¿Cómo Friedmann y Lemaitre, basándose en la teoría GR "original" de Einstein, encontraron una solución expansiva?

Las ecuaciones de Einstein con$\Lambda=0$son perfectamente capaces de describir un espacio-tiempo en expansión. El principio cosmológico conduce a una métrica de la forma

$$ds^2 = -c^2 dt^2 + a(t)^2 d\Sigma^2$$

dónde$a(t)$es el llamado factor de escala que se establece convencionalmente en$1$en la actualidad, y$d\Sigma^2$es una 3-métrica espacial con curvatura constante$\frac{k}{a^2} = \frac{1}{R_0^2}$con$R_0$el radio de curvatura. La aplicación de las ecuaciones de Einstein a esta métrica conduce a las ecuaciones de Friedmann , que gobiernan la evolución temporal del factor de escala:

$$\frac{\dot a^2 + kc^2}{a^2} = \frac{8\pi G\rho}{3} \qquad (1)$$ $$\frac{\ddot a}{a} = -\frac{4\pi G}{3}\left(\rho + \frac{3p}{c^2}\right)\qquad (2)$$ dónde$k\in\{0, \pm 1\}$denota la curvatura de las hipersuperficies espaciales$\Sigma_t$,$\rho$es la densidad de energía (la$00$componente del tensor tensión-energía) y$p$es la presión correspondiente. Para que el universo sea estático, necesitaríamos tener eso$\dot a =0$; la ecuación (1) implica entonces que

$$a^2 = \frac{3kc^2}{8\pi G\rho} \implies \frac{1}{R_0^2} = \frac{k}{a^2} = \frac{8\pi G\rho}{3c^2}$$

y por lo tanto que$k>0$, lo que significa que el universo es espacialmente cerrado - una esfera con radio$R_0$. Sin embargo, esta no es una configuración de estado estable; si$\rho + \frac{3p}{c^2} \neq 0$, entonces$\ddot a < 0$y el factor de escala comenzaría a disminuir. Para materia ordinaria (fría) y radiación electromagnética,$p = 0$y$p=\frac{\rho c^2}{3}$, respectivamente, por lo que este parecería ser el caso.

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La adición de una constante cosmológica$\Lambda$resuelve este problema. Las ecuaciones de Friedmann se convierten en

$$\frac{\dot a^2 + kc^2}{a^2} = \frac{8\pi G\rho+\Lambda c^2}{3} \qquad (3)$$ $$\frac{\ddot a}{a} = -\frac{4\pi G}{3}\left(\rho + \frac{3p}{c^2}\right)+\frac{\Lambda c^2}{3}\qquad (4)$$

Elegir$\frac{\Lambda c^2}{3}=\frac{4\pi G}{3}\left(\rho + \frac{3p}{c^2}\right)$marcas$\ddot a=0$; configuración$\dot a=0$en la ecuación (3) entonces se obtiene

$$a^2=\frac{kc^2}{4\pi G\left(\rho + \frac{p}{c^2}\right)}$$

Suponiendo materia fría normal ($p=0$), esto se puede escribir

$$\frac{1}{R_0^2}=\frac{k}{a^2} = \frac{4\pi G \rho}{c^2} = \Lambda$$

Sin embargo, esta solución es frágil; tenga en cuenta que si$a\rightarrow a+\delta a$, entonces$\rho \rightarrow \rho + \delta \rho$dónde

$$\delta \rho = \frac{k}{a^2}\left(1-2\frac{\delta a}{a}\right)$$ lo que significa a través de la ecuación (4) $$\ddot{\delta a} \propto \delta a$$ y por tanto el equilibrio es inestable. Pequeñas perturbaciones causarán una expansión desbocada$(\delta a > 0 )$o contracción$(\delta a < 0 )$.

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La confirmación (Hubble, 1929) de que el universo no era estático, que el factor de escala de hecho evolucionaba con$\dot a > 0$- significó que esta solución usando el aparentemente arbitrario$\Lambda$era innecesario, por lo que Einstein lo abandonó. No fue hasta 1998 que se descubrió que la expansión del universo se está acelerando , lo que significa que$\ddot a>0$.

Esta es una bestia diferente. O requiere una constante cosmológica que sea lo suficientemente grande como para hacer que el lado derecho de la ecuación (4) sea positivo, o requiere un nuevo tipo de materia con ecuación de estado$p < -\frac{1}{3}\rho c^2$(o posiblemente alguna combinación de los dos). La forma básica de la$\Lambda_{CDM}$el modelo considera solo la constante cosmológica; las extensiones o modificaciones del modelo permiten diferentes posibilidades (ver, por ejemplo, quintaesencia ).

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La materia y la energía ordinarias siempre harían que el Universo se contrajera y la tasa de contracción aumentaría con el tiempo.

Esto no es verdad. Si asumimos un universo plano que contiene sólo materia bariónica fría (es decir, polvo, con$p=0$), las ecuaciones de Friedmann producen

$$a(t) \propto t^{2/3}$$

que aumenta para siempre sin límite. Por supuesto, la constitución real del universo es más interesante que esto, pero el punto es que si$\dot a>0$en algún momento inicial, no se necesita una constante cosmológica para describir un universo que se expande para siempre.