Celosías recíprocas

¿Existe una manera fácil de comprender y/o visualizar la red recíproca de una red de estado sólido de dos o tres dimensiones? ¿Cuál es el significado de la red recíproca y por qué los físicos del estado sólido expresan las cosas en términos de la red recíproca en lugar de la red del espacio real?

Buena pregunta, en realidad. La respuesta no es inmediatamente obvia.

Respuestas (4)

Para comprender por qué el espacio recíproco es importante, quizás sea útil ilustrar el concepto relacionado de espacio de frecuencia.

Cada vez que uno está analizando ondas (ya sean ondas de sonido, ondas EM o cualquier otro tipo) uno puede explotar la simetría traslacional de las leyes del movimiento. La cantidad dual a la posición es el impulso (para campos sin masa como las ondas EM esto también corresponde a la frecuencia) y debido a dicha simetría todo se vuelve mucho más fácil. En lugar de trabajar con ondas generales (que pueden ser bestias bastante difíciles), se trabaja con ondas monocromáticas (es decir, de frecuencia única). Para este tipo especial de ondas, las ecuaciones diferenciales se simplifican a ecuaciones algebraicas, por lo que el problema se vuelve fácilmente tratable.

Ahora bien, el método explicado en el párrafo anterior se conoce como análisis de Fourier y transformada de Fourier y es muy general. En pocas palabras, cada vez que tenga una buena simetría, puede usar el análisis de Fourier para pasar al espacio dual donde el problema se simplificará enormemente. Cuando se aplica a celosías (que tienen mucha simetría traslacional) se obtiene el concepto de celosía recíproca.

Nota matemática:

Desde el punto de vista matemático, se aprovecha que el sistema está esencialmente descrito por funciones integrables en algún grupo abeliano localmente compacto GRAMO . Por el teorema de Peter-Weyl sabemos que el espacio de tales funciones está parametrizado por representaciones irreducibles de GRAMO que forman un grupo dual de Pontryagin GRAMO ^ .

Por ejemplo, cuando se trabaja con funciones periódicas, en realidad se está trabajando con las funciones definidas en el círculo. S 1 . Ahora los irreps de S 1 están parametrizados precisamente por números enteros. Entonces en este caso obtenemos las descomposiciones de una función periódica

F ( X ) = ∑ k ∈ Z F k ρ k ( X )
dónde F k son los modos de Fourier de F ( X ) y ρ k ( X ) = Exp ⁡ ( − i k X ) son irresponsables de S 1 . En general, las irreps de un grupo LCA están dadas por algún exponencial, por lo que esto explica la ubicuidad de los exponenciales en física.

¿Por qué el voto negativo?
Su respuesta, aunque matemáticamente detallada, está fuera de lugar. No aborda la pregunta original de @david, que era: "una manera fácil de entender y/o visualizar la red recíproca". ¿Por qué necesitamos tecnicismos como el teorema de Peter-Weyl para explicar qué es una red dual?
@cadet: También preguntó cuál es el significado de la red recíproca y por qué no trabajamos simplemente en el espacio real . Creo que respondí eso. En cuanto a las matemáticas, solo se agregó como una nota (y se marcó como tal) para cualquier persona que pueda estar interesada en saber por qué funciona todo esto. ¿Entiendo correctamente que agregar notas matemáticas hace que la respuesta sea mucho peor que merece ser votada negativamente?
Me pareció que estabas usando un "martillo para romper un huevo". Y de nuevo para explicar el "significado" o el "por qué" de los retículos recíprocos apenas necesitamos invocar lenguaje sobre grupos localmente compactos y el teorema de Peter-Weyl, que, en cualquier caso, es descifrable para una pequeña minoría. Y si bien hay muchas personas talentosas, como usted, en este sitio que tienen esa capacidad, hay muchas más que se sentirían intimidadas en lugar de ayudadas por la forma en que formuló su respuesta. O tal vez cometí un error de juicio. Si es así, pido disculpas. Siéntase libre de devolver el favor en cualquier momento :)
@cadet: Bastante justo, veo tu punto. Como ya dije en otra pregunta, nunca sé en qué nivel formular mis respuestas (y en realidad es probablemente más difícil de explicar en un nivel bajo; eso requiere una buena cantidad de experiencia en la enseñanza). Pero viendo que ya hay otras respuestas físicas, pensé que sería útil que alguien viera también el punto de vista más matemático. No estoy seguro si mi pensamiento era correcto.
votado a favor. las redes duales y recíprocas no son lo mismo, y matemática o no, esta respuesta explica mejor por qué los físicos querrían trabajar en el espacio recíproco.

¡Son preguntas como esta las que me hacen volver a este sitio!

