¿A qué velocidad pierde masa un agujero negro giratorio a través de la radiación de Hawking?

Me he hecho la misma pregunta y tengo poca capacidad de atención, así que voy a robar la respuesta de otras personas y ponerla en ecuaciones directas. Stan Liou dio la respuesta general para un agujero negro con masa$M$, momento angular$J$y carga$Q$. El hecho de que estos valores no sean cero implica que se trata de un agujero negro de Kerr-Newman . Para pasar de su respuesta a una forma explícita, tuve que usar$r^+$,$r^-$,$a$,$\sigma$(constante definida en términos de otras constantes),$\kappa$,$T$,$A$, y por último, la luminosidad. Esto es lo que encontré.

$$P = \frac{1}{240} \frac{\hbar c^6 \left( 1 -\frac{Q^2 }{ 4 \pi \epsilon_0 G M^2} -\left( \frac{J c}{M^2 G} \right)^2\right)^2 }{ \pi G^2 M^2 \left( 2 +2 \sqrt{ 1 - \frac{Q^2 }{ 4 \pi \epsilon_0 G M^2} - \left( \frac{J c}{M^2 G} \right)^2 } -\frac{Q^2 }{ 4 \pi \epsilon_0 G M} \right)^3}$$

Además, debo señalar que no todas las combinaciones de estos valores son físicas. Cualquier BH que viole la desigualdad $Q^2+\left ( J/M \right )^2\le M^2\,$es afísico, con esa ecuación tomada para estar en las unidades universales especiales. Esto dice lo que ya es obvio de mi ecuación anterior. Esperamos que si la cantidad en el radical es negativa, no será una combinación de valores permitida. Entonces, el calificador correcto en mi ecuación anterior en unidades arbitrarias es:

$$M^2 - \frac{Q^2 }{ 4 \pi \epsilon_0 G } - \left( \frac{J c}{M G} \right)^2 \ge 0$$

Ahora, digamos que es solo un agujero negro de Kerr , lo que implica que$Q=0$. Sustituimos esto para obtener una ecuación más compacta.

$$P = \frac{1}{1920} \frac{ c^6 \hbar \left(1-\left( \frac{J c}{M^2 G} \right)^2 \right)^2}{ \pi G^2 M^2 \left(1+\sqrt{ 1 - \left( \frac{J c}{M^2 G} \right)^2 }\right)^3}$$

Limitando aún más la discusión, limitémosla a un agujero negro de Schwarzschild , lo que significa$Q=0$y$J=0$. Eso reduce la ecuación anterior a:

$$P = \frac{\hbar c^6}{15360 \pi G^2 M^2}$$

Esto coincide con las ecuaciones que puedes encontrar en Wikipedia.

http://en.wikipedia.org/wiki/Hawking_radiation

Naturalmente, si el agujero negro irradia su masa a través de la Radiación de Hawking, la pérdida de masa y la potencia de salida están conectadas por$E=m c^2$. Asi que$dM/dt=P/c^2$. Podrías usar esta ecuación diferencial para encontrar vida en el agujero negro. No sé a qué velocidad perdería carga y momento angular.

---

También quería verificar (o refutar) la afirmación de que un momento angular hace que el agujero negro irradie más lentamente. Grafiqué la parte de la ecuación del agujero negro de Kerr-Newman con las unidades especiales de carga y momento angular. Ninguno de estos puede ser cero, así que grafiqué de 0 a 1 para el rango de ambos. El valor máximo de la parcela es exactamente$240/15360=0.015625$.

Así que sí, cualquier cantidad de carga y/o momento angular disminuye la tasa de radiación de Hawking.

Un agujero negro de Kerr o Kerr-Newman con masa$M$, cobrar$Q$y momento angular$J$tiene los horizontes:

$$r_\pm = \frac{G}{c^2}\left[M\pm\sqrt{M^2-\frac{1}{4\pi\epsilon_0G}Q^2-\frac{c^2}{G^2}\frac{J^2}{M^2}}\right]$$ y la gravedad superficial relativa al infinito: $$\kappa = c^2\frac{r_+-r_-}{2(r_+^2+a^2)},$$ dónde $a = J/(Mc)$. El área de la superficie es: $$A = 4\pi(r_+^2 + a^2)$$ Y finalmente la temperatura: $$T = \frac{\hbar}{c k_B}\frac{\kappa}{2\pi}.$$ Semiclásicamente, un agujero negro es un cuerpo negro perfecto, por lo que su luminosidad viene dada por la ley habitual de Stefan-Boltzmann: $$L = \sigma AT^4 \longrightarrow \frac{\eta_{\text{eff}}}{2}\sigma AT^4$$ Incluí algunos factores de constantes físicas que los físicos generalmente ignoran al trabajar en unidades naturales ( $c = G = 4\pi\epsilon_0 = k_B = \hbar = 1$). Ignóralos si tú también lo haces. La tasa de pérdida de masa está naturalmente relacionada con esto por $c^2$.

