¿Existe alguna órbita estable alrededor de un agujero negro?

La respuesta es "sí", y hay un sorprendente número de formas de argumentar esto. Probablemente querrá ver la pregunta sobre las órbitas pequeñas alrededor de los agujeros negros en Physics Stack Exchange.

A distancias suficientes, los agujeros negros no son especiales.

Los agujeros negros se comportan igual que cualquier otra colección esférica de materia. Esta es una conclusión de las (intimidantes) ecuaciones de la relatividad general (GR), pero no es un resultado sorprendente. La gravedad newtoniana (gravedad "clásica") establece que cualquier colección de materia esféricamente simétrica se comportará de la misma manera. Esto significa que la distribución radial de la masa del sol no afecta su atracción sobre la Tierra. La gran mayoría de la masa del sol está contenida por debajo de 1/4 de su radio visible. Pero si fuera uniforme, ¡se comportaría exactamente igual! Esta es una declaración muy fuerte, y la relatividad general sigue su ejemplo.

En resumen, solo necesitamos la relatividad general cuando una combinación de parámetros coloca al sistema en el régimen de efectos altamente relativistas. Para la gravedad con respecto a una masa puntual que orbita alrededor de una gran masa, esto suele estar dictado por el potencial gravitacional, con el que debe estar familiarizado como$\frac{G M }{r}$. Cuando este valor comienza a acercarse a$\frac{c^2}{2}$, entonces tienes que preocuparte por estas extrañas distorsiones relativistas.

La historia de la precesión de Mercurio es una anécdota común sobre GR, pero solo se trata de la acumulación de pequeñas monedas durante un largo período de tiempo. Específicamente 43 segundos de arco durante un siglo, que es algo así como 1/100 de grado... en 100 años. Sin embargo, dado que el sistema solar existe desde hace miles de millones de años, esto aún puede tener un impacto en la estabilidad orbital.

Esa es una corrección muy pequeña a nuestras conclusiones. De lo contrario, generalmente se puede decir que cualquier órbita que sea estable para cualquier cuerpo grande también lo es para un agujero negro. En realidad, un agujero negro será aún más estable. Todos los planetas son estrellas que tienen un tapiz gravitacional complejo debido a los cambios de densidad debido a los cambios de composición. Si colapsas cualquiera de estos cuerpos en un agujero negro, tendrán que expulsar su momento angular. A largas distancias de un agujero negro, el campo gravitatorio será excepcionalmente constante, y esto conduce a una mayor estabilidad orbital.

Cuando hablamos de Sagitario A* y cosas así, generalmente todavía estamos en este régimen.

Las órbitas verdaderamente relativistas son raras

Una vez que te acercas lo suficiente como para que el potencial esté cerca de los límites relativistas, la dinámica cambia. No puede hacer una declaración general de que "todas las órbitas son estables/inestables". Cosas que puedes decir:

1. obviamente, todo lo que pasa dentro del horizonte de eventos se ha ido
2. todas las órbitas que pasan dentro del "IBCO" están muertas a menos que se usen "cohetes"
3. a menos que esté más allá de la "ISCO", su órbita será altamente elíptica y de precesión
4. Si la precesión de su órbita alcanza un ángulo que divide$2 \pi$uniformemente, entonces es "estable"

Mis disculpas por la jerga aquí. Es bastante difícil decir nada de esto de manera concisa sin la terminología específica.

Permítanme establecer que IBCO (órbita circular limitada más interna, que es 1,5 veces el radio del horizonte de eventos) es básicamente la línea de la muerte. Si cruzas este punto, solo puedes escapar si tienes "poderosos cohetes". Uso esta terminología porque la usan los físicos, pero en realidad es una mentira. Ningún cohete sería lo suficientemente potente como para traerte de vuelta a menos que estuvieras justo al lado del IBCO. No obstante, hay otras formas de obtener una excepción: por ejemplo, agujeros negros giratorios. Sin estos, aventurarse más allá de IBCO lo sumergirá en el horizonte de eventos. Pero ahora, lo loco de IBCO es que puedes bailar justo en el borde durante básicamente una cantidad de tiempo ilimitada y volver a salir.

Ahora, mis puntos 3 y 4 son básicamente que las órbitas que se acercan al IBCO tienen un comportamiento de "zoom-torbellino". Esto se puede evitar por completo, pero solo más allá de la "ISCO" (órbita circular estable más interna). Más allá de ese punto, puedes orbitar en un círculo y habrá estabilidad hasta el infinito. Si no cumple con este criterio, la órbita se mueve con el tiempo como Mercurio. Pero el cambio sobre cada revolución puede ser cualquier ángulo . Eso significa que puede girar alrededor de IBCO varias veces y luego regresar y volver sobre su camino anterior a ISCO. Puedes repetir este camino exacto hasta el infinito.

Esto demuestra los tipos de órbitas estables que puede obtener, pero la vida real tendrá una colección de parámetros más complicada. La mayoría de los agujeros negros están rotando y aparentemente rotan a una gran fracción de su máximo teórico. Además, hay otro material a su alrededor. Pero ambos abren caminos para obtener energía de él. Es probable que estas complicaciones eviten las órbitas "estables", pero dado que no son conservadoras, puede "navegar" por el entorno alrededor del agujero negro hasta agotar toda su energía utilizable (pista: eso es mucho).

