¿Cuál es una explicación intuitiva usando fuerzas para el abultamiento ecuatorial?

El abultamiento ecuatorial de un planeta es causado por la combinación de la gravedad y la fuerza centrífuga. Para mostrar esto, primero haré algunas suposiciones:

• Se supone que los planetas están formados por un líquido de densidad constante.
• Todo líquido está en reposo respecto a sí mismo, lo que significa que no existen esfuerzos cortantes dentro del líquido, ya que esto induciría un flujo.
• El abultamiento ecuatorial es pequeño, de modo que la aceleración debida a la gravedad,$\vec{a}_g$, en la superficie se puede aproximar con:$\vec{a}_g=-G\frac{M}{\|\vec{x}\|^3}\vec{x}$, dónde$G$es la constante gravitacional,$M$la masa del planeta y$\vec{x}$la posición en la superficie relativa al centro de masa del planeta.
• El planeta es simétrico al eje y gira alrededor de este eje con una velocidad angular constante.$\omega$.

Un pequeño volumen,$dV$, experimenta dos aceleraciones volumétricas, a saber, fuerzas gravitacionales y centrífugas, y normales por el líquido vecino en termias de presión. La suma de todas las aceleraciones en$dV$debe sumar cero para cumplir con la segunda suposición (la aceleración centrífuga ya explica el hecho de que el marco de referencia está girando). En cualquier punto de la superficie hay una presión constante, porque encima de ella estaría el vacío del espacio. Esto significa que el líquido vecino, también en la superficie, tiene la misma presión y, por lo tanto, no puede ejercer ninguna fuerza entre sí en el plano de la superficie. La única dirección en la que el líquido puede ejercer fuerza entre sí es en la dirección normal a la superficie. Sin embargo, la suma de todas las aceleraciones aún debe sumar cero y, por lo tanto, la suma de la aceleración gravitacional y centrífuga también debe apuntar en la dirección normal de la superficie.

La magnitud de la aceleración gravitatoria,$a_g$, se define por el supuesto tres y su dirección es siempre radial hacia adentro. La magnitud de la aceleración centrífuga,$a_c$, es igual a:

$$a_c = \omega^2 \sin\phi\ \|\vec{x}\|,$$

dónde$\phi$es igual a$\pi/2$menos la latitud; su dirección es siempre paralela al plano del ecuador y su línea de acción siempre pasa por el eje de rotación. Estas aceleraciones se ilustran en la siguiente figura.

Para la siguiente parte definiré vectores unitarios locales$\vec{e}_r$y$\vec{e}_t$, dónde$\vec{e}_r$apunta en la dirección local radial hacia afuera y$\vec{e}_t$es perpendicular a él, se encuentra en el plano que abarca el eje de rotación y$\vec{x}$y mira hacia la dirección más cercana al ecuador. La dirección de los vectores también se corresponde con los vectores grises en la figura de arriba. Usando estos vectores unitarios, la suma vectorial de la aceleración gravitacional y centrífuga se puede escribir como

$$\vec{a}_g + \vec{a}_c = \vec{e}_r \left(\omega^2 \sin^2\!\phi\ \|\vec{x}\| - G\frac{M}{\|\vec{x}\|^2}\right) + \vec{e}_t\ \omega^2 \sin\phi\ \cos\phi\ \|\vec{x}\|.$$

Si no hubiera abultamiento, el vector normal siempre debería apuntar radialmente hacia afuera. Sin embargo, el vector normal tiene que apuntar en la dirección opuesta a la ecuación anterior, lo que significa que para$\omega>0$no apuntará en la misma dirección que$-\vec{e}_r$para todos los valores de$\phi$. Esto significa que la superficie tendrá una pequeña pendiente,$\alpha$, relativo a$\vec{e}_t$

$$\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{\omega^2 \sin\phi\ \cos\phi\ \|\vec{x}\|}{G\frac{M}{\|\vec{x}\|^2} - \omega^2 \sin^2\!\phi\ \|\vec{x}\|}\right).$$

Una pendiente significa un cambio de altura, y por lo tanto de radio, al desplazarse horizontalmente. Para simplificar la expresión,$r$sustituirá$\|\vec{x}\|$. por una pendiente$\alpha$el cambio del radio,$dr$, por un pequeño cambio en$\phi$,$d\phi$, será igual a:

$$dr = \tan\alpha\ r\ d\phi.$$

Sustituyendo en la ecuación por$\alpha$se puede obtener la siguiente ecuacion diferencial

$$\frac{dr}{d\phi} = \frac{\omega^2 \sin\phi\ \cos\phi\ r^2}{G\frac{M}{r^2} - \omega^2 \sin^2\!\phi\ r} .$$

Cuando$\phi$es igual a$0$o$\frac{\pi}{2}$, los polos y el ecuador respectivamente, esta ecuación será cero, sin embargo, para cualquier valor intermedio, será positivo, ya que cuando el denominador se vuelva negativo significaría que la fuerza centrífuga será mayor que la gravedad y el líquido se lanzará en el espacio. Entonces, este planeta tendría el radio más pequeño cerca de los polos, después de lo cual el radio aumentará con$\phi$hasta llegar al ecuador.

Hay un artículo de wikipedia que describe el efecto http://en.wikipedia.org/wiki/Equatorial_bulge

Básicamente, el abultamiento es causado por la rotación de la Tierra. La fuerza centrípeta está dada por$F=m\omega^2 r$. Por lo tanto, los polos sienten una fuerza menor que el ecuador que quiere girar en un disco. Esto está equilibrado por la gravedad que quiere que la Tierra sea esférica.

Matemáticamente el aplanamiento de la Tierra es

$$f = \frac{5}{4} \frac{\omega^2r_a^3}{GM}$$ dónde $r_a$es el radio medio y $f$es la relación de los radios mayor y menor.

Si alguna vez has visto hacer una pizza a mano, sabrás que cuando el panadero lanza el disco de masa al aire, lo hace girar. Mientras lo hace, el "disco" de la pizza se hace más grande porque la masa en el exterior experimenta una fuerza centrífuga más grande (en el marco de referencia giratorio de la pizza). No comience con "no existe tal cosa", usted pidió una respuesta intuitiva).

Ahora piensa en la tierra como esa pizza. Los pedazos de tierra cerca del ecuador (a mayor distancia del eje de rotación) sienten una fuerza mayor y, por lo tanto, están tratando de moverse hacia afuera. La fuerza de la gravedad intenta tirar de él hacia atrás. El equilibrio es una esfera ligeramente distorsionada: el "bulto".

Bastante simple, espero.