Una complicación es que cuando la temperatura es lo suficientemente alta en comparación con la masa en reposo de partículas masivas en unidades de la constante de Boltzmann$k_B = 1$, la luminosidad es mayor a medida que aumenta el número de especies de partículas efectivamente accesibles. Para unos fríos agujeros negros, como deberían ser los astrofísicos,$\eta_{\text{eff}} = 2$, contando ambos tipos de polarización de un fotón. Si un agujero negro está lo suficientemente caliente como para emitir partículas cargadas, lo hará de forma sesgada, cambiando así su carga.$Q$. Probablemente haya un efecto similar para cambiar el momento angular a través de la radiación de Hawking, pero no estoy seguro de los detalles.

En$D$dimensiones del espacio-tiempo, la temperatura va como

$$T\sim 1/R$$ y el agujero negro no degenerado (por ejemplo, esférico) tiene un área de horizonte que se escala como $$A\sim R^{D-2}.$$ Multiplique esto por la ley de Stefan-Boltzmann para la energía radiada por unidad de área $$\frac{dE}{dt} \sim -\sigma T^D\cdot A$$ donde incluí $\sigma$solo para recordarte que es la ley de Stefan-Boltzmann y obtienes $$\frac{dE}{dt} \sim - T^{2}\sim - \frac{1}{R^2}$$ independientemente de la dimensión. Debido a que la masa del agujero negro (energía que será irradiada) es $$E\sim R^{D-3},$$ también puede estimar la vida útil del agujero negro como $$t_{\rm life} \sim \frac{R^{D-3}}{1/R^2}\sim R^{D-1}$$ En todas las fórmulas anteriores, sustituya $D=4$para nuestro espacio-tiempo.

Este sitio parece tener el tipo de cosas que está buscando: http://www.modernrelativitysite.com/chap11.htm Tiene una fórmula para la temperatura de un Kerr-Newman BH alrededor de 3/4 del camino hacia abajo. Ignore 'e' si no le importa la carga.

Otra página web http://www.scholarpedia.org/article/Bekenstein-Hawking_entropy ofrece una fórmula, marcada (11), justo antes de la mitad, pero no veo la constante de Boltzmann, y de alguna manera no se ve bien. .

Si no estropeé el álgebra, para un BH sin carga con momento angular, la temperatura es

$T_{BH}={\hbar c \over 4\pi k_B}{c^2\over{GM}}{{\sqrt{1-({a\over{M}})^2}}\over{{1+\sqrt{1-({a\over{M}})^2}}}}$

El parámetro rotacional$a$está relacionado con el momento angular por

$a = {cJ\over GM}$

Dada una temperatura, la tasa de pérdida de energía (luminosidad o potencia) viene dada por la termodinámica estándar

$P = \sigma A T^4$

Un poco de matemática, integrando esto y equiparándolo a la masa total del BH (tiempo c^2) da la vida útil. Ignorando el giro, esto sube con la masa al cubo. Al aumentar el giro, la temperatura desciende y la vida útil es más prolongada.

Para tener una idea de los valores físicos típicos, pero lamentablemente solo para un BH que no gira, se puede jugar con la calculadora en línea en http://xaonon.dyndns.org/hawking/

No me gusta incluir a wikipedia como referencia (pero me encanta para navegar), pero aun así, en caso de que alguien que encuentre esta pregunta y respuesta necesite más información, consulte http://en.wikipedia.org/wiki/Hawking_radiation

Siete años después, me topé con este hilo mientras consideraba arreglar el artículo de Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Hawking_radiation

Solo para que conste, hay varios factores importantes que faltan en el análisis:

1. El área de emisión debería (mediante un balance detallado) ser la sección transversal de absorción clásica, es decir, 27/4 veces el área del horizonte de eventos.

2. Contrarrestando ese factor de 6,75, los factores de cuerpo gris que representan la dispersión de la curvatura del espacio-tiempo de regreso al agujero lo reducen a un aumento en un factor de 1,6232 derivable de las referencias de Don Page, incluido https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103 /PhysRevLett.50.1013 resumido en https://arxiv.org/pdf/hep-th/0612193.pdf o https://arxiv.org/pdf/hep-th/0409024.pdf

3. La radiación de gravitón proporciona otro modo de bosón de dos polarizaciones como los fotones, pero después de los factores de cuerpo gris, esto es solo un aumento general de 1.11404

4. Suponiendo que ningún sabor de neutrino tenga masa cero (y tenga en cuenta que las escalas de masa de meV son grandes en comparación con las temperaturas astrofísicas de los agujeros negros), el efecto final es un aumento por un factor de 1.80831 sobre el ingenuo (cálculo del área del horizonte solo con fotones, A_H \ sigma T ^ 4 ).

5. Estos son todos para agujeros que no giran; los agujeros que giran lentamente son muy poco diferentes, mientras que los agujeros que giran rápidamente pierden masa y giran inicialmente bastante rápido en comparación con la vida útil general; para a/M \sim 0.9 a casi extremo, la vida útil del agujero negro es del 50% a al menos el 40% de la vida útil de Schwarzschild sin rotación. Ver https://arxiv.org/pdf/gr-qc/9801044.pdf y https://arxiv.org/pdf/1906.04196.pdf