Derivación de las ecuaciones de Maxwell a partir del lagrangiano del tensor de campo

Variamos la acción

$$\delta \int {L\;\mathrm{d}t} = \delta \int {\int {\Lambda \left( {A_\nu ,\partial _\mu A_\nu } \right)\mathrm{d}^3 x\;\mathrm{d}t = 0} }$$ ${\Lambda \left( {A_\nu ,\partial _\mu A_\nu } \right)}$es la densidad de lagrangiana del sistema.

Asi que,

$$\int {\int {\left( {\frac{{\partial \Lambda }}{{\partial A_\nu }}\delta A_\nu + \frac{{\partial \Lambda }}{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}\delta \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)} \right)\mathrm{d}^3 x\;\mathrm{d}t = 0} }$$ Integrando por partes obtenemos: $$\int {\int {\left( {\frac{{\partial \Lambda }}{{\partial A_\nu }} - \partial _\mu \frac{{\partial \Lambda }}{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}} \right)\delta A_\nu \mathrm{d}^3 x\;\mathrm{d}t = 0} } \implies \frac{{\partial \Lambda }}{{\partial A_\nu }} - \partial _\mu \frac{{\partial \Lambda }}{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}} = 0$$ Tenemos que determinar la densidad del lagrangiano. Uno de los términos trata de la interacción de las cargas con el campo electromagnético, $J^\mu A_\mu$. El otro término es la densidad de energía del campo electromagnético: este término es la diferencia del campo magnético y el campo eléctrico. Entonces tenemos: $$\Lambda = J^\mu A_\mu + \frac{1}{{4\mu _0 }}F^{\mu \nu } F_{\mu \nu }$$ Tenemos: $$\frac{{\partial \Lambda }}{{\partial A_\nu }} = J^\nu$$ asi que: $$\begin{align}\partial _\mu \frac{{\partial \Lambda }}{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}} &= \frac{1}{{4\mu _0 }}\partial _\mu \left( {\frac{\partial }{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}F^{\kappa \lambda } F_{\kappa \lambda } } \right) \\&= \frac{1}{{4\mu _0 }}\partial _\mu \left( {\frac{\partial }{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}\left( {\left( {\partial ^\kappa A^\lambda - \partial ^\lambda A^\kappa } \right)\left( {\partial _\kappa A_\lambda - \partial _\lambda A_\kappa } \right)} \right)} \right) \\&= \frac{1}{{4\mu _0 }}\partial _\mu \left( {\frac{\partial }{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}\left( {\partial ^\kappa A^\lambda \partial _\kappa A_\lambda - \partial ^\kappa A^\lambda \partial _\lambda A_\kappa - \partial ^\lambda A^\kappa \partial _\kappa A_\lambda + \partial ^\lambda A^\kappa \partial _\lambda A_\kappa } \right)} \right)\end{align}$$ El tercero y el cuarto son los mismos términos del primero y del segundo. Tu puedes hacer $k \leftrightarrow \lambda$: $$\begin{align}\partial _\mu \frac{{\partial \Lambda }}{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}} & = \frac{1}{{2\mu _0 }}\partial _\mu \left( {\frac{\partial }{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}\left( {\partial ^\kappa A^\lambda \partial _\kappa A_\lambda - \partial ^\kappa A^\lambda \partial _\lambda A_\kappa } \right)} \right)\;.\end{align}$$ Pero $$\begin{align}\frac{\partial }{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}\left( {\partial ^\kappa A^\lambda \partial _\kappa A_\lambda } \right) &= \partial ^\kappa A^\lambda \frac{\partial }{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}\left( {\partial _\kappa A_\lambda } \right) + \partial _\kappa A_\lambda \frac{\partial }{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}\left( {\partial ^\kappa A^\lambda } \right) \\ &= \partial ^\kappa A^\lambda \delta _\kappa ^\mu \delta _\lambda ^\nu + g^{\kappa \alpha } g^{\lambda \beta } \partial _\kappa A_\lambda \frac{\partial }{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}\left( {\partial _\alpha A_\beta } \right)\\& = 2\partial ^\mu A^\nu \;.\end{align}$$

Tenemos:

$$\begin{align}\frac{\partial }{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}\left( {\partial ^\kappa A^\lambda \partial _\lambda A_\kappa } \right) &= 2\partial ^\nu A^\mu \;. \end{align}$$

