Integrando la presión sobre una superficie

Question

Integrando la presión sobre una superficie

usuario56658

Considere el perfil aerodinámico 2D a continuación.

_{(fuente: gsu.edu )}

En ingeniería (y tal vez física) a menudo verá algo como lo siguiente como una expresión de la fuerza de presión que actúa sobre una superficie (en este caso, una curva, pero imagine que tiene una unidad de profundidad en la pantalla).

d F = pag d s dónde d s = \hat{norte} d s

$\mathrm{d} \mathbf{F} = p \, \mathrm{d} \mathbf{s} \\ \text{where} \, \mathrm{d} \mathbf{s} = \mathbf{\hat{n}} \, \mathrm{d} s$

Si intenta integrar esto sobre una curva C para encontrar la fuerza que obtiene;

\int_{?}^{?} d F = \int_{C} pag d s

$\int_?^? \mathrm{d} \mathbf{F} = \int_C p \, \mathrm{d} \mathbf{s}$

donde no parece haber límites correspondientes obvios para la integración en el LHS. ¿Está bien considerar los límites de 0 a $\mathbf{F}$ o es algún tipo de "taquigrafía" de ingeniería que a menudo ves y que no tiene sentido matemáticamente. Estoy tratando de interpretarlo como un "cambio de vigencia", pero realmente no tiene sentido para mí.

Respuestas (2)

Integrando la presión sobre una superficie

floris · Answer 1

Estás sumando "pequeñas cantidades de fuerza" sobre "todos los puntos de la superficie".

Esto es lo complicado de las integrales: no siempre son buenas construcciones unidimensionales con límites en las unidades de la cantidad que se muestra como $dx$ .

El símbolo integral es en realidad una letra S muy estilizada: una vez que te das cuenta de eso, ves que estás "sumando algo" y los límites simplemente describen la región sobre la cual ocurre la suma.

En su ejemplo, la "región" es la superficie del perfil aerodinámico; y no puede dar límites numéricos "claros" a menos que encuentre una manera de parametrizar la ubicación en la lámina para obtener una separación de variables. Pero para el concepto de integración, eso no importa...

Nota sobre la separación de variables: si tiene un rectángulo paralelo a X e Y, puede describir cada parte de la superficie con las coordenadas x, y y el área como dx dydx dy. Entonces los límites se vuelven

\int_{X_{1}}^{X_{2}} \int_{y_{1}}^{y_{2}} \vec{F} (X, y) \cdot \vec{norte} d X d y

$\int_{x_1}^{x_2}\int_{y_1}^{y_2}\vec{F}(x,y)\cdot \vec n ~dx ~dy$

No sé si eso aclaró las cosas o simplemente te confundió más. Comentarios...

¿Podrías aclarar a qué te refieres con separación de variables?
Creo que tal vez la forma de hacerlo sería definir $\mathbf{F}$ en función de la longitud (u otra parametrización quizás) de la curva sobre la que está integrando, comenzando desde un punto arbitrario (que sería el mismo punto en el que comienza la parametrización de la curva). Si es 0 en el punto inicial, entonces $\mathrm{d} \mathbf{F}$ representaría un cambio en la fuerza a medida que avanza a lo largo de la curva. Sin embargo, extender esto a una superficie es un poco más complicado.
@user56658 Todo lo que está pasando está tomando $dF/ds = p$ y "multiplicar" el $ds$ al otro lado y luego integrar. Esa es la separación de variables y es completamente un "truco" en este caso. No necesita límites en el lado izquierdo: la fuerza total proviene de la integración $p$ sobre la superficie.
Separación de variables: si tienes un rectángulo paralelo a X e Y, puedes describir cada parte de la superficie con las coordenadas X, Y y el área como $dx\ dy$ . Entonces los límites se vuelven $\int_{x1}^{x2}\int_{y1}^{y2}\vec F(x,y)\cdot \vec n\ dx\ dy$
@Floris: Sería bueno si convirtieras el último comentario en una edición de la respuesta.

jai · Answer 2

jai

Los límites pueden ser desde el fuselaje hasta la punta de las alas :) !! Como mencionó algún usuario, es solo una fuerza en total, no hay que preocuparse por los límites de la integración. Si uno lo toma como una línea, solo sumando todas las líneas dará el área y, por supuesto, la fuerza. Por ejemplo, si la fuerza xxxx de Newton en una sola línea y sumarla sobre el área muestreada (cada muestra se considera como una línea gruesa) dará la fuerza total. A medida que aumenta la frecuencia de muestreo (espesor de muestreo --->0), el error disminuirá. La integración elimina esta complejidad pero depende de la ecuación gobernante. ¿Lo estoy haciendo más complejo? :(

kyle kanos

entonces la respuesta es

\int_{f u s e}^{w i n g} d F

$\int_{fuse}^{wing}{\rm d}\mathbf{F}$ ? ¿Cómo funciona? Más concretamente, ¿cuáles son

F_{f u s e}

$\mathbf{F}_{fuse}$ y

F_{w i n g}

$\mathbf{F}_{wing}$ ? ¿No debería ser solo la fuerza total ,

F

$\mathbf{F}$ ?

jai

Lo siento. Quise decir que este resultado de integración es una fuerza sobre las alas. Lo siento si entendí mal y me aclaras. Lo que pensé para integrar la ecuación rectora de la variación de presión en el área del ala dará la fuerza total sobre el ala. yo solo soy un graduado :(

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