¿Es posible recuperar el antiguo modelo de Bohr-Sommerfeld a partir de la descripción QM del átomo desactivando algunos parámetros?

¿Es posible recuperar el antiguo modelo de Bohr-Sommerfeld a partir de la descripción QM del átomo desactivando algunos parámetros?

¿Podemos usar el teorema de Ehrenfest (o algún otro esquema) para reducir el modelo QM al modelo Bohr-Sommerfeld? ¿Si no, porque no? El tema parece ser significativo porque podría arrojar algunos problemas conceptuales profundos.

Como también está preguntando por el modelo de Sommerfeld, una lectura interesante es LC Biedenharn ''El "rompecabezas de Sommerfeld" revisado y resuelto''

Respuestas (2)

No, el modelo de Bohr-Sommerfeld es conceptualmente un modelo de juguete clásico (que solo se ha manipulado para implicar algunas características de cuantización seleccionadas similares a la mecánica cuántica), por lo que no es equivalente a la descripción mecánica cuántica adecuada o cualquier aproximación de ella. La concordancia del modelo de Bohr-Sommerfeld con los resultados correctos de la mecánica cuántica es una coincidencia, una característica especial del átomo de hidrógeno.

El único límite en el que la mecánica cuántica se reduce a la "física de Bohr-Sommerfeld" es el límite de las largas distancias y los grandes momentos en los que Δ pag ⋅ Δ X ≫ ℏ y en el que tanto la mecánica cuántica como el modelo de Bohr-Sommerfeld se reducen a la física clásica sin ninguna restricción de cuantización similar a la de Bohr. Pero este límite claramente no es relevante para la descripción de los estados bajos del átomo de hidrógeno.

Bueno, algunas interpretaciones adecuadas de las reglas de cuantización de Bohr también surgen en la aproximación WKB semiclásica (próxima a la principal) de la mecánica cuántica. Pero hay que tener cuidado con la interpretación y los diversos cambios y sutilezas. Por ejemplo, ∫ pag d q sobre los contornos del espacio de fase es un múltiplo de 2 π ℏ . En la vieja imagen de Bohr, esta afirmación se aplicaba a las trayectorias cerradas permitidas de partículas. En mecánica cuántica, sin embargo, se aplica a los límites de las regiones del espacio de fases correspondientes a norte microestados. Las interpretaciones son ligeramente diferentes.

En QM, normalmente no hay trayectorias cerradas a medida que se propagan los paquetes de ondas localizados iniciales, y en el enfoque de Feynman, uno suma todas las trayectorias clásicas, ya sea que obedezcan las ecuaciones clásicas de movimiento y las condiciones de cuantificación de Bohr o no.

Ver también

Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno - Niveles de energía del átomo de hidrógeno

Todas las críticas a mi respuesta a continuación son completamente inválidas.

-1: Esto es incorrecto y se lo han señalado muchas veces: Bohr Sommerfeld está de acuerdo con QM en el límite de correspondencia ℏ → 0 (no es lo mismo que Δ PAG Δ X grande, pero eso es solo un error, no el verdadero error) tanto en el orden cero (como dices) como en el primer orden en ℏ como usted implica falsamente no es cierto. Deja de decir esto.
@RonMaimon y lubos, tal vez ambos tengan razón? ¿No es el modelo de Bohr-Sommerfield para QM lo que CED es para QED?
@JohnMcVirgo: No exactamente, Lubos siente que la naturaleza ad-hoc de Bohr-Sommerfeld (y tiene razón en esto) hace que no sea una teoría verdadera, pero es mejor de lo que él cree, ya que da correctamente la densidad de estados y el espaciamiento de niveles de la dinámica clásica, y esto es algo que a la gente ya no se le enseña.
No, Ron, el modelo de Bohr es simplemente un modelo clásico incorrecto, una modificación incorrecta de la física clásica que no es equivalente de ninguna manera a QM y que sirvió como una gran motivación para anticipar y buscar un marco completamente nuevo para la física desde temprano. 1910s - y la gente tuvo que esperar 15 años más. Todos los números cuánticos y degeneraciones están equivocados. Por ejemplo, QM predice norte 2 degeneración para el número principal norte o 2 norte 2 con el giro. Ninguna de estas cosas es reproducida por el viejo modelo de Bohr que realmente confunde e identifica incorrectamente norte y metro y yo , etcétera.
Por otro lado, el plano orbital en el modelo de Bohr es arbitrario y continuo. En QM adecuado, se cuantifica efectivamente porque la degeneración total es finita, incluidas las rotaciones en el espacio. Todas las cosas son simplemente falsas, el éxito del hidrógeno es una coincidencia que probablemente se deba a la simplicidad especial de los átomos más simples, y todos los acuerdos desaparecen por completo para todos los demás átomos.
@LubošMotl: Sí, lo sabemos, lo sabemos, cambié mi -1 a un +1 dado que ahora dices exactamente lo correcto. La pregunta que interpreté como "¿hay alguna aproximación a QM donde el orden líder en la cuenta hbar es exactamente correcto y el orden secundario es insignificante", o "¿cuándo es exacto WKB?" Esta pregunta que no abordaste.
Gracias por sus respuestas y comentarios. Ahora tengo una mejor comprensión, aunque he oído hablar de argumentos similares antes, pero no tan claros. Sin embargo, todavía tengo un problema que no entiendo, pero espero no estar siendo malicioso (o estúpido). Lo que realmente me molesta no es la cuantización de la energía per se, sino la equivalencia numérica. Ahora, el potencial tanto en el modelo de Bohr-Sommerfeld como en el modelo QM adecuado siguen la ley 1/r y lo relacionan con la carga, pero todavía me cuesta ver cómo llegaron a dar el mismo resultado, incluso para el nivel de energía más bajo.
Por supuesto, el uso de la ecuación de Schrödinger para el potencial clásico (1/r) en sí mismo es un poco incómodo. Sin embargo, mi pensamiento ahora es que la conexión debe hacerse de tres maneras, es decir, clásica, QM y QFT, ya que predice la ley 1/r (Zee dice que es el triunfo de la física del siglo XX, aunque no predice la carga). Entonces, supongo que estoy preguntando, la ley 1 / r que parece obligar a ambos modelos a predecir la misma energía se deriva usando QFT, pero ¿cómo se reduce a una equivalencia clásica que no sea SOLO matemática? Me pregunto si todas estas preguntas están conectadas, o no tengo ningún sentido.
Estimado QSA, el 1 / r El potencial es, al igual que el oscilador armónico, muy especial, por lo que las energías preferidas dan los mismos resultados en la física clásica cuantificada al viejo Bohr, así como en la física cuántica. Esto también se ve en la dispersión de Coulomb, etc. El valor mismo de la energía de enlace de hidrógeno es, por cierto, el producto más natural de las potencias de los parámetros, por lo que no sorprende que aparezca en varios lugares. Ninguno de esos acuerdos se generaliza más allá de la 1 / r y r 2 potenciales.

