Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno - Niveles de energía del átomo de hidrógeno

El modelo de Bohr no era la teoría correcta de toda la física atómica pero describía correctamente los niveles del átomo de Hidrógeno, debido a una coincidencia matemática relacionada con este problema matemático solucionable en toda la mecánica cuántica.

Las condiciones de integralidad del modelo de Bohr se eligieron ad hoc, de modo que los niveles de energía que se ven en los espectros de absorción/emisión de hidrógeno pudieran coincidir, pero el punto de partida más justificado para derivarlos fue la condición de cuantificación de Sommerfeld-Wilson.

$$\int_0^T p_r\cdot dq_r = nh$$ donde la integral de $p\,dq$recorre un período orbital. De esta forma, es análogo a la declaración en la mecánica cuántica completa, que reemplazó el modelo de Bohr a mediados de 1920, que el espacio de fase (espacio parametrizado por las posiciones $q$y momentos $p$) se compone de celdas cuya área (o volumen) es igual a múltiplos de $h=2\pi\hbar$(o poderes de $h$, si hay muchas coordenadas). La órbita rodea un área en el espacio de fase y el área debe cuantificarse.

Por coincidencia, esto también es más o menos equivalente a la cuantización del momento angular,$L=n\hbar$. En la mecánica cuántica, se cumplen condiciones similares pero por razones ligeramente diferentes y la cuantización del momento angular también permite valores semiintegrales:$J=n\hbar/2$dónde$n$es entero según la mecánica cuántica.

Hay que separar las explicaciones del modelo de Bohr de las de la mecánica cuántica propiamente dicha; no son equivalentes porque los modelos tampoco son equivalentes. Y no tiene mucho sentido pensar en el origen de las condiciones en el modelo de Bohr porque el modelo de Bohr fundamentalmente no es la teoría correcta tal como la conocemos hoy.

En la mecánica cuántica completa, uno puede encontrar varios hechos de "cuantificación" con el cuántico proporcional a$h$o$\hbar$o$\hbar/2$. Todos ellos tienen un origen cuántico pero la explicación detallada es diferente para cada uno: la cuantización del momento angular; la celda elemental del espacio de fase; los cambios no físicos de la acción por un múltiplo de$h$.

La regla básica que justificó la cuantización del momento angular se puede derivar de la siguiente manera, a partir del principio de correspondencia. Esta derivación es heurística e inexacta, y solo se vuelve absolutamente correcta una vez que conoce la mecánica cuántica completa.

Considere un electrón que orbita alrededor de un núcleo de carga 1 (protón, deuterón o tritón) en un radio grande R con un momento angular L. El período clásico se encuentra al igualar la fuerza centrípeta a la atracción electrostática del electrón al núcleo:

$${mv^2\over R} = { e^2\over R^2}$$

Dónde${1\over 4\pi\epsilon_0}$factor se absorbe en la constante e. Encuentras la velocidad orbital v a partir de esto, así que

$$v = \sqrt{ e^2\over m R}$$

Que te dice cuánto tiempo dar la vuelta al círculo$T={2\pi R\over v}$. Entonces la frecuencia angular$\omega$de la órbita

$${2\pi\over T} = \omega = -\sqrt{e^2\over m R^3}$$

La energía cinética del electrón en órbita se encuentra directamente a partir de la fórmula centrípeta:

$${mv^2\over 2} = {e^2\over 2R}$$

La energía potencial es:

$$-{e^2\over R}$$

Entonces la energía total es la mitad de la energía potencial negativa

$$- { e^2\over 2R}$$

Clásicamente, este sistema irradiará ondas electromagnéticas que son periódicas con período T. Esto significa que la radiación saliente tiene una frecuencia$\omega$. Cuánticamente, el electrón en órbita solo puede emitir fotones con grumos discretos de energía, y esto significa que la energía solo puede cambiar en pasos de$\hbar\omega$, que es la energía de un fotón de frecuencia$\omega$.

Esto significa que si tiene una emisión de fotones consistente, las energías deben estar espaciadas en niveles de energía discretos, y el espacio entre dos niveles adyacentes en R grande es igual a la frecuencia orbital clásica:

$$\Delta E = \hbar \omega = -\hbar\sqrt{e^2\over m R^3}$$

Esta condición significa que si hay un nivel de energía en$E$, hay otro nivel de energía en$E-\Delta E$(donde terminas después de una emisión de fotones), luego otra en$E-2\Delta E$en pasos discretos.

Todo esto es un razonamiento semiclásico, y solo funciona realmente cuando el espaciado$\Delta E$es mucho menor que la energía cinética y la energía potencial. El espaciado llega a cero como la potencia 3/2 del radio, por lo que esta aproximación es válida para órbitas grandes.

También puedes calcular el espacio R entre órbitas adyacentes

$$E = -{e^2\over 2R}$$ $$dE = {e^2\over 2R^2} dR$$

Entonces, el espaciado en E se traduce en un espaciado en R (en la aproximación de que$\Delta E$y por lo tanto$\Delta R$son pequeños para que se aproximen a los diferenciales infinitesimales anteriores)

$$\Delta R = {2R^2\over e^2} \Delta E = 2 \hbar \sqrt{R\over m e^2}$$

El cambio de E y R en cada paso es complicado, pero$\hbar$tiene las mismas unidades que el momento angular, y puede calcular el cambio en el momento angular cuando realiza un solo paso:

$$L = mv R = \sqrt{e^2 m R}$$ $$dL = {1\over 2} \sqrt{e^2 m\over R} dR$$

De modo que

$$\Delta L = {1\over 2} \sqrt{e^2 m \over R} \Delta R = \hbar$$

Esto es muy simple --- el momento angular está espaciado en múltiplos enteros de$\hbar$en grandes órbitas circulares. A partir de esto, uno puede hacer la conjetura plausible de que esto es cierto para todos los números cuánticos, grandes y pequeños, y luego sigue el modelo de Bohr.

La generalización de este argumento para derivar la antigua condición cuántica es considerar el período de las órbitas clásicas y hacer que el espaciado de energía sea igual a$\hbar$veces la frecuencia orbital de un sistema general. Este requisito significa que semiclásicamente:

$$J = \int p dq = 2\pi n \hbar = n h$$

Esto se muestra en la página de Wikipedia para el principio de correspondencia . La misma cantidad J es un invariante adiabático , no cambia bajo deformaciones lentas de un sistema clásico, y la cantidad cuantificada debe tener esta propiedad, ya que una deformación lenta no tiene las altas frecuencias requeridas para hacer transiciones de estado en mecánica cuántica . Este argumento se resume en la página de wikipedia sobre los invariantes adiabáticos .