El largo y el ancho de un giro depende completamente de tres cosas:

1. ¿Cuál es la verdadera velocidad aerodinámica?
2. ¿Cuál es el ángulo de alabeo del giro?
3. ¿Se mantiene el vuelo nivelado durante el viraje?

Dado que es más fácil de calcular, y presumiblemente lo que pretendía, asumiremos que el n. ° 3 es verdadero (vuelo nivelado). Sin embargo, si realmente necesitaba dar la vuelta rápidamente, girar en un descenso le dará un giro cerrado sin las fuerzas g adicionales.

La velocidad de crucero para un 747 depende de la altitud, la generación, las pautas de la compañía, etc., pero usaremos Mach 0.85 para este ejemplo, que parece estar en el estadio de béisbol. Si decimos que navega a 35 000 pies en condiciones atmosféricas estándar, eso equivale a 490 nudos TAS.

A continuación, elija un ángulo de alabeo. Un ángulo de alabeo razonable para ese avión con pasajeros a bordo es de 25°, y probablemente podría salirse con la suya con 30°. Cualquier cosa más allá de eso hará que los pasajeros se quejen. Por supuesto, si se trata de una emergencia, podría considerar algo más alto. Solo recuerde, cuanto mayor sea el ángulo de alabeo, más fuertes serán las fuerzas g que sentirán las personas dentro y el avión en sí, que tiene limitaciones estructurales. La fuerza G se puede calcular usando:

$$gforce = \frac{1}{\cos(bank)}$$

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Por ejemplo, seleccionemos un banco de 25° ya que es el más realista.

Radio

Calcula el radio del giro usando esta fórmula, ligeramente modificada de Wikipedia para dar nmi en lugar de pies:

$$Radius\ of\ turn\ in\ nautical\ miles= \frac{velocity^2}{68579 \times \tan(bank)}$$

Lo que nos da:

$$7.51nmi = \frac{490^2}{68579 \times \tan(25°)}$$

Entonces, el giro en sí tendría unas 15 millas náuticas de ancho (≈ 91,000 pies) sin tener en cuenta el viento.

Distancia viajada

Usando geometría básica, la distancia recorrida para un giro de 180° es$d = r\pi$(la mitad de la circunferencia de un círculo), entonces:

$$23.59= 7.51\pi$$

Dándonos 23,59 millas náuticas recorridas.

Duración

$$time\ in\ minutes = \frac{distance \times 60}{TAS}$$

Por lo tanto, a 490 nudos (millas náuticas por hora) y alabeo de 25°, tardaría unos 2 minutos y 53 segundos en completar el viraje.

$$2.89 = \frac{23.59 \times 60}{490}$$

Puede pasar y calcular los resultados para cualquier velocidad y ángulo de inclinación que desee. Esto es cierto independientemente del tipo de avión en cuestión.

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Girando en un Descenso

Su pregunta editada pregunta cuánta altitud se perdería si no fuera un giro nivelado. Tampoco hay una respuesta única a esta pregunta porque depende completamente de cómo realices la maniobra.

Una de las razones por las que puede tener que descender en un giro es porque el aumento de la sustentación da como resultado una mayor resistencia inducida, y es posible que los motores de la aeronave no tengan suficiente potencia para compensar, lo que resulta en una disminución de la velocidad aerodinámica y posiblemente una entrada en pérdida. En este caso, las ecuaciones para calcular el radio de giro son exactamente las mismas que en vuelo nivelado. La cantidad de altitud perdida dependerá de la velocidad de descenso necesaria para mantener la velocidad aerodinámica, que variará según la potencia del motor disponible, el peso de la aeronave y la curva de resistencia a la velocidad y el AoA determinados. La respuesta de Peter Kämpf da un ejemplo de cómo se vería esto para un 747 en un giro de 1,5 g.

Otra versión de un descenso con giro sería un descenso acelerado. La ventaja en este caso es que permitiría realizar giros sin fuerza g adicional. La desventaja es que estará acelerando hacia abajo en lugar de descender a un ritmo constante. Esto puede salirse de control muy rápidamente y solo sería bueno para turnos de muy corta duración.

