¿Cuál es la distancia de Alpha Centauri a la estrella de Barnard?

Para encontrar la distancia de una estrella a otra, necesitamos tres cosas para ambas estrellas: sus ascensiones rectas, declinaciones y la distancia de la Tierra a esas estrellas.

Entonces, vamos a obtener esas cosas:

De la página de Wikipedia sobre Alpha Centauri :

$RA = 14^h\:39^m\:36.49400^s$

$DEC = -60^{\circ}\:50'\:0.23737''$

$R = 4.37\:\rm{ly}$(usted dio 4.366, algunas otras fuentes dan 4.367... me quedaré con 4.37)

y para la estrella de Barnard :

$RA = 17^h\: 57^m\: 48.49303^s$

$DEC = +04^{\circ}\: 41'\: 36.2072''$

$R = 5.958 \: \rm{ly}$(nuevamente, diste un valor ligeramente diferente, me quedo con Wikipedia por ahora)

donde RA es ascensión recta, DEC es declinación y R es la distancia radial de la Tierra a la estrella objetivo.

Ahora bien, por sí mismos, es relativamente difícil para nosotros obtener una distancia real. Lo que haría sería convertirlos en coordenadas rectangulares, y luego se trata de usar la fórmula de distancia tridimensional.

Primero, sin embargo, necesitamos convertir RA y DEC en unidades como radianes o grados.

Para la ascensión recta, podemos usar la fórmula general:

$degrees = 15 (h + \dfrac{m}{60} + \dfrac{s}{3600})$

y para la declinación:

$degrees = deg + \dfrac{m}{60} + \dfrac{s}{3600}$

(sin embargo, cuando la declinación es negativa, multiplique todos los términos de la fórmula por -1)

Entonces, para Alpha Centauri AB, tenemos:

$RA = 15 (14 + \dfrac{39}{60} + \dfrac{36.49400}{3600}) \approx 219.902^{\circ}$

$DEC = -1 (60 + \dfrac{50}{60} + \dfrac{0.23737}{3600}) \approx -60.833^{\circ}$

y para la estrella de Barnard, tenemos:

$RA = 15 (17 + \dfrac{57}{60} + \dfrac{48.49303}{3600}) \approx 269.452^{\circ}$

$DEC = 04 + \dfrac{41}{60} + \dfrac{36.2072}{3600} \approx 4.693^{\circ}$

Ahora, para convertir de coordenadas esféricas a rectangulares, tenemos que definir cuál de RA, DEC y R se pueden asignar a$r$,$\theta$, y$\phi$. R debería ser$r$- Eso es bastante sencillo. Dado que RA se puede considerar como "longitud celeste", lo asignaremos a$\theta$, y por lo tanto la declinación será$\phi$.

Para aclarar, estoy definiendo$\phi$como el ángulo desde el plano xy, por lo que a$\phi$de$\dfrac{\pi}{2}$significaría apuntar directamente hacia arriba. Sé que algunas fuentes definen$\phi$como el ángulo complementario a ese ángulo (entonces,$\dfrac{\pi}{2}$- el ángulo desde el plano xy), pero para fines astronómicos, creo que la definición que estoy usando es más intuitiva y fácil de trabajar.

Entonces podemos usar las conversiones:

$x = r\cos{\theta}\cos{\phi}$

$y = r\sin{\theta}\cos{\phi}$

$z = r\sin{\phi}$

Entonces, para Alpha Centauri AB:

$x = 4.37 \cos{219.902^{\circ}} \cos{−60.833^{\circ}} \approx -1.634\: \rm{ly}$

$y = 4.37 \sin{219.902^{\circ}} \cos{−60.833^{\circ}} \approx -1.366\: \rm{ly}$

$z = 4.37 \sin{−60.833^{\circ}} \approx -3.816\: \rm{ly}$

y para la estrella de Barnard:

$x = 5.958 \cos{269.452^{\circ}} \cos{4.693^{\circ}} \approx -0.057\: \rm{ly}$

$y = 5.958 \sin{269.452^{\circ}} \cos{4.693^{\circ}} \approx -5.938\: \rm{ly}$

$z = 5.958 \sin{4.693^{\circ}} \approx 0.487\: \rm{ly}$

Y ahora, finalmente, podemos usar la fórmula de distancia para 3-d:

$d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2}$

Entonces, la distancia entre Alpha Centauri AB y la estrella de Barnard es:

$d = \sqrt{(-1.643 + 0.057)^2 + (-1.366 + 5.938)^2 + (-3.816 - 0.487)^2} \approx\mathbf{6.476\,ly}$

Bueno, eso fue ciertamente tedioso, pero es un proceso que puede estandarizarse para prácticamente cualquier estrella, o en realidad, para dos objetos astronómicos cualesquiera:

Primero, convierta RA y DEC a grados.

Segundo, asigne R, RA y DEC a las coordenadas esféricas$r$,$\theta$, y$\phi$.

Tercero, convierta las coordenadas esféricas en coordenadas rectangulares.

Por último, utilice la fórmula de la distancia con los dos conjuntos de$x$,$y$, y$z$coordenadas

Espero que esto ayude. :)

Solo para agregar otro método. Como se insinuó en un comentario, uno puede encontrar la distancia angular entre los inicios. ¿Cómo encontrar la distancia angular?

Imagina el triángulo esférico formado por las ubicaciones de las dos estrellas y el polo norte o sur. Usemos el polo sur en este caso. Tenemos: 1) el ángulo en el polo que es la diferencia en RA's: 3h 18m 12s (=49.55°) - marquemos este ángulo con$p$; 2) también tenemos los arcos al lado de este ángulo - sus longitudes son las diferencias de declinación de la declinación de -90. Eso es 29.16° (para AlphaC) - Vamos a marcarlo con$A$y 94.69° (para Barnard) - Vamos a marcarlo con$B$. Ahora, estamos buscando el tercer arco -$X$. la longitud del tercer arco es básicamente la distancia angular desde el centro de la Tierra. Según la ley esférica de los cosenos :

Ahora, podemos usar el teorema del coseno para el Triángulo Euclidiano (centro de la Tierra, Estrella A, Estrella B). Como tenemos la longitud de 2 lados y el ángulo entre ellos, lo que da como resultado$6.49ly$(usando las distancias de la pregunta))