Asi que,

$$\begin{align}\partial _\mu \left( {\frac{{\partial \Lambda }}{{\partial \left( {\partial _\mu A_\nu } \right)}}} \right)& = \frac{1}{{\mu _0 }}\partial _\mu \left( {\partial ^\mu A^\nu - \partial ^\nu A^\mu } \right)\\ & = \frac{1}{{\mu _0 }}\partial _\mu F^{\mu \nu } \;.\end{align}$$ Las ecuaciones lagrangianas proporcionan las ecuaciones de Maxwell no homogéneas:

$$\partial _\mu F^{\mu \nu } = \mu _0 J^\nu \;.$$

Bueno, ya casi estás allí. Usa el hecho de que

$${\partial (\partial_{\mu} A_{\nu}) \over \partial(\partial_{\rho} A_{\sigma})} = \delta_{\mu}^{\rho} \delta_{\nu}^{\sigma}$$ lo cual es válido porque $\partial_{\mu} A_{\nu}$son $d^2$componentes independientes.

Estimado amc, primero, escribe tu densidad lagrangiana como

$$L = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = -\frac{1}{2} (\partial_\mu A_\nu) F^{\mu\nu}$$ ¿Está bien hasta ahora? los $F_{\mu\nu}$contiene dos términos que la hacen antisimétrica en los dos índices. Sin embargo, se multiplica por otro $F^{\mu\nu}$eso ya es antisimétrico, así que no necesito volver a antisimetrizarlo. En cambio, ambos términos me dan lo mismo, por lo que el coeficiente $-1/4$simplemente cambia a $-1/2$.

Ahora, las ecuaciones de campo te obligan a calcular las derivadas del Lagrangiano con respecto a$A_\mu$y sus derivados. En primer lugar, la derivada del Lagrangiano$L$con respecto a$A_\mu$componentes mismos se desvanece porque el Lagrangiano solo depende de las derivadas parciales de$A_\mu$. ¿Está claro hasta ahora?

Entonces las ecuaciones de movimiento serán

$$0 = -\partial_\mu [\partial L / \partial(\partial_\mu A_\nu)] = \dots$$ Ups, ya llegaste a este punto. Pero ahora, mira mi forma del Lagrangiano arriba. La derivada del Lagrangiano con respecto a $\partial_\mu A_\nu$es simple $$-\frac{1}{2} F^{\mu\nu}$$ porque $\partial_\mu A_\nu$simplemente aparece como un factor, por lo que las ecuaciones de movimiento simplemente serán $$0 = +\frac{1}{2} \partial_\mu F^{\mu\nu}$$ Sin embargo, deliberadamente he cometido un error. Sólo he diferenciado el Lagrangiano con respecto a $\partial_\mu A_\nu$incluido en el primer factor de $F_{\mu\nu}$, con los índices más bajos. Sin embargo, $\partial_\mu A_\nu$Los componentes también aparecen en $F^{\mu\nu}$, el segundo factor en el Lagrangiano, uno con los índices superiores. Si agrega los términos correspondientes de la regla de Leibniz, el resultado es simplemente que la contribución total se duplicará. Entonces, la ecuación correcta de movimiento, incluido el coeficiente natural, será $$0 = \partial_\mu F^{\mu\nu}$$ La normalización general es importante porque esta ecuación puede obtener términos adicionales, como la corriente, cuyo coeficiente es obvio, y no desea obtener un error relativo de dos entre la derivada de $F$y la corriente $j$.

Saludos Lubos

Aunque tarde en la fiesta, publico una respuesta en un nivel elemental. Puede ser que esto demuestre el poder del cálculo tensorial utilizado en todas las buenas respuestas anteriores.

