¿Un péndulo necesariamente emite ondas gravitacionales?

En el límite no relativista, la energía perdida por el sistema debido a la radiación gravitacional se define por la tercera derivada del momento cuadripolar:

$$- \frac{d E}{dt} = \frac{G}{45 c^5}\dddot{D}^2_{ij}.$$ donde índices $i$, $j$corresponden al espacio 3D (plano), y el punto denota la derivada del tiempo. Esta ecuación está tomada de la 'Teoría clásica de campos' de Landau & Lifshitz, pero el resultado se remonta a Einstein (1918).

El tensor de momento cuadrupolar se define de acuerdo con:

$$D_{ij}= \int \mu(\mathbf{r})\cdot(3\,x_i x_j-r^2 \delta_{ij}) d^3\mathbf{r},$$ dónde $\mu$es distribución masiva.

Para la expansión multipolar de distribución de masa esféricamente simétrica con un centro que coincide con el centro de simetría, produce solo un término monopolar, mientras que todos los momentos multipolares superiores son cero. Entonces todos los términos multipolares provienen de la expansión de$\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_m(t)|}$con respecto a los poderes de$\frac 1r$y la masa esféricamente simétrica podría reemplazarse por una masa puntual en los cálculos.

Para una masa puntual que se mueve a lo largo de la$z$-eje la distribución de masa es$\mu(\mathbf{r})=\delta(\mathbf{r}-z(t)\mathbf{e}_z)$. Esto nos da el tensor cuadripolar de

$$D_{ij} = m z^2(t)\,\mathrm{diag}(-1,-1,2).$$ Tenga en cuenta que este tensor oscila alrededor de su valor promedio (distinto de cero) al doble de la frecuencia del péndulo.

Después de sustituir la dependencia explícita por$z(t)$y promediando en el tiempo obtenemos la siguiente potencia de radiación:

$$- \left\langle \frac{d E}{dt} \right\rangle = \frac{192 G m^2 \omega^6 A^4}{45 c^5}.$$ Para valores de laboratorio razonables de parámetros, la potencia perdida por tal radiación gravitacional es extremadamente pequeña. Tomando valores $m=1000\, \text{kg}$, $A = 10 \,\text{m}$y $\omega = 1\, \text{s}^{-1}$(la aceleración tendrá una amplitud de ~ 1 g) la potencia radiada será $\sim 10^{-42}\, \text{W}$.

Al usar un sistema de varias (al menos tres) masas, podríamos suprimir la radiación cuadripolar, luego el siguiente término requeriría momentos octupolares variables y contendría un grado aún mayor de$c$en el denominador. Para suprimir la radiación cuadripolar y octupolar, se podría utilizar un sistema de al menos 4 masas puntuales.

Polarización y distribución angular . Intensidad de onda gravitatoria de una polarización dada por el tensor de polarización$e_{ij}$en el ángulo sólido$d\Omega$es:

$$dI = \frac G {72 \pi c^5} (\dddot{D}_{ij}e_{ij})^2 d \Omega.$$ Por ejemplo, el ' $\times$polarización en la dirección $\mathbf{n}$tiene tensor $e^\times_{ij}=\frac{1}{\sqrt 2}(e^\theta_i e^\phi_j+e^\theta_j e^\phi_i)$( $\mathbf{e}^\theta$y $\mathbf{e}^{\phi}$son vectores unitarios en una esfera). Es fácil demostrar que para un péndulo que oscila a lo largo de la $z$-eje, $D_{ij} e^\times_{ij}=0$para todas las direcciones en todo momento, por lo que la radiación gravitacional para este sistema tiene solo el ' $+$' polarización, y la intensidad tiene distribución angular $\sim \sin^4 \theta$, para que el péndulo no irradie a lo largo de la $z$-dirección.