¿Cómo usar la Ley de Ampere para un cable semi-infinito con corriente?

La ley de Ampere (para una corriente constante) establece que

$$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I$$

Si consideramos un alambre infinito , entonces la simetría nos dice que el campo B en el punto$A$y todos los demás puntos en un círculo de radio$(R+y)$es constante en magnitud y está en la dirección azimutal. Por lo tanto, la magnitud del campo B viene dada por

$$2 \pi (R+y)B = \mu_0 I$$ $$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi(R+y)}$$

Así que ahora, para un cable semi-infinito , elimino la mitad del cable y, por lo tanto, la mitad del campo vectorial . Pero, antes de decir que el nuevo campo es la mitad del original, necesito establecer que los campos B de cada "mitad" del cable infinito están de hecho en la misma dirección para que se sumen en forma paralela. La ley de Biot-Savart nos dice que cada elemento de alambre produce un campo B que es perpendicular a la corriente y perpendicular a un desplazamiento que une el elemento de alambre y el punto en el que quiero conocer el campo. Entonces, el campo B siempre está en una dirección azimutal al cable, cualquiera que sea la pieza de cable que consideremos. Esto significa que el nuevo campo B para el cable semi-infinito está en la misma direccióncomo para el alambre infinito completo pero tiene la mitad de la magnitud.

Para que quede claro, puedes usar la Ley de Ampere:

$$\oint \vec B\cdot \mathrm{d}\vec\ell=\mu_0I_\text{enc}.$$ Específicamente, es la forma sin la corriente de desplazamiento y funciona porque estás en magnetostática. Y la respuesta de Rob Jeffries es totalmente satisfactoria. Pero para abordar específicamente su preocupación con la acumulación de carga, veamos un ejemplo de una generalización adecuada de Biot-Savart dependiente del tiempo.

Se puede proporcionar un ejemplo de una solución para Maxwell si tanto el campo eléctrico como el magnético se calculan como las partes eléctrica y magnética del campo electromagnético dadas por las ecuaciones de Jefimenko:

$$\vec E(\vec r,t)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\left[\frac{\rho(\vec r',t_r)}{|\vec r -\vec r'|}+\frac{\partial \rho(\vec r',t_r)}{c\partial t}\right]\frac{\vec r -\vec r'}{|\vec r -\vec r'|^2}\; \mathrm{d}^3\vec{r}' -\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\int\frac{1}{|\vec r-\vec r'|}\frac{\partial \vec J(\vec r',t_r)}{\partial t}\mathbb{d}^3\vec r'$$ y $$\vec B(\vec r,t)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\left[\frac{\vec J(\vec r',t_r)}{|\vec r -\vec r'|^3}+\frac{1}{|\vec r -\vec r'|^2}\frac{\partial \vec J(\vec r',t_r)}{c\partial t}\right]\times(\vec r -\vec r')\mathbb{d}^3\vec r'$$ dónde $t_r$en realidad es una función de $\vec r'$, específicamente $t_r=t-\frac{|\vec r-\vec r'|}{c}.$

Estos se reducen a Coulomb y Biot-Savart solo cuando esas derivadas de tiempo son exactamente cero, que es estática. Entonces Jefimenko es un ejemplo de las leyes apropiadas dependientes del tiempo para el campo electromagnético. Tenga en cuenta que tanto la parte eléctrica como la magnética del campo electromagnético tienen partes que dependen de la variación temporal de la corriente.

Cuando la variación temporal de la corriente es cero, el campo magnético está determinado únicamente por la corriente. Punto final. No se preocupe por la corriente de desplazamiento. En cambio, tienes que preocuparte de que por un punto$\vec r$a la vez$t$tienes que considerar esos lugares$\vec r'$que podría tener corriente y mirar cuál era la corriente en ese momento$t_r=t-\frac{|\vec r-\vec r'|}{c}.$Y si esa corriente estaba cambiando en ese entonces, también debe mirar su derivada temporal en ese entonces. Pero para los campos magnéticos eso es todo.

Para los campos eléctricos, le importará la carga, y la tasa de carga se acumula, y la tasa de cambio de la corriente en el tiempo. Si desea utilizar Ampere en una situación en la que la corriente nunca cambia, puede hacerlo.

Si la corriente cambia, esto producirá un campo magnético adicional y también producirá un campo eléctrico adicional. Y puede calcular el campo magnético adicional observando la tasa de cambio de la corriente de desplazamiento.

Pero las ecuaciones de Jefimenko hacen obvia una versión casual. La corriente y su cambio, ambos en el pasado, causan el campo magnético aquí en el presente. Y los campos aquí en el presente guardan algunas relaciones entre sí debido a su causa común.

Entonces, si usa estas ecuaciones, el cambio en la corriente causa directamente campos eléctricos y magnéticos. Pero cuando la corriente cambia en el lugar-tiempo$(\vec r_1,t_1)$, hay un campo eléctrico y otro magnético. Pero el campo existe solo en lugares-tiempos$(\vec r_2,t_2)$dónde$t_2=t_1+\frac{|\vec r_2-\vec r_1|}{c}$.

Como puede ver en un ejemplo del libro de electrodinámica de Griffiths:

Para CUALQUIER cable, la ecuación (5.35) sigue siendo válida. Y puede ver que para un cable infinito, θ1=π/2 y θ2=-π/2. Entonces, en su situación puede usar solo θ1 o θ2 cambiando el otro ángulo a cero. No importa qué ángulo mantengas, matemáticamente, ambos te darán una B de la misma magnitud y dirección.

Y un buen truco, porque para un cable infinito usas θ1=π/2 y θ2=-π/2, para sinθ los dos ángulos te dan la misma respuesta. Entonces, para un cable medio infinito, puedes usar la B ¡para un alambre infinito dividido por 2! ¡Es solo la mitad de μοI/2π(r+y)!

Creo que puede usar la ley de Biot Savart en la aproximación electrocuasiestática incluso cuando hay corriente de desplazamiento presente. Por ejemplo, puede calcular el campo magnético generado por un segmento semi infinito con una intensidad$I$utilizando la ley de Biot Savart.

Tienes que poner un cargo$Q(t)$al final del segmento con$I=\frac{dQ}{dt}$. Pero si usa la ley de Biot Savart, este cargo no juega ningún papel.

Otro método sería usar la ecuación de Maxwell Ampere en forma integral$\oint_{\Gamma }{\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{\text{d}l}=\iint_{\Sigma }{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\cdot \overrightarrow{\text{d}S}}}$con el campo$\overrightarrow{E}$creado por$Q(t)$calculado por la ley de Coulomb$\overrightarrow{E}(M,t)=\frac{Q(t)}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{2}}}\overrightarrow{{{e}_{r}}}$.

Puedes comprobar que encontramos el mismo resultado.

Este ejemplo se puede hacer usando la forma simple de la ley de Ampere.
En lugar de obtener una acumulación de carga al final, extienda el conductor en ángulo recto y hasta el infinito. Entonces tienes un conductor infinito en forma de L.