Resumen

^{En esta respuesta, intentaremos derivar las ecuaciones de Maxwell en el espacio vacío.}

$$\begin{align} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{E} & = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \tag{001a}\\ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{B} & = \mu_{0}\mathbf{j}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \tag{001b}\\ \nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} & = \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \tag{001c}\\ \nabla \boldsymbol{\cdot}\mathbf{B}& = 0 \tag{001d} \end{align}$$ de las ecuaciones de Euler-Lagrange $$\begin{equation} \boxed{\: \dfrac{\partial }{\partial t}\left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\eta}_{\jmath}}\right) + \nabla \boldsymbol{\cdot}\left[\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\eta_{\jmath}\right)}\right]- \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \eta_{\jmath}}=0, \quad \left(\jmath=1,2,3,4\right) \:} \tag{002} \end{equation}$$ dónde $$\begin{equation} \mathcal{L}=\mathcal{L}\left(\eta_{\jmath}, \dot{\eta}_{\jmath}, \boldsymbol{\nabla}\eta_{\jmath}\right) \qquad \left(\jmath=1,2,3,4\right) \tag{003} \end{equation}$$ es la densidad lagrangiana de la pregunta (excepto un factor constante) $$\begin{equation} \boxed{\: \mathcal{L}=\dfrac{\Vert\mathbf{E}\Vert^{2}-c^{2}\Vert\mathbf{B}\Vert^{2}}{2}+\dfrac{1}{\epsilon_{0}}\left( -\rho \phi + \mathbf{j}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{A}\right) \:} \tag{004} \end{equation}$$ y $\:\eta_{\jmath}\left( x_{1},x_{2},x_{3},t\right), \:\:\jmath=1,2,3,4\:$los componentes $\:A_{1},\:A_{2},\:A_{3},\phi\:$del potencial EM 4-vector respectivamente. En cierto sentido, esta derivación se basa en la inversa (: esto de encontrar una densidad lagrangiana adecuada a partir de las ecuaciones de Maxwell) moviéndose hacia atrás, vea mi respuesta aquí: Derivar la densidad lagrangiana para el campo electromagnético

1. Sección principal

Primero expresamos$\:\mathbf{E},\mathbf{B}\:$de (004) en términos de los componentes potenciales de 4 vectores$\:A_{1},\:A_{2},\:A_{3},\phi\:$

$$\begin{align} \mathbf{B} & = \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A} \tag{005a}\\ \mathbf{E} & = -\boldsymbol{\nabla}\phi -\dfrac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} = -\boldsymbol{\nabla}\phi - \mathbf{\dot{A}} \tag{005b} \end{align}$$ A partir de (005) las ecuaciones de Maxwell (001a) y (001d) son válidas automáticamente. Entonces, las cuatro (4) ecuaciones escalares de Maxwell (001b) y (001c) deben derivarse de las cuatro (4) ecuaciones escalares de Euler-Lagrange (002). Además, es razonable suponer que la ecuación vectorial (001b) debe derivarse de (002) con respecto a los componentes del potencial vectorial $\:\mathbf{A}=\left(A_{1},\:A_{2},\:A_{3}\right)\:$, mientras que la ecuación escalar (001c) debe derivarse de (002) con respecto al potencial escalar $\:\phi\:$.

A partir de las ecuaciones (005) expresamos la densidad lagrangiana (004) en términos de los componentes potenciales de 4 vectores$\:A_{1},\:A_{2},\:A_{3},\phi\:$:

$$\begin{align} \left\Vert\mathbf{E}\right\Vert^{2} & = \left\Vert - \boldsymbol{\nabla}\phi -\dfrac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right\Vert^{2} = \left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}+\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2}+2\left(\boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}\right) \tag{006a}\\ & \nonumber\\ \left\Vert\mathbf{B}\right\Vert^{2} & = \left\Vert\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right\Vert^{2} \equiv \sum^{k=3}_{k=1}\left[\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}-\dfrac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right] \tag{006b} \end{align}$$ La segunda ecuación en (006b), que es la identidad $$\begin{equation} \left\Vert\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right\Vert^{2} \equiv \sum^{k=3}_{k=1}\left[\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}-\dfrac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right] \tag{Id-01} \end{equation}$$ se prueba en 2. Sección Identidades . Insertando expresiones (006) en (004) la densidad lagrangiana es ^{$$\begin{equation} \mathcal{L}=\underbrace{\tfrac{1}{2}\left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}+\tfrac{1}{2}\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2}+\boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}}_{\tfrac{1}{2}\left\Vert - \boldsymbol{\nabla}\phi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right\Vert^{2}}-\tfrac{1}{2}c^{2}\underbrace{\sum^{k=3}_{k=1}\left[\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right]}_{\left\Vert \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right\Vert^{2}}+\frac{1}{\epsilon_{0}}\left( -\rho \phi + \mathbf{j}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}\right) \tag{007} \end{equation}$$}