Para ilustrar esta desastrosa opción, veamos lo que sucedería en un giro de 1g a los mismos 25° y 490 nudos TAS. Dado que las matemáticas son más complicadas, será más fácil hablar de esta porción en unidades métricas. Aquí hay una tabla de conversión:

1 nautical mile = 1852 meters
1 knot = 0.514444 meters per second
1 foot = 0.3048 meters

Primero, para mantener 1g constante, el vector de sustentación simplemente se rota en el giro (en lugar de rotar y aumentar para mantener la altitud). Por lo tanto, la magnitud de nuestro vector de elevación será igual a la aceleración de la gravedad cerca de la superficie de la Tierra. Lo redondearemos a 9,8 m/s/s.

Aceleración interna

Nuestra aceleración hacia el centro de la curva.$a_c$(la parte de nuestro vector de sustentación que apunta hacia adentro en lugar de hacia arriba) se puede determinar usando la siguiente ecuación donde$\theta$es el ángulo de banco:

$$\sin(\theta) = \frac{a_c}{g}$$

Resolviendo para$a_c$:

$$a_c = g\sin(\theta)$$

Por lo tanto

$$4.142 = 9.8\sin(25°)$$

Radio

Así que 4.142 metros por segundo por segundo es qué tan rápido, a 25° de inclinación lateral, y 1g, estaremos acelerando hacia el centro de la curva. Con esa información, junto con nuestra velocidad conocida, podemos calcular el radio del giro usando esta ecuación donde$v$es nuestra velocidad en metros por segundo, y$R$es el radio en metros:

$$R = \frac{v^2}{a_c}$$

Conecta nuestros números:

$$15341 = \frac{(490 \times 0.514444)^2}{4.142}$$

Esto sale a un radio de 15341 metros (8,28 millas náuticas).

Distancia viajada

Ahora que tenemos nuestro radio, podemos calcular cuánto tiempo nos tomará dar un giro de 180°. Esta parte es la misma ecuación que antes.

$$48195 = 15341\pi$$

Dándonos 48195 metros (26 millas náuticas).

Duración

La distancia dividida por la velocidad nos da la duración.

$$t = \frac{d}{v}$$

En nuestro caso:

$$191.2\ seconds = \frac{48195}{490 \times 0.514444}$$

Por lo tanto, tomará 3 minutos y 11 segundos completar el giro.

Aceleración hacia abajo

El último valor que necesitamos antes de que podamos calcular la altitud perdida en el giro es calcular qué tan rápido vamos a estar acelerando hacia el suelo en este giro. Primero calculemos la porción hacia arriba de nuestro vector de elevación:

$$a_u = g\cos(\theta)$$

Por lo tanto

$$8.882 = 9.8\cos(25°)$$

Nuestro vector de sustentación nos acelera hacia arriba a 8,882 m/s/s, mientras que la gravedad intenta tirarnos hacia abajo a -9,8 m/s/s. Eso da como resultado un vector neto de -0.918 m/s/s.

Altitud perdida

Esta parte requiere un poco de cálculo porque nuestra velocidad de descenso se está acelerando. La integral de la aceleración es la velocidad ($v = at$), y la integral de la velocidad es la distancia:

$$d = \frac{at^2}{2}$$

Entonces, calculemos el cambio en la distancia vertical (altitud):

$$-16780 = \frac{-0.918 \times 191.2^2}{2}$$

Entonces, teóricamente, nuestro avión perdió 16.780 metros de altitud (55.052 pies). Por supuesto, dado que estábamos a solo 35,000 pies en el aire para empezar, estas son malas noticias para nosotros. Además de golpear el suelo, también estaría cerca de correr el riesgo de dañar la estructura del avión porque, en este ejemplo, 490 nudos se considera la velocidad sobre el suelo, pero la velocidad total sería mayor (alrededor de 596 nudos) al final del giro. debido a la tasa de hundimiento.

También notará que, suponiendo que tuviéramos la altitud que perder en primer lugar, el viraje tardó más en completarse que en un vuelo nivelado. Esto se debe a que la magnitud del vector de sustentación fue menor.

Siéntase libre de experimentar con otras velocidades y ángulos de alabeo, y también puede experimentar con giros g más altos (simplemente reemplace$g$en las ecuaciones con$2g$o similar). En algunos casos por encima de 1 g, es posible que gane altitud, aunque es poco probable que un 747 pueda sostener una maniobra de alta g que gane altitud.

