es el teorema de Beurling-Malliavin, pero no puedo prometer que no será doloroso).

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Para obtener más detalles sobre las pruebas y la intuición detrás de estas cosas, consulte mi pregunta de MathOverflow El teorema de Paley-Wiener y el decaimiento exponencial y la respuesta de Alexandre Eremenko allí , así como el artículo

L. Fonda, GC Ghirardi y A. Rimini. Teoría del decaimiento de sistemas cuánticos inestables. Rep. Prog. física 41 , págs. 587-631 (1978) . §3.1 y 3.2.

de donde se tomó la mayor parte de este material.

En general, no es cierto que la descomposición radiactiva sea exponencial. La respuesta de Emilio Pisanty analiza esto desde un punto de vista matemático sofisticado, pero es posible entenderlo en términos extremadamente elementales.

El decaimiento exponencial se deriva de la linealidad, la irreversibilidad y la suposición de un estado inicial bien definido

En campos como la física atómica y nuclear, normalmente pensamos en el estado inicial de descomposición como un solo estado, que tiene una energía definida. En estos ejemplos, esta suele ser una excelente aproximación, ya que la incertidumbre en la energía impuesta por el principio de incertidumbre energía-tiempo es mucho menor que las energías de excitación. Por ejemplo, el primer estado excitado de un núcleo podría tener típicamente una energía de excitación de 1 MeV y una vida útil de desintegración gamma de 1 ps, lo que le da una incertidumbre energética$\Delta E\sim 10^{-8}$MeV. La relación$\Delta E\ll E$, dónde$E$es la energía de la desintegración, se denomina aproximación de Weisskopf-Wigner en el contexto de la física atómica. Cuando se cumple esta aproximación, el estado inestable inicial no tiene memoria interna ni dinámica que pueda tener algún efecto sobre el problema.

Dejar$|0\rangle$ser el estado inestable, y dejar$|i\rangle$ser un estado final etiquetado por números cuánticos$i$. Si el estado (normalizado) en$t=0$es

$$\Psi_0 = |0\rangle,$$

entonces en algún momento posterior tendremos algún otro estado

$$\Psi_1 = a|0\rangle + \sum b_i|i\rangle.$$

El nuevo estado se obtiene como$\Psi_1=M\Psi_0$, dónde$M$es el operador de evolución temporal para cualquier intervalo de tiempo del que estemos hablando. Supongamos ahora que la descomposición es irreversible, de modo que$M|i\rangle$nunca se superpone con$|0\rangle$. Entonces si operamos con$M$una segunda vez, obtenemos

$$\Psi_2 = a^2|0\rangle + \ldots$$

Este es un decaimiento exponencial, con la probabilidad de supervivencia como$1$,$|a|^2$,$|a|^4$, ... Debemos tener$|a|\le 1$por unitaridad, ya que de lo contrario la normalización fallaría en$t>0$. (Por supuesto, podríamos tener una absorción irreversible en lugar de una emisión irreversible, y luego$|a|\ge 1$, pero entonces el estado inicial no puede ser$|0\rangle$. El caso$|a|=1$sucede cuando$|0\rangle$es un estado propio de energía exacto .)

Así que esto parece un argumento férreo de que la descomposición debe ser exponencial. ¿Qué podría salir mal?

Fracaso en tiempos cortos

Una cosa que sale mal es si extrapolamos hacia atrás en el tiempo para$t<0$. La probabilidad del estado inestable ahora es mayor que 1, lo que viola la unitaridad. Esto significa que, por motivos puramente triviales, el comportamiento no puede ser exponencial para todos$t$. En tiempos suficientemente tempranos, debe haber un comportamiento fuertemente no exponencial, y esperamos algún tipo de transición suave entre los dos regímenes.

No hay nada terriblemente misterioso en esto, y no requiere ideas sofisticadas sobre las transformadas de Fourier o la teoría cuántica de campos. Solo tiene que ver con la preparación del estado inicial. Por ejemplo, supongamos que formamos un potencial que consta de un pozo, una barrera y una región exterior, y resolvemos la ecuación de Schrödinger unidimensional en este potencial. Si comenzamos nuestra simulación inicializando la función de onda para que tenga algún tipo de forma arbitraria dentro del pozo inestable, entonces consistirá en una mezcla de estados de energía. Los estados de mayor energía atravesarán la barrera a un ritmo elevado. Después de un corto tiempo, todos se han ido, y tendremos algo dentro de la barrera que se verá como un patrón de onda estacionaria de media longitud de onda. Esto entonces decaerá exponencialmente como se describe arriba.

Podría decir que inicialmente solo va a preparar el sistema en un estado propio de energía, de modo que no haya un período de transición antes de que se establezca el comportamiento exponencial. Eso no funciona, porque los estados propios de energía no están localizados dentro del pozo metaestable. Los estados de buena energía no están localizados y los estados que están localizados no son estados de buena energía. Un estado localizado puede ser aproximadamente un estado de buena energía, y es esta aproximación la que estamos haciendo implícitamente en la mayoría de los casos en física atómica y nuclear: la aproximación de Weisskopf-Wigner.

Fracaso en tiempos prolongados

En tiempos muy largos, hay una razón diferente para esperar desviaciones del comportamiento exponencial. Una exponencial de disminución cae rápidamente en un orden de magnitud tras otro. Si existe alguna tasa para el proceso inverso (p. ej., la reabsorción de un fotón), llegará un momento en el que esta tasa equilibre la tasa de decaimiento. Debido a que las exponenciales mueren tan rápido, en realidad no esperamos que este tiempo sea muy largo, aunque depende del entorno. Más allá de este punto en el tiempo, la tasa de emisión se acercará a una constante distinta de cero que es igual a la tasa de absorción.

Un ejemplo experimental de este tipo de cosas es Rothe et al., "Violation of the Exponential-Decay Law at Long Times" Physical Review Letters, 96(16), doi:10.1103/physrevlett.96.163601. No parece estar en arxiv, pero puedes encontrarlo en sci-hub. Utilizaron moléculas orgánicas luminiscentes en una solución de tolueno o etanol. Excitaron las moléculas usando un láser pulsado. No creo que haya nada fundamentalmente muy sorprendente o misterioso en esto. Las moléculas se encuentran en un entorno líquido desordenado y están expuestas a los empujones de los campos electromagnéticos de otras moléculas. En este entorno, se vuelven a excitar en algún momento. Hay algunos hechos no triviales sobre el comportamiento matemático de las curvas de decaimiento, pero el mero hecho de una desviación del decaimiento exponencial solo puede deberse a que el proceso no es

Cualquier población ya sea humana, animal o núcleos atómicos, sin otras complicaciones cambiará proporcionalmente a la cantidad que ya existe. Obteniendo una ecuación diferencial muy simple.

$$\frac{dP(t)}{dt} = k\,P(t)$$

dónde$k$es una constante con signo negativo para decrecimiento exponencial y signo positivo para aumento exponencial.

es decir, la solución es

$$P(t)=P(t=0)\exp(kt)$$

Una forma sencilla y directa de obtener este exponente y los valores propios complejos es mediante el enfoque de Gamow, que fue una de las primeras explicaciones introducidas de la radiactividad alfa.

Resuelve la ecuación de Schrödinger en la aproximación de WKB, no se necesitan matemáticas sofisticadas ni conocimientos profundos en QM, excepto estar familiarizado con WKB.

Una buena fuente para esto es "Mohsen Razavy, Quantum Theory of Tunneling-World, Scientific Publishing (2013)".