Mantener el aire en un globo espacial gigante ligado gravitacionalmente

Parámetros de la superficie

Para calcular el tamaño de la esfera necesitamos
la ecuación del campo de gravedad:

$$\nabla\vec{g} = -4\pi G \rho \qquad (1)$$ y la versión hidrostática de la segunda ley de Newton: $$\rho \vec{g} = \nabla p \qquad (2)$$ dónde $G$es la constante de gravitación,
$\rho$es la densidad de la "cubierta",
$p$es la presión dentro de la "cubierta".

Para resolver la primera ecuación se puede utilizar el teorema de Gauss.
En coordenadas esféricas esto dará$\vec{g} = \bigl(-g(r), 0, 0\bigr)$.

La segunda ecuación dará la distribución de presión en la "cubierta". En la superficie interna es igual a la presión del gas. En la superficie externa es cero.

Estabilidad

La superficie descrita por la ecuación (2) actúa como si estuviera hecha de agua. Mi intuición dice que es inestable.

Si ponemos un pequeño trozo de la superficie exterior a la interior tendrá menos energía potencial gravitatoria. El cambio de presión será insignificante, especialmente para partículas pequeñas. Esto se conoce como inestabilidad de Rayleigh-Taylor (gracias a @mmc).

Para obtener una superficie estable necesitamos algún material sólido. En ese caso aparecen fuerzas adicionales en la ecuación (2). Luego, si aumentamos la presión del gas, la cubierta se expandirá pero no saldrá volando. Será sostenida por las fuerzas elásticas.

En este caso, sin embargo, la presión debe ser tan alta que la estabilidad del globo se base en la tensión y no en la gravedad. Así que este sería un globo habitual.

Mi respuesta será descaradamente newtoniana y física 101 en formulación. Para comenzar con las suposiciones, voy a suponer que el aire no tiene masa. ¿Hasta qué punto es esto válido? El aire tiene aproximadamente 1000 veces la densidad de otros materiales como la roca y el concreto, por lo que estamos observando aproximadamente la misma relación de volumen antes de que la masa de aire se vuelva significativa en comparación con la pared y, como verá más adelante en los cálculos, esto no sucederá. bastante ser el caso hasta que el objeto es realmente cerca del tamaño de la Tierra.

La gravedad en la superficie del globo será la siguiente.

$$g = \frac{G M }{R^2}$$

Aquí he usado la variable M para referirme a la masa total del muro. Ahora bien, este no es el campo que actúa sobre la pared debido a mis argumentos anteriores. Aquí está la parte de la que no estaba seguro: lo divido por dos. ¿Por qué? Bueno, el exterior de la pared tiene$g$actúe sobre él, pero el interior de la pared no tiene ningún campo gravitatorio (ya que desprecio el efecto del aire). Promediar eso para obtener$1/2$. ¿Cómo se traduce eso en presión? Introducir$\mu = \rho t$dónde$t$es el espesor de la pared, y usted tiene el espesor de la masa superficial en$kg/m^2$. Esto es lo que necesitamos. Multiplique eso por la gravedad y tendrá la misma ecuación que se usa en la Tierra para encontrar la altura del fluido.

$$P = \frac{1}{2} g \mu = \frac{G M}{2 R^2} \rho t$$

El punto es que ya tenemos un valor de$P=14 psi$que deseamos satisfacer. Para suposiciones sobre la densidad,$\rho$, mi enfoque favorito es asumir que está hecho de material de asteroide con$\rho=1.3 g/cm^3$. A continuación, presentaré otra ecuación fácil, que consiste en multiplicar el espesor de la masa por el área para obtener la masa.

$$M = 4 \pi \mu R^2 = 4 \pi t \rho R^2$$

Estas ecuaciones, con densidad conocida, por sí mismas pueden predecir el espesor de la cáscara en lo que llamo el "límite grande". Esto supuso que el grosor es pequeño en relación con el radio total. Entonces, para cualquier globo espacial grande hecho de material de densidad de asteroide, el grosor está dictado por:

$$t = \sqrt{ \frac{P}{2 G \pi \rho^2}} = 12.0 km$$

Como sabemos el espesor, podemos especificar el radio o la masa. Pensé que era más apropiado decir simplemente que tenemos cierta masa con la que trabajar. Tomé la masa del asteroide 87 Sylvia , que es$1.5 \times 10^{19} kg$. Conseguir el resto es fácil.

$$R = \sqrt{ \frac{M}{4 \pi t \rho}} = 277.0 km$$

Sí, esto es muy grande. Sin embargo, el diámetro sigue siendo aproximadamente la mitad del de Ceres. Y 87 Sylvia es aproximadamente el 18 más grande en masa. Tenga en cuenta que en la configuración discutida, la pared ocuparía alrededor del 6,7% del volumen total.

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Ahora voy a navegar hacia una parte diferente de la respuesta donde pregunto "¿qué pasa si el globo es bastante pequeño?" Empezaremos por definir$R$ser el radio interior de la capa, que es el límite de la región llena de aire. Para obtener una respuesta rápidamente, suponga que$R\approx 0$, esto forma el "pequeño límite". Básicamente tienes un asteroide esférico y una cantidad insignificante de aire en el centro. Integre para encontrar la altura del fluido, que será igual a 1 atmósfera.

$$P = \int_0^t g(r) \rho dr = \int_0^t G \frac{4}{3} r \rho^2 dr = \frac{2}{3} G \pi \rho^2 t^2$$

Ahora tenemos un límite definible para el objeto más pequeño que podemos hacer con material de asteroide que tiene 1 atmósfera de presión en su centro.

$$t = \sqrt{ \frac{3 P }{ 2 G \pi \rho^2 }} = 20.7 km$$

Obviamente, esto es mayor que el espesor límite grande anterior, que se debe solo a factores geométricos. Ahora, ¿cómo hacemos la transición entre el límite pequeño y los valores límite grandes? Establecimos una geometría más compleja, donde el radio interior del caparazón es$R$y el radio exterior del caparazón es$R+t$. Luché mucho con esta parte del problema, pero ahora tengo mucha confianza en esta respuesta. Para configurarlo, es apropiado decir que el campo dentro de la roca es igual al campo que tendrías si todo fuera sólido (4/3 pi G rho r), menos el campo que tendrías si el aire fuera roca . Esto está usando el principio de superposición para restar la roca en el medio que fue "recortada".

$$g(r) = g_{solid}(r) - g_{center}(r) = \frac{4}{3} \pi G \rho r + \frac{ G \rho \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \right) }{ r^2 } \\ = \frac{4}{3} G \rho \pi t \frac{ \left( 3 R^2 + 3 R t + t^2 \right) }{ \left( R + t \right)^2 }$$

$$P = \int_R^{R+t} g(r) \rho dr = \frac{2}{3} \pi \rho^2 G t^2 \frac{ 3 R+t }{ R+t}$$

Esta ecuación es fácil de resolver en términos de R, pero no tan fácil de hacer en términos de t. También puede expresarse con relativa facilidad en términos de P, M y t.

Tenía gráficos, pero se hicieron cuando las ecuaciones estaban mal, así que solo quería corregir el error matemático por ahora. Quizás añada más más adelante.