Lanzar una pelota en una estación espacial giratoria

Supongamos que la pelota se lanza "hacia arriba" (es decir, se ejerce una fuerza en la dirección radial) desde un punto del suelo. Desde la perspectiva de un observador inercial externo, viajará en línea recta, en la dirección del vector de velocidad en el momento en que dejó el suelo, una combinación de la velocidad tangencial de la rotación y la velocidad radial de la fuerza que disparó "hacia arriba". Esto significa que su camino será una cuerda del círculo definido por el piso de la estación, por lo que, desde la perspectiva de alguien en el piso, parecerá elevarse hasta una altura máxima y luego "caer" hacia el piso. Esta página tiene una buena ilustración:

Como se indica en la página, la pelota tiene una velocidad total mayor y una distancia más corta que recorrer que el punto del suelo desde el que se disparó, por lo que no aterrizará exactamente en el mismo punto del suelo, un efecto que en el marco giratorio de la estación se explicaría en términos de la fuerza de Coriolis , una "fuerza ficticia" dependiente de la velocidad que se ve en los marcos giratorios, junto con la fuerza centrífuga .

Esta página tiene un diagrama similar para una pelota que se deja caer desde una altura fija sobre el piso:

En el escenario extendido donde la pelota está en reposo en relación con el centro de la estación (que podría lograrse simplemente calculando la fuerza correcta que se ejerce sobre ella para que descanse en este marco), no flotará por encima de una posición constante en el suelo, ya que el observador inercial ve que el suelo gira junto a él. Entonces, desde a bordo de la estación, parece estar volando de lado con respecto al suelo, manteniendo una altura constante, como si estuviera en una "órbita". Nuevamente, su falla en caer hacia abajo puede explicarse en el marco giratorio en términos de la fuerza ficticia de Coriolis.

Para las ecuaciones reales, primero defina$\omega$ser la velocidad angular de rotación de la estación, como se ve en el marco inercial donde el centro de la estación está en reposo (si$T$es el período de tiempo para una rotación completa, entonces$\omega = 2\pi / T$). Luego, en el marco giratorio donde cada punto en la superficie de la estación está en reposo, la fuerza centrífuga sobre un objeto de masa$m$en un radio$r$desde el centro tendrá una magnitud dada por$mr\omega^2$, y la dirección del vector de fuerza centrífuga siempre apunta radialmente hacia afuera desde el centro. La fuerza de Coriolis sobre un objeto con masa$m$y velocidad$\vec{v}$en el sistema de coordenadas rotatorio viene dado por$-2m (\vec{\Omega} \times \vec{v})$, dónde$\vec{\Omega}$es un vector de rotación cuya magnitud es igual a$\omega$y cuya dirección es paralela al eje de rotación de la estación (hacia qué extremo del cilindro apunta este vector está determinado por la regla de la mano derecha , vea el diagrama aquí ). Y si no está familiarizado con las operaciones vectoriales, el$\times$símbolo en$(\vec{\Omega} \times \vec{v})$está destinado a denotar el producto vectorial de los dos vectores, lo que da un nuevo vector con magnitud$\omega v \sin (\theta)$(dónde$\omega$es la magnitud de$\vec{\Omega}$es decir, la velocidad angular,$v$es la magnitud de$\vec{v}$es decir, la velocidad y$\theta$es el ángulo entre los dos vectores$\vec{\Omega}$y$\vec{v}$), y la dirección dada por la regla de la mano derecha (ver este diagrama de la página wiki para la regla de la mano derecha, o el diagrama aquí con una orientación diferente de la mano que da el mismo resultado). Tenga en cuenta que debido al signo negativo en la ecuación de la fuerza de Coriolis, la fuerza de Coriolis apunta en la dirección opuesta a$(\vec{\Omega} \times \vec{v})$.

