Carga-conjugación de espinores de Weyl

Tengo problemas para reconciliar dos hechos de los que soy consciente: el hecho de que la carga conjugada de un espinor se transforma en la misma representación que el espinor original, y el hecho de que (en ciertas dimensiones, en particular, en$D=4$), la carga conjugada de un espinor zurdo es diestro, y viceversa.

Para que quede claro, introduzco la notación y la terminología pertinentes. Dejar$\gamma _\mu$satisfacer el álgebra de Clifford:

$$\{ \gamma _\mu ,\gamma _\nu \} =2\eta _{\mu \nu},$$ dejar $C$Sea la matriz de conjugación de carga , un operador unitario definido por $$C\gamma _\mu C^{-1}=-(\gamma _\mu )^T.$$ Se puede demostrar que (ver, por ejemplo , Introducción a Cuerdas y Branas de West , Sección 5.2) que $C^T=-\epsilon C$para $$\epsilon =\begin{cases}1 & \text{if }D\equiv 2,4\, (\mathrm{mod}\; 8) \\ -1 & \text{if }D\equiv 0,6\, (\mathrm{mod}\; 8)\end{cases}.$$ Definir $B:=-\epsilon \mathrm{i}\, C\gamma _0$. Entonces, la carga conjugada de un espinor $\psi$y un operador $M$en el espacio del espinor están definidos por $$\psi ^c:=B^{-1}\overline{\psi}\text{ and }M^c:=B^{-1}\overline{M}B,$$ donde la barra denota conjugación simplemente compleja. Definimos $$\gamma :=\mathrm{i}^{-\left( D(D-1)/2+1\right)}\, \gamma _0\cdots \gamma _{D-1},$$ y $$P_L:=\frac{1}{2}(1+\gamma )\text{ and }P_R:=\frac{1}{2}(1-\gamma ).$$ Entonces decimos que $\psi$es zurdo si $P_L\psi =\psi$(lo mismo para diestros). Finalmente, la ley de transformación para un espinor $\psi$es dado por $$\delta \psi =-\frac{1}{4}\lambda ^{\mu \nu}\gamma _{\mu \nu}\psi.\qquad\qquad(1)$$

Ahora que eso está fuera del camino, creo que puedo mostrar dos cosas:

$$\delta \psi ^c=-\frac{1}{4}\lambda ^{\mu \nu}\gamma _{\mu \nu}\psi ^c \qquad\qquad(2)$$ y $$(P_L\psi )^c=P_R\psi ^c\text{ (for }D\equiv 0,4\, (\mathrm{mod}\; 8)\text{)}.\qquad\qquad(3)$$ El primero de ellos dice que $\psi ^c$se transforma de la misma manera que $\psi$y la segunda implica que, si $\psi$es zurdo, entonces $\psi ^c$es diestro (en estas dimensiones apropiadas).

Tengo problemas para reconciliar estos dos hechos. Tenía la impresión de que cuando dice que un Fermion es zurdo, queremos decir que se transforma bajo la representación (1/2,0) de$SL(2,\mathbb{C})$(obviamente, ahora me limito a$D=4$). Su carga conjugada, al ser diestra, se transformaría bajo la$(0,1/2)$representación, contradiciendo el primer hecho. La única forma en que parece que puedo llegar a un acuerdo con esto es que las dos nociones de lateralidad, aunque están relacionadas, no son lo mismo. Es decir, dado un Fermión que se transforma bajo$(1/2,0)$y satisface$P_L\psi =\psi$, entonces$\psi ^c$se transformará como$(1/2,0)$y satisfacer$P_R\psi =\psi$. Es decir, la lateralidad determinada en el sentido de$P_L$y$P_R$es independiente de la lateralidad determinada por la representación en la que vive el Weyl Fermion.

¿Podría alguien por favor aclararme esto?