Algunas versiones de la cuantización de Bohr-Sommerfeld son exactas para los sistemas clásicamente integrables (es decir, sistemas que tienen un grupo de simetría bastante grande en el sentido de que se puede precisar) y, por lo tanto, en particular para el átomo de hidrógeno.

Sin embargo, el problema de los 3 cuerpos ya no es integrable, e incluso las versiones semiclásicas de Bohr-Sommerfeld (manteniendo las primeras correcciones no clásicas) conducen a fórmulas desordenadas, aunque implican algunas matemáticas interesantes (p. ej., la fórmula de seguimiento de Gutzwiller).

Numéricamente, el modelo de Bohr es bastante engañoso más allá del hidrógeno.

Gracias Arnold, pero mi pregunta es muy específica. Entiendo el álgebra que hace que la energía en QM sea igual a la energía del átomo de Bohr {sin giro}. Me parece una coincidencia asombrosa, ¿no crees? ¿O me estoy perdiendo algo?
Quiero decir que hay al menos tres constantes que se alinearon correctamente aritméticamente con las potencias exactas.
@QSA: La única coincidencia es el hecho de que el problema de 2 cuerpos es completamente integrable y tiene más simetrías que un sistema rotacionalmente invariante arbitrario. Pero hay muchos sistemas completamente integrables, por lo que esta coincidencia es más del tipo de que una forma plana es un cuadrado o un círculo que de un tipo más general. - Gran parte de la física es la explotación de este tipo de coincidencias para manejar sistemas más genéricos por medio de la teoría de la perturbación en torno a estos casos especiales.
Lo siento Arnold, pero espero no forzar tu paciencia. Ok, el modelo de Bohr es de 2 cuerpos, pero ¿estás considerando la ecuación de Schrödinger (para el hidrógeno) como un problema de 2 cuerpos? Quiero decir que decimos que los tres métodos de QM (matriz, Schrödinger, integral de trayectoria) son matemáticamente equivalentes, incluso decimos que la física es la misma. Pero en nuestro caso no hay aparente intuición matemática o física para reducir uno a otro. Una es una manipulación algebraica y la otra resolvemos una ecuación diferencial.
@QSA: La ecuación de Schroedinger para el hidrógeno es, de hecho, el problema cuántico de 2 cuerpos para el potencial 1/r. Esta es la razón por la que es exactamente solucionable y por la que se obtienen reglas exactas de Bohr-Sommerfeld. - En la imagen de Heisenberg, el caso clásico y el cuántico son muy similares, y la imagen de Schroedinger es equivalente a la imagen de Heisenberg, con una interpretación física casi trivial de la equivalencia. Así que no sé de qué te quejas.
Gracias, tu respuesta es más clara ahora. Pero mi problema es que tú y lubos parecen decir que la energía (=e^4m/h^2) es coincidente pero no sorprendente. Mi opinión es que parece una coincidencia pero muy sorprendente. No es como si tuviéramos un problema clásico (nunca lo fue) y luego encontramos un teorema de Ehrenfest para hacer la correspondencia. Está bien, aunque ahora puedo reflexionar mejor. Gracias a todos.
¿Es posible recuperar el antiguo modelo de Bohr-Sommerfeld a partir de la descripción QM del átomo desactivando algunos parámetros?
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