Tu primera pregunta es:

¿Existe una manera fácil de comprender y/o visualizar la red recíproca de una red de estado sólido de dos o tres dimensiones?

SÍ ! La red recíproca es simplemente el dual de la red original. Y la red dual tiene un algoritmo visual simple.

  1. Dada una red L , para cada celda unitaria de L encuentre el punto correspondiente al "centro de masa" de esa celda (ver más abajo).
  2. Conecte cada uno de esos "centros de masa" con sus vecinos más cercanos.
  3. La red resultante es el dual de L .

Para encontrar el centro de masa de la celda unitaria (consideramos el caso 2d, se generaliza a una dimensión arbitraria):

  1. Dibuja las bisectrices perpendiculares de los bordes que limitan la celda unitaria.
  2. Para celosías regulares, estas líneas deben cruzarse en un solo punto en el interior de la celda. Este punto es el "centro de masa" de la celda.

Realizando estos sencillos pasos, encontrará que el dual de una red cuadrada también es una red cuadrada, y que las redes triangular y hexagonal son duales entre sí. Puedes ver una buena ilustración de este hecho aquí .

Tu segunda pregunta es:

¿Cuál es el significado de la red recíproca y por qué los físicos del estado sólido expresan las cosas en términos de la red recíproca en lugar de la red del espacio real?

Como mencionaron otros, esto tiene que ver con las transformadas de Fourier. En física del estado sólido queremos entender las excitaciones (formas de onda) que tiene un determinado material, cuya estructura está dada por alguna red L , puede apoyar. Para una red, solo se permiten ciertos momentos debido a su estructura discreta. ¡Estos momentos permitidos corresponden a los vértices de la red dual! Para obtener más información, consulte la página de wikipedia o consulte los primeros capítulos de Little Kittel o Ashcroft and Mermin.

                                Cheers,

Edit: Esto para aclarar algunas dudas sobre mi respuesta que @wsc ha expresado en los comentarios.

En primer lugar, es incorrecto que los vectores reticulares recíprocos en 3D tengan dimensiones 1 / L 2 . Considere una red 3D con vectores base { a i } . La red recíproca tiene vectores base dados por

b i = 1 2 V ϵ i j k a j a k

en notación de índice, con convención de suma. Una forma más familiar de escribir esto es en notación vectorial:

b i = 2 π a j × a k a i ⋅ ( a j × a k )

dónde ( i , j , k ) son permutaciones cíclicas de ( 1 , 2 , 3 ) . Podemos ver eso

oscuro ⁡ [ b i ] = oscuro ⁡ [ a ] 2 oscuro ⁡ [ a ] 3 = 1 L

y en términos del espaciamiento de la red a , | b | ∼ 1 a . De hecho, este es un hecho básico cierto en cualquier dimensión.

También podemos entender la normalización de los vectores reticulares recíprocos por el factor a i ⋅ ( a j × a k ) siendo nada más que V - el volumen de la celda unitaria. ¿Por qué? De modo que la transformación entre los espacios vectoriales reticulares y reticulares recíprocos es invertible y se pueden utilizar los métodos del análisis de Fourier.

Para todas las celosías regulares AFAIK , las celosías "dual" y "recíproca" son idénticas. Para celosías irregulares -con defectos y desorden- esta correspondencia posiblemente se rompería.