Reorganizamos los elementos en (007) de la siguiente manera:

$$\begin{align} \mathcal{L} & = \overbrace{\tfrac{1}{2}\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2}-\frac{\rho \phi}{\epsilon_{0}}+\boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}}^{\mathcal{L}_{\phi}=\text{with respect to }\phi}+\tfrac{1}{2}\left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}+\tfrac{1}{2}c^{2}\sum^{k=3}_{k=1}\left[\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right]+\frac{\mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}}{\epsilon_{0}} \tag{008a}\\ \mathcal{L} & = \tfrac{1}{2}\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2}-\frac{\rho \phi}{\epsilon_{0}}+\underbrace{\boldsymbol{\nabla}\phi\boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}+\tfrac{1}{2}\left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}+\tfrac{1}{2}c^{2}\sum^{k=3}_{k=1}\left[\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\Vert\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right]+\frac{\mathbf{j}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}}{\epsilon_{0}}}_{\mathcal{L}_{\mathbf{A}}=\text{with respect to }\mathbf{A}} \tag{008b} \end{align}$$

los$\:\mathcal{L}_{\phi}\:$parte de la densidad contiene todos$\:\phi$-términos y participará razonablemente solo en la derivación de la ecuación de Maxwell (001c) a partir de la ecuación de Euler-Lagrange (002) con respecto a$\:\eta_{4}=\phi\:$. los$\:\mathcal{L}_{\mathbf{A}}\:$parte de la densidad contiene todos$\: \mathbf{A}$-términos y participará razonablemente solo en la derivación de la ecuación de Maxwell (001b) a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange (002) con respecto a$\:\eta_{1},\eta_{2},\eta_{3}=A_{1},A_{1},A_{3}\:$. Tenga en cuenta el término común$\:\boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}\:$de las partes$\:\mathcal{L}_{\phi},\mathcal{L}_{\mathbf{A}}\:$.

La ecuación de Euler-Lagrange con respecto a$\:\eta_{4}=\phi\:$es :

$$\begin{equation} \dfrac{\partial }{\partial t}\overbrace{\left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}}\right)}^{0} +\nabla \boldsymbol{\cdot}\overbrace{\left[\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\phi\right)}\right]}^{\boldsymbol{\nabla}\phi+\mathbf{\dot{A}}}-\overbrace{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}}^{-\frac{\rho }{\epsilon_{0}}}=0 \tag{009} \end{equation}$$ o $$\begin{equation} \nabla \boldsymbol{\cdot}\underbrace{\left(-\boldsymbol{\nabla}\phi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right)}_{\mathbf{E}}= \frac{\rho }{\epsilon_{0}} \tag{010} \end{equation}$$ esa es la ecuación de Maxwell (001c) $$\begin{equation} \nabla \boldsymbol{\cdot}\mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \tag{001c} \end{equation}$$

Para derivar la ecuación de Maxwell (001b) la expresamos con la ayuda de las ecuaciones (005) en términos de los componentes de 4 vectores potenciales$\:A_{1},\:A_{2},\:A_{3},\phi\:$:

$$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \left(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right) =\mu_{0}\mathbf{j}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial }{\partial t}\left(-\boldsymbol{\nabla}\phi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right) \tag{011} \end{equation}$$ usando la identidad $$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \left( \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right) =\boldsymbol{\nabla}\left(\nabla \boldsymbol{\cdot}\mathbf{A}\right)- \nabla^{2}\mathbf{A} \tag{012} \end{equation}$$ eq.(011) rendimientos $$\begin{equation} \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\mathbf{A}}{\partial t^{2}}-\nabla^{2}\mathbf{A}+ \boldsymbol{\nabla}\left(\nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial \phi}{\partial t}\right) =\mu_{0}\mathbf{j} \tag{013} \end{equation}$$ los $\:k$-componente de la ecuación (013) se expresa correctamente para parecerse a una ecuación de Euler-Lagrange de la siguiente manera: $$\begin{equation} \dfrac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial \mathrm{A}_{k}}{\partial t}+\frac{\partial \phi}{\partial x_{k}}\right)+\nabla \boldsymbol{\cdot} \left[c^{2}\left(\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}- \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right)\right] -\frac{\mathrm{j}_{k}}{\epsilon_{0}}=0 \tag{014} \end{equation}$$ Es suficiente para alcanzar por encima de eq. (014) de la ecuación de Euler-Lagrange (002) con respecto $\:\eta_{k}=A_{k},\:\: k=1,2,3\:$:

$$\begin{equation} \dfrac{\partial }{\partial t}\left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{A}_{k}}\right) + \nabla \boldsymbol{\cdot}\left[\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}A_{k}\right)}\right]- \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{k}}=0 \tag{015} \end{equation}$$

Ahora

$$\begin{equation} \dfrac{\partial\mathcal{L} }{\partial \dot{A}_{k}}=\dfrac{\partial }{\partial \dot{A}_{k}}\left( \boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}+\tfrac{1}{2}\left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}\right)=\frac{\partial \phi}{\partial x_{k}}+\frac{\partial \mathrm{A}_{k}}{\partial t} \tag{016a} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{k}}=\frac{\partial }{\partial A_{k}}\left(\frac{\mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}}{\epsilon_{0}}\right)=\frac{\mathrm{j}_{k}}{\epsilon_{0}} \tag{016b} \end{equation}$$ y $$\begin{equation} \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}A_{k}\right)}=\dfrac{\partial}{\partial\left(\boldsymbol{\nabla}A_{k}\right)}\left(\tfrac{1}{2}c^{2}\sum^{k=3}_{k=1}\left[\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right]\right)=c^{2}\left(\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}- \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right) \tag{016c} \end{equation}$$ La última ecuación en (016c) es válida debido a la identidad (Id-02) demostrada en 2. Sección de Identidades : $$\begin{equation} \dfrac{\partial \left( \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}\right) }{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right)}=\dfrac{\partial}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right)}\left(\sum^{k=3}_{k=1}\left[\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right]\right) =2\left( \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}\right) \tag{Id-02} \end{equation}$$ Utilizando las expresiones de las ecuaciones (016), la ecuación de Euler-Lagrange (015) da (014) y, por lo tanto, la ecuación de Maxwell (001b).

2. Sección de Identidades

^{Si$\: \mathbf{A}= \left( \mathrm{A}_{1}, \mathrm{A}_{2}, \mathrm{A}_{3}\right) \:$es una función vectorial de las coordenadas cartesianas$\:\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right)\:$después}

$$\begin{equation} \left\Vert\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right\Vert^{2} \equiv \sum^{k=3}_{k=1}\left[\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}-\dfrac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right] \tag{Id-01} \end{equation}$$ y
$$\begin{equation} \dfrac{\partial \left( \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}\right) }{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right)}=\dfrac{\partial}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right)}\left(\sum^{k=3}_{k=1}\left[\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right]\right) =2\left( \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}\right) \tag{Id-02} \end{equation}$$ donde la derivada funcional del lado izquierdo se define como $$\begin{equation} \dfrac{\partial \left( \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}\right) }{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right)}\equiv \left[\dfrac{\partial \left( \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}\right) }{\partial \left(\dfrac{\partial \mathrm{A}_{k}}{\partial x_{1}}\right)},\dfrac{\partial \left( \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}\right) }{\partial \left(\dfrac{\partial \mathrm{A}_{k}}{\partial x_{2}}\right)},\dfrac{\partial \left( \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}\right) }{\partial \left(\dfrac{\partial \mathrm{A}_{k}}{\partial x_{3}}\right)} \right] \tag{Id-03} \end{equation}$$ Prueba de ecuación (Id-01) : $$\begin{eqnarray*} && \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2} =\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}-\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}\right)^{2}\\ %---------------------------------------- &=& \left[\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}\right)^{2}\right]+\left[\left(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}}\right)^{2}\right]+\left[\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}\right)^{2}\right] \\ %---------------------------------------- &&-2\left[\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}} +\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}}\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}}\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}\right]\\ %---------------------------------------- &=& \left[\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}\right)^{2}\right] +\left[\left(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}}\right)^{2}\right] \\ %---------------------------------------- &&+\left[\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{3}}\right)^{2}\right] -\left[\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{3}}\right)^{2}\right]\\ %---------------------------------------- &&-2\left[\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}}\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}}\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}\right]\\ %---------------------------------------- &=& \Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{1}\Vert^{2}+\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{2}\Vert^{2}+\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{3}\Vert^{2}-\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{1}}\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}}\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}+ \frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}}\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}} \right)\\ %---------------------------------------- &&-\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{2}}\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{2}}+ \frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}} \right)-\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}}\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}+ \frac{\partial A_{3}}{\partial x_{3}}\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{3}} \right)\\ %---------------------------------------- &=& \Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{1}\Vert^{2}+\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{2}\Vert^{2}+\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{3}\Vert^{2}- \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{1}}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{1}-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{2}}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{2}-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{3}}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{3}\\ %---------------------------------------- &=&\sum^{k=3}_{k=1}\left[\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right] \end{eqnarray*}$$ Prueba de ecuación (Id-02) : De ecuación $$\begin{eqnarray*} && \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2} =\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}-\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}\right)^{2}\\ %---------------------------------------- &=& \left[\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}\right)^{2}\right]+\left[\left(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}}\right)^{2}\right]+\left[\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}\right)^{2}\right] \\ %---------------------------------------- &&-2\left[\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{2}}\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{1}} +\frac{\partial A_{2}}{\partial x_{3}}\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial A_{3}}{\partial x_{1}}\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{3}}\right] \end{eqnarray*}$$ tenemos $$\begin{eqnarray*} \dfrac{\partial \left( \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}\right) }{\partial \left(\dfrac{\partial \mathrm{A}_{1}}{\partial x_{1}}\right)} &=& 0 =2\left(\dfrac{\partial \mathrm{A}_{1}}{\partial x_{1}}-\dfrac{\partial \mathrm{A}_{1}}{\partial x_{1}} \right)\\ \dfrac{\partial \left( \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}\right) }{\partial \left(\dfrac{\partial \mathrm{A}_{1}}{\partial x_{2}}\right)} &=& 2\left(\dfrac{\partial \mathrm{A}_{1}}{\partial x_{2}}-\dfrac{\partial \mathrm{A}_{2}}{\partial x_{1}} \right) \\ \dfrac{\partial \left( \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}\right) }{\partial \left(\dfrac{\partial \mathrm{A}_{1}}{\partial x_{3}}\right)} &=& 2\left(\dfrac{\partial \mathrm{A}_{1}}{\partial x_{3}}-\dfrac{\partial \mathrm{A}_{3}}{\partial x_{1}} \right) \end{eqnarray*}$$ Asi que $$\begin{equation*} \dfrac{\partial \left( \left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}\right) }{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{1}\right)}= 2\left( \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{1}-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{1}}\right) \end{equation*}$$ demostración de la ecuación (Id-02) para $\:k=1\:$y de manera similar para los otros dos componentes $\:k=2,3$.

Un método es variar la acción de Maxwell (establecer$J^\mu = 0$si quieres, para el caso sin fuente)

$$S = \int d^4 x {\mathcal{L}} = - \int d^4 x \left(\frac{1}{4} F^{\mu \nu} F_{\mu \nu} + J^\mu A_\mu\right).$$ Primera nota que $$\begin{align} \delta \left(F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}\right) &= 2 F^{\mu \nu} \delta F_{\mu \nu} \\ &= 2 F^{\mu \nu} \left(\partial_\mu \delta A_\nu - \partial_\nu \delta A_\mu\right) \\ &= 4 F^{\mu \nu} \partial_\mu \delta A_\nu \\ &= 4\left[\partial_\mu\left(F^{\mu \nu} \delta A_\nu\right) - \partial_\mu F^{\mu \nu} \delta A_\nu\right], \end{align}$$ donde hemos usado el hecho de que $F$es antisimétrico.

Note también que el$\partial_\mu\left(F^{\mu \nu} \delta A_\nu\right)$desaparecerá al convertirlo en una integral de superficie, utilizando el argumento estándar de que$\delta A_\mu$desaparece en el límite de integración.

Usando lo anterior, la variación de la acción es

$$\delta S = - \int d^4x \ \delta A_\nu \left(-\partial_\mu F^{\mu \nu} + J^\nu \right),$$ que, desde $\delta A_\nu$es arbitrario, produce el resultado deseado $$\partial_\mu F^{\mu \nu} = J^\nu.$$