Si resuelve esto, verá que si un objeto tiene un vector de velocidad que es tangente a un círculo alrededor del eje de rotación (como una sección transversal circular de la superficie interna de la estación), y en la dirección opuesta a la rotación de la estación (entonces si la estación gira en el sentido de las agujas del reloj, el vector de velocidad del objeto debe apuntar en sentido contrario a las agujas del reloj), entonces el vector de fuerza de Coriolis apuntará radialmente hacia adentro, opuesto al vector de fuerza centrífuga que apunta radialmente hacia afuera. La magnitud de la fuerza de Coriolis en este caso será$2m\omega v$, y dado que la magnitud del vector de fuerza centrífuga es$mr\omega^2$, esto significa que si$v = r\omega$la fuerza de Coriolis será$2mr\omega^2$, el doble de la centrífuga, por lo que su suma será una fuerza$mr\omega^2$apuntando hacia el centro. Y da la casualidad de que la condición para una órbita circular es que si el objeto en órbita tiene un radio$r$y una velocidad puramente tangencial$v$, debe experimentar una fuerza interna de$mv^2 /r$; en este ejemplo, dado que el objeto tiene velocidad tangencial$v = r\omega$la fuerza hacia adentro requerida es$m (r\omega)^2 /r = mr\omega^2$, que es exactamente lo que encontramos para la suma de las fuerzas centrífuga y de Coriolis. Por lo tanto, se pronostica que un objeto con esta velocidad en el marco giratorio orbitará a un radio constante, y nunca "caerá" más cerca del piso de la estación. Y el período para esta órbita será$T = 2\pi r / v = 2\pi r / (r\omega) = 2\pi / \omega$, que es exactamente el mismo que el período de rotación de la estación como se ve en el marco de reposo inercial de la estación. Entonces, esto significa que el objeto que está "orbitando" de esta manera, como se ve en el marco giratorio, simplemente está en reposo en el marco de reposo inercial de la estación, tal como en su escenario extendido.

Observaciones generales.

Esencialmente, todas sus confusiones parecen provenir de una mezcla errónea de observaciones en diferentes marcos de referencia. En particular, debe tener cuidado de no confundir las observaciones de un observador que gira en la nave espacial con las observaciones de un observador inercial que no gira con la nave espacial.

Para un observador inercial, la pelota se moverá a lo largo de una línea recta a velocidad constante una vez que se haya soltado, pero para un observador que gira con la nave espacial, la trayectoria de la pelota generalmente no parecerá recta.

Un ejemplo sencillo para poner a prueba tu intuición.

Un caso concreto, sencillo, de datos iniciales que deja esto meridianamente claro es el siguiente: supongamos que alguien en el borde de la nave espacial girando con la nave espacial lanza una pelota tangente al borde de la nave y en el plano perpendicular a su rotación. Supongamos, además, que se lanza en sentido contrario al de rotación con una velocidad exactamente igual a la del borde del barco visto desde dentro. En este caso, desde el punto de vista de un observador inercial en el exterior, la velocidad inicial de la pelota será cero porque la velocidad del barco y la velocidad de la pelota se cancelan en el momento inicial. Sin embargo, observe que la nave girará debajo de la bola desde la perspectiva del observador inercial. Esto implica que desde el punto de vista del lanzador que gira con el barco,

En otras palabras, una pelota que se encuentra en un punto del borde vista por un observador inercial parece viajar a lo largo de un arco circular de acuerdo con un observador giratorio.

Otra forma de pensar sobre esto es que solo el observador inercial no observa fuerzas en la pelota. Un observador que gira con la nave observará fuerzas sobre la pelota, a pesar de la ausencia de interacciones físicas entre la pelota y otros objetos. Estas fuerzas no son reales en ese sentido, pero ciertamente se ven y se sienten tan reales como las fuerzas debidas a las interacciones si eres una persona que gira con el barco y observa una pelota que ha sido lanzada.

Detalle matemático a través de un problema interesante.

Las matemáticas de todo esto presente en el siguiente problema:

http://www.phermi.com/space-station-catch

y su solución detallada

http://www.phermi.com/space-station-catch-solution

Mira también las imágenes al final que comparan las trayectorias de una pelota en los marcos inercial y no inercial.

Tengo muchos problemas para comprender el movimiento circular, las fuerzas ficticias y cómo determinar si un marco de referencia es intertial.

¿Qué es un marco de referencia? Hay algunas definiciones formales. Pero, elijamos uno intuitivo para impulsar la comprensión:

1. Definición: Una partícula aislada es una partícula donde la distancia de la partícula más cercana está infinitamente lejos. Por lo tanto, una partícula aislada no experimentará interacción con otras partículas y, por lo tanto, no experimentará fuerza.
2. Definición: Un marco de referencia inercial es un marco de referencia en el que una partícula aislada se encuentra con una velocidad constante$v$.

Una vez que la pelota deja tu mano, no hay fuerzas que actúen sobre ella (suponga que la resistencia del aire es despreciable). Ingenuamente, pensaría que la pelota continúa viajando a velocidad constante, pero esta conclusión probablemente sea incorrecta.