Como segundo ejemplo rápido, considere un giro de 2 g con 80° de alabeo a 400 nudos:

$$a_c = 19.302 = 2g\sin(80°) \\ R = 2193.8 = \frac{400 \times 0.514444}{a_c} \\ d = 6892 = R\pi \\ t = 33.5 seconds \\ a_u = 3.404 = 2g\cos(80°)$$

Dando una altitud total perdida de 3589 metros (11,775 pies) durante 33,5 segundos. Sin embargo, al final del giro, tendría una tasa de descenso de 214 metros (703 pies) por segundo. Eso es más de 42,000 pies por minuto. Probablemente sería posible recuperarse de eso en la altitud restante, pero no sería agradable.

Para calcular las tasas de giro, es mejor comenzar con un factor de carga$n_z$o ángulo de balanceo$\Phi$y calcule todos los demás parámetros utilizando estas fórmulas:

$$n_z = \frac{1}{cos \,\Phi}$$ Radio: $$R = \frac{v^2}{g\cdot tan\,\Phi}$$ Velocidad angular (rad/s): $$\Omega = \frac{v}{R} = \frac{g\cdot tan\,\Phi}{v}$$

Un avión comercial en crucero volará cerca de la sustentación máxima local, por lo que no podrá sostener un giro pronunciado. Tirar de más de un pequeño porcentaje de 1 g causará impactos más fuertes en la parte superior del ala, lo que provocará un fuerte aumento de la resistencia e incluso puede detener el avión. Esto se llama pérdida de alta velocidad. Afortunadamente, las cosas mejoran extremadamente rápido cuando el avión reduce un poco la velocidad. Sin embargo, si reduce demasiado la velocidad, entrará en pérdida a baja velocidad, porque ambos están separados por un pequeño rango de velocidad cuando se vuela en aire de baja densidad con un número de Mach alto.

Para darle una idea de qué factor de carga es causado por qué ángulo de balanceo, aquí hay una pequeña lista:

    Ω       load factor [g]
    0°        1.0
   10°        1.0154
   20°        1.0642
   30°        1.1547
   40°        1.3054
   50°        1.5557
   60°        2.0
   70°        2.9238
   80°        5.7588

Asumiría que no será posible un alabeo de más de 20° en el crucero. Dado que el 747 puede volar a Mach 0,85, esto se traduce en 500 kt o 258 m/s en 30 000 pies. El radio de este giro será de 18,65 km o 10 millas. Utilice el inverso de la velocidad angular para calcular los segundos por radianes: Volando un giro de 180° ($\Omega = \pi$) tardará 227 s o tres minutos y 47 segundos.

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EDITAR: Bret Copeland me inspiró para agregar un caso más. No es tan extremo como lo haría Terry, pero te da un giro más cerrado.

Por encima del giro se voló sin lavabo. Supongo que el 747 no puede producir mucha más sustentación sin tener problemas de compresibilidad, lo que aumentaría enormemente la resistencia. Si no me preocupa perder altitud, puedo usar la ganancia de energía del hundimiento para compensar esa resistencia adicional, y luego el cálculo sería así:

A partir de un giro de 1,5 g con un alabeo de 48°, el avión necesita producir un 50 % más de sustentación, lo que solo será posible cuando el piloto acepte fuertes golpes y cabeceos (Mach Tuck). Pero supongamos que eso es posible. Espero que la curva de sustentación supere con creces la ruptura de Mach y que la resistencia al menos se duplique. Utilizando datos de esta fuente , y asumiendo una masa de aeronave de m = 340 t, se necesitan otros P = 9 MW de potencia por segundo además de lo que suministran los motores. Esto es posible hundiéndose con$w = \frac{P}{m}$= 26,6 m/s. Este es un ángulo de trayectoria de vuelo de$atan(\frac{26.6}{258})$= 6°. (No me sorprendería si el número real está más cerca de 10 °, pero no tengo buenos datos aerodinámicos disponibles en este momento).

El radio de giro ahora es de solo 6,11 km y el giro de 180° se completa después de 74,4 s = 1 minuto y 14 s. La pérdida de altitud con la trayectoria de vuelo de 6° es de 1980 m o 6500 pies. Una solución más precisa incluiría el hecho de que el requisito de sustentación disminuye con el coseno del ángulo de la trayectoria de vuelo, pero para una estimación de primer orden, los números aquí son suficientemente bueno.

Esto no es exactamente tratar el avión como lo sugiere el manual, pero el tipo ha sobrevivido antes a un trato peor .