@space_cadet: Gracias por una gran respuesta. Esto es lo que pensé que era la red recíproca, pero no estaba seguro. La mayor dificultad que tengo actualmente es tratar de aplicar este concepto al grafeno. Recuerdo mucho de este tipo de cosas de mi clase de cristalografía de rayos X de pregrado, pero la mayoría de esas celdas unitarias tienen átomos en las esquinas (a diferencia de la celda unitaria del grafeno; puedes ver de dónde viene la confusión). Todavía no entiendo por qué las celdas unitarias en el espacio recíproco tienen diferentes longitudes de borde. Veré si puedo resumir mi confusión en una pregunta y publicar un enlace en otro comentario.
Esta es una respuesta genial. Sin embargo, seguramente eso significaría para una red cúbica de lados de longitud a , el dual tiene lados de longitud 3 a 2 mientras que Kittel da es como 2 π / a sin explicar completamente por qué necesitaríamos el extra 2 π factor ("... [el 2 π factores] no son utilizados por los cristalógrafos, pero son convenientes en la física del estado sólido.") ...
Esto es totalmente incorrecto: el retículo dual y el retículo recíproco no son lo mismo. Esto lleva a la confusión de Brendan sobre las constantes de la red recíproca, que deben tener unidades de longitud inversa.
@wsc, entonces, ¿por qué no nos dice cuál es la diferencia entre las dos nociones? Para aclarar la confusión de Brendan, cada vector reticular recíproco se multiplica por un factor de 2 π / V dónde V es el volumen de cada celda unitaria. Para una red 3D, esto implica que los vectores de red recíprocos tienen dimensión 1 / a , a siendo la constante de red de la red principal. Simplemente no mencioné este hecho en la respuesta principal. No cambia nada de lo que he dicho.
en realidad en 3D eso te dejaría con unidades de [longitud] − 2 . El punto del espacio recíproco es que tenemos un espacio vectorial completo separado: todos los vectores GRAMO tal que para cualquier vector de red R , mi X pags ( i GRAMO ⋅ R ) = 1 y así puedes introducir la maquinaria de la descomposición de Fourier. La red dual del espacio real no explica, por ejemplo, la noción de zonas de Brillouin, y por qué para un sistema homogéneo pero (discretamente) infinito podemos caracterizar todo con una región finita de espacio recíproco.
También tenemos que tener cuidado con la nomenclatura. A los matemáticos les gusta llamar a las variables conjugadas "dual", y en ese sentido el retículo conjugado de Fourier es dual al retículo real... Sin embargo, nosotros, los mecánicos de inclinación estadística, usamos muy a menudo el retículo dual cuya construcción describe usted en su publicación. Este retículo dual es sumamente útil, pero no es lo mismo que el retículo conjugado de Fourier, que es lo que absolutamente todos los físicos entienden por "retículo recíproco".
Por supuesto, no estaba diciendo que las unidades deberían ser [longitud] − 2 , pero decir que multiplicas por 1/V daría esas unidades. En su edición, dejó en claro que está hablando de lo correcto en la edición . La red dual que describe en su publicación original es una construcción de espacio real (¡y una que se usa a menudo en el espacio real!) Y aunque tiene la misma topología que la red recíproca, tal construcción, como la escribió originalmente, no explica por qué las constantes reticulares recíprocas tienen unidades de longitud recíprocas, lo cual es crucial.
También me preocupa parecer agresivo y quiero asegurarles que no es mi intención. Solo estoy señalando por qué los comentarios de David y Brendan expresan una confusión sobre las longitudes de los vectores de celosía recíprocos, y que lo que tienes como una edición y una idea tardía es con lo que debería haber comenzado tu respuesta inicial. Toda la física del espacio recíproco está contenida en eso, y en las unidades que llevan los vectores de red recíproca.
Es genial @wsc. Trato de abordar la pregunta desde el punto de vista que creo que sería más fácil para el que responde entender el concepto. Eso no significa que sea el enfoque y ahí es donde las críticas como la tuya me ayudan a guiarme en la dirección correcta. ¡Salud!
Esto está mal. Por ejemplo, el espacio recíproco de una red triangular 2D es una red triangular 2D. No hexagonal.

La importancia de la red recíproca está ligada a la difracción de ondas en un cristal.

¿Cómo determinamos la estructura cristalina de algún material? Por lo general, lo hacemos bombardeando una pequeña pieza de cristal con rayos X o neutrones u otro tipo de onda de longitud de onda y propiedades apropiadas. Luego miramos el patrón de difracción. Ahora, para acortar la historia, el patrón que aparece será esencialmente un patrón en el espacio recíproco.

http://en.wikipedia.org/wiki/X-ray_crystallography

Esto es bastante breve, pero básicamente correcto. Todo tiene que ver con la idea de la difracción de Bragg. El espacio k (espacio recíproco) se vuelve obviamente útil cuando se lo considera desde esa perspectiva.

Un problema que tuve para comprender el espacio recíproco es que el origen en una celda unitaria de espacio real está en el infinito en el espacio recíproco y viceversa. ¿Cómo se podría mapear cualquier construcción real en el espacio recíproco en una celda finita que incluyera el origen?

Sin embargo, es importante recordar que tendemos a tratar con ondas en el espacio recíproco. Entonces, por ejemplo, cuando los cristalógrafos usan rayos X, difracción de neutrones, etc. para obtener un patrón en el espacio recíproco, simplemente aplicando la conversión recíproca (es decir, 2 π / a ) no obtiene las posiciones de los átomos, sino las longitudes de onda de un conjunto de ondas que denotarán las posiciones de los átomos. Una onda con número de onda cero tendrá una longitud de onda infinita (es decir, no es una onda [¿es correcto?])

Básicamente, esto dice lo que los demás han dicho acerca de que el espacio recíproco es la transformada de Fourier del espacio real: las ondas no tienen una posición que se defina tan fácilmente, ¡pero tienen una longitud de onda bien definida!

Celosías recíprocas
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v