¿Las ondas gravitacionales irradian isotrópicamente?

No, las ondas gravitacionales no se emiten isotrópicamente. En el límite de campo débil ( es decir, lejos de las fuentes), la radiación emitida por un sistema gravitacional está determinada por la tercera derivada de su momento cuadrupolar, que, al ser un tensor, debe proyectarse a lo largo de la línea de visión para producir un flujo de energía (escalar). Esta proyección es la que da la dependencia angular al flujo de energía.

Que necesita considerar el momento cuadripolar es fácil de entender: el momento dipolar de una distribución de masa siempre se puede establecer exactamente en$0$si el origen de coordenadas se elige en el centro de masa del sistema. El momento monopolar es la masa total del sistema, que se conserva (en el límite de campo débil), por lo que el campo monopolar a grandes distancias siempre es$-GM/r$, una constante de tiempo, por lo que no hay radiación. El primer término físicamente relevante es, por lo tanto, el momento cuadripolar,$D_{ab}$.

Podemos usar la expresión exacta para hacer lo anterior más preciso. Vocación$X_{ab}$la tercera derivada de$D_{ab}$, el flujo de energía promediado durante un período de onda en un elemento de ángulo sólido$d\!\Omega$en la dirección$\vec n$, dónde$\vec n$es un vector unitario, es (Landau & Lifshitz, Field Theory, vol. 2, Ch.13) es:

$$d\!I = \frac{G}{144\pi c^5}\left((X_{ab}n_an_b)^2 + 2X_{ab}X_{ab} -4 X_{ab}X_{ac}n_b n_c \right) d\!\Omega$$

Obviamente,$n_a$son los componentes de$\vec n$. el tensor$D$Se define como

$$D_{ab} \equiv \int (3x_a x_b -r^2 \delta_{ab}) \rho d\!V$$

el cual muestra$D$ser simétrico y sin rastro ,$D_{aa} = 0$. Ambas propiedades se trasladan a$X \equiv d^3 D/dt^3$, por lo que siempre podemos elegir un sistema de ejes tal que$X$es (al menos instantáneamente) diagonal y sin rastro:

$$X =\left(\begin{matrix}X_1 & 0 & 0 \\ 0 & X_2 & 0 \\ 0 & 0 & -(X_1+X_2) \end{matrix}\right)$$

El más simétrico que$X$puede ser es por tener$X_1 =X_2$, pero no hay manera de que pueda tener$X_3=X_1=X_2$, debido a que no tiene rastro. Si ahora elegimos$\vec n$es la dirección identificada por$X_1$, tenemos

$$d\!I = \frac{G}{144\pi c^5}\left(4X_2^2+4X_1X_2 \right) d\!\Omega$$

mientras que si tomamos$\vec n$en la dirección de$X_3$encontramos:

$$d\!I = \frac{G}{144\pi c^5}\left( 2X_1^2 + 2 X_2^2 \right) d\!\Omega$$

que difiere de la fórmula anterior si$X_1 = X_2$O no.