Si estás en un marco de referencia, observando tu estación espacial, cuando alguien lanza una pelota, la segunda ley de Newton dice:$\mathbf F = \mathbf{\dot p}$. Lo que significa que, si no hay fuerza sobre la pelota, el momento lineal$\mathbf p = m\mathbf v$conservará. Por lo tanto, la pelota viajará a una velocidad constante con respecto a un marco de referencia inercial. Sin embargo, para aquellos en la estación, donde su marco de referencia no es inercial, verán que la bola se curva en su trayectoria, pareciendo que tiene una fuerza.

Para extender el escenario, imagina que colocamos la pelota en el espacio y construimos la nave espacial alrededor de la pelota, luego comenzamos a rotar la nave espacial. Todos los que se encuentren en la nave espacial sentirían 1 g ejercido sobre sus pies, por lo que la simulación de gravedad parecería estar funcionando bien. Pero luego ven la pelota flotando sobre sus cabezas, sin que actúen fuerzas sobre ella, y se preguntan por qué la simulación no se aplica a la pelota.

La pelota en este caso es un marco de referencia inercial. Si haces esto, la pelota no caerá. Porque tu análisis es correcto, porque eres un marco de referencia inercial. La rotación de personas en la estación en este caso, no lo es. En su marco de referencia, verán la bola girando la estación mientras no se mueven. Lo que significa que, en este caso, la pelota está acelerando, mientras que ellos no se están moviendo. Dado que esta fuerza en realidad no existe (porque las personas no son un marco de referencia de inercia válido), se denominan fuerzas de inercia. Si en un ejemplo particular la pelota está exactamente en el eje de rotación de la estación, verán que la pelota no se mueve, mientras que ellos no se mueven. Pero, la pelota tampoco caerá, porque en su marco de referencia, la "gravedad" depende del radio$r$del centro a la superficie. Y como la pelota está exactamente en el eje,$r=0$y sin gravedad para la pelota en este marco no inercial.

Solo para que conste, en el marco de referencia no inercial de las personas en la estación espacial giratoria, la aceleración no inercial responsable de la "gravedad" es:

Dónde$\omega$es la velocidad angular de la estación, y$r$la distancia de una persona al eje central.

Exploremos el marco de referencia no inercial, de las personas en la estación, en ambos escenarios. Todas las fuerzas no inerciales son las siguientes:

Dónde$\mathbf g$es la aceleración de la gravedad centrífuga, y$\mathbf a_c$es la aceleración de coriolis,$v$es la velocidad de la pelota en esta referencia no inercial. Esos son vectores. el producto cruz $\times$entre los vectores devuelve un vector perpendicular a ambos simultáneamente. Por lo tanto, en una bola que no se mueve con respecto al marco de referencia inercial, las aceleraciones no inerciales totales son:

La dirección es radial, apuntando al eje central. Por lo tanto, podemos ver que la gravedad centrífuga te empuja hacia afuera y la de Coriolis hacia adentro. Si la pelota está en el eje central:$r = 0$y$v = 0$, sin aceleración, estará allí. Si la bola no está en el eje central:$a_t = 2\omega v - \omega^2 r$, ya que este caso Coriolis será más grande, actuará como una "fuerza centrípeta" impidiendo que llegue al suelo, y manteniendo su movimiento circular.

Grant Hutchison de Cosmoquest Forums tiene algunos diagramas realmente útiles , aunque lamentablemente no puedo reproducirlos aquí. Él dice:

En primer lugar, si mira hacia el giro, las trayectorias de los objetos lanzados se doblan hacia el suelo del hábitat. Aquí hay una selección de trayectorias para proyectiles lanzados horizontalmente: [Diagrama]

Si te enfrentas a antispinward, las cosas son más interesantes: [Diagrama] Las trayectorias son levantadas por Coriolis y comienzan a curvarse alrededor del hábitat. Una velocidad de lanzamiento igual en magnitud pero opuesta en dirección a la velocidad de rotación del hábitat, en principio, enviará un proyectil alrededor del hábitat a la misma altura sobre el suelo, sin fin; en la práctica, por supuesto, disminuiría la velocidad y caería debido a la resistencia del aire. .

Si lanzas un objeto hacia arriba y quieres que regrese a tu mano, debes lanzarlo un poco en sentido antigiro, produciendo una variedad de trayectorias con diferentes velocidades de lanzamiento: [Diagrama]

Si lanzas hacia arriba y en dirección contraria al giro, puedes producir una variedad de trayectorias interesantes simplemente variando el ángulo de lanzamiento pero manteniendo la misma velocidad de lanzamiento: [