¿El espacio-tiempo es plano dentro de una capa esférica?

En una capa hueca esférica perfectamente simétrica, hay una fuerza gravitatoria neta nula según Newton, ya que en su teoría la fuerza es exactamente inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.

¿Cuál es el resultado de la teoría general de la relatividad? ¿El espacio-tiempo es plano por dentro (dado el hecho de que la órbita de Mercurio gira, no lo creo)? ¿Cómo se desplaza al rojo la señal de la cavidad a un observador en el infinito?

"Es el espacio-tiempo plano" parece una forma extraña y posiblemente engañosa de decirlo... si algo análogo al Teorema de la Capa de Newton es aplicable aquí, eso solo te dice que la curvatura neta causada por la capa es cero... incluso si ese es el caso, eso todavía no implicaría que el espacio-tiempo sea plano por dentro, ya que puede haber otros objetos en el universo, fuera del caparazón, que estén ejerciendo fuerzas y deformando esa región del espacio, ¿verdad?
El caso GR no es tan análogo al caso newtoniano como se podría pensar, ni tan importante. GR no es lineal, por lo que no puede tratar una distribución de masa esféricamente simétrica como la suma de capas concéntricas. Y hay una ambigüedad en cómo planteamos el problema. Por ejemplo, el espacio-tiempo de una capa de polvo que colapsa libremente viene dado por una solución de Oppenheimer-Snyder, mientras que el espacio-tiempo de una capa mantenida en equilibrio estático por fuerzas internas es diferente. Cosas como los desplazamientos al rojo en el infinito no están bien definidos si no es estático.

Respuestas (1)

Aquí solo responderemos las dos primeras preguntas de OP (v1). Sí, el teorema de la cáscara de Newton se generaliza a la relatividad general de la siguiente manera. El teorema de Birkhoff establece que una solución esféricamente simétrica es estática, y una capa de vacío (no necesariamente delgada) (es decir, una región sin masa/materia) corresponde a una rama radial de la solución de Schwarzschild.

(1) d s 2   =   − ( 1 − R r ) C 2 d t 2 + ( 1 − R r ) − 1 d r 2 + r 2 d Ω 2

en algún intervalo radial r ∈ yo := [ r 1 , r 2 ] . Aquí la constante R es el radio de Schwarzschild , y d Ω 2 denota la métrica del angular 2 -esfera.

Como no hay masa METRO en el centro de la región hueca interna de OP r ∈ yo := [ 0 , r 2 ] , el radio de Schwarzschild R = 2 GRAMO METRO C 2 = 0 es cero Por lo tanto, la métrica (1) en la región hueca es simplemente un espacio plano de Minkowski en coordenadas esféricas.

Buen trabajo. Suspiro. Realmente me molesta que alguien pueda escribir una buena respuesta a una buena pregunta y terminar con una puntuación de "0" incluso después de haberla seleccionado como respuesta a la pregunta. ¿La gente piensa que tiene que pagar +s de su cuenta bancaria?
¡Una respuesta simple y hermosa de hecho!
¿Sigue siendo válida esta conclusión si tenemos una constante cosmológica positiva que no se desvanece?
Sí, pero el papel del espacio de Minkowski es reemplazado por el espacio de De Sitter.
Pero Leos también preguntó sobre el corrimiento hacia el rojo de la luz de la cavidad.
Es lo mismo que el corrimiento al rojo desde la superficie.
@Q Mechanical Sustitución R = 0 En ( 1 ) no produce la dilatación del tiempo correcta dentro del caparazón. En otras palabras, esta métrica no satisface las condiciones de unión a través del caparazón. ¿Cuál es la fórmula correcta para la métrica de adentro?
@Qmechanic Aquí está la solución correcta: arxiv.org/abs/1203.4428
@safesphere: Gracias por los comentarios. De hecho, las relaciones entre los sistemas de coordenadas dentro, fuera y sobre la fina capa que cae no son triviales.
El OP preguntó "¿Cómo se desplaza al rojo la señal de la cavidad a un observador en el infinito?", Pero la respuesta no aborda esto. El documento de Zhang y Yi discute esto.
@safesphere: Sustituir R = 0 en (1) no produce la dilatación de tiempo correcta dentro del caparazón. En otras palabras, esta métrica no satisface las condiciones de unión a través del caparazón. ¿Cuál es la fórmula correcta para la métrica de adentro? No hay nada incorrecto en escribir la métrica de esta forma. El documento de Zhang simplemente señala que las coordenadas utilizadas para escribir la métrica de esta manera no se pueden conectar de forma natural y continua a las coordenadas de Schwarzschild en la región exterior.
@BenCrowell El documento aclara que " el término de tiempo discontinuo de la métrica en todos los límites interiores, es decir, los relojes se definen de manera diferente en ambos lados de un límite [...] es claramente no físico y también matemáticamente incorrecto ".
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