Bueno, sí, y la mejor prueba que se me ocurre son las estrellas que orbitan alrededor del agujero negro del centro galáctico de nuestra galaxia, que es un agujero negro supermasivo en el centro de la Vía Láctea en la región A* de Sagitario :

              

 ^{Órbitas inferidas de 6 estrellas alrededor del candidato a agujero negro supermasivo Sagitario A* en el centro galáctico de la Vía Láctea. (Fuente: Wikipedia )}

También se podría argumentar que todos orbitamos alrededor de este agujero negro de todos modos, ya que toda la galaxia orbita alrededor de su baricentro, donde se encuentra este agujero negro supermasivo en el núcleo de la galaxia.

Sí, los hay, en una aproximación razonable ¹ . Para un agujero negro que no gira, hay exactamente 4 cosas que pueden suceder (suponiendo que no hayas lanzado el objeto directamente al agujero negro):

• El objeto irá demasiado rápido y simplemente continuará hasta el infinito con una ligera desviación en el camino.
• El objeto irá demasiado lento y girará en espiral hacia el centro.
• El objeto va a una velocidad perfecta en un ángulo perpendicular al vector de posición, lo que le da una órbita circular.
• El objeto va a una velocidad perfecta (diferente) en un ángulo no perpendicular al vector de posición, dando una órbita de roseta :

Esto es similar a una órbita elíptica, excepto que los ejes mayor/menor rotan. Mercurio también muestra de manera prominente este tipo de órbita (sin embargo, no tanto como la que orbita un agujero negro), ya que exhibe una precesión prominente del perihelio: la elipse en sí parece orbitar alrededor del sol.

En el caso de un agujero negro giratorio, las cosas se vuelven más complicadas ya que un objeto en espiral puede invertir la dirección de rotación debido al arrastre del marco.

^{1. Vea la respuesta de Mark Adler . Similar a las órbitas que surgen de la fuerza electromagnética, dos cuerpos en órbita emiten ondas gravitacionales, lo que conduce a una eventual pérdida de energía e inspiración. Sin embargo, este proceso es muy lento excepto cerca del final.}

Técnicamente, en la Relatividad General, no hay órbitas estables en ningún sistema de dos cuerpos, punto. Independientemente de la misa o la santidad negra. Los cuerpos que giran alrededor de su centro de masa mutuo emitirán radiación gravitacional. Por la conservación de la energía, las órbitas se harán más pequeñas y, dado el tiempo suficiente, chocarán entre sí.

Prácticamente, esto tarda tanto en ocurrir en la mayoría de las circunstancias que encontramos en el universo, que no es una consideración en las escalas de tiempo de la edad del universo. Sin embargo, en circunstancias inusuales con grandes masas orbitando estrechamente, en este caso dos estrellas de neutrones, esto se ha observado :

La órbita ha decaído desde que se descubrió inicialmente el sistema binario, en concordancia precisa con la pérdida de energía debida a las ondas gravitacionales predicha por la teoría general de la relatividad de Einstein.

En relatividad general, la energía de un "cuerpo de prueba" en movimiento alrededor de un agujero negro de Schwarzschild (esféricamente simétrico, no giratorio) se puede escribir como:

$$E=mc^2\left(\frac{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2\left((1-\frac{2GM}{rc^2})^2(\hat{r}\cdot\hat{v})^2+(1-\frac{2GM}{rc^2})|\hat{r}\times\hat{v}|^2\right)}}}\right)$$ .

Esto se puede escribir como:

$$E=mc^2\left(\frac{{1-\frac{2GM}{rc^2}}}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}-\frac{v^2}{c^2\left((1-\frac{2GM}{rc^2})(\hat{r}\cdot\hat{v})^2+|\hat{r}\times\hat{v}|^2\right)}}}\right)$$ .

En el caso especial del movimiento circular puro se tiene:

$$E=mc^2\left(\frac{{1-\frac{2GM}{rc^2}}}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}-\frac{v^2}{c^2}}}\right)$$ .

De la misma manera clásica (se puede mostrar de alguna manera) para una órbita circular pura tienes:$v=\sqrt{GM/r}$y así podemos escribir:

$$E=mc^2\left(\frac{{1-\frac{2GM}{rc^2}}}{\sqrt{1-\frac{3GM}{rc^2}}}\right)$$ .

Creo (no lo he comprobado) que diferenciando se ve que esta expresión tiene un mínimo en$r=6GM/c^2$, que se conoce como el radio de la "órbita circular estable más interna". Esto significa que cualquier órbita circular con$r>6GM/c^2$es estable en el sentido de que las órbitas circulares infinitesimalmente más cercanas al agujero negro requieren menos energía. Sin embargo, en$r=6GM/c^2$en realidad requiere más energía para mantener una órbita circular más cerca del agujero negro y por eso es inestable. Si intenta mantener una órbita circular más cerca de esta distancia, inevitablemente chocará contra el agujero negro.

De las expresiones anteriores también vemos que se requiere "energía infinita" (un objeto debe viajar a la velocidad de la luz) para mantener una órbita esférica en la "esfera de fotones" ($r=3GM/c^2$).

Respuesta: Las órbitas circulares son estables para$r>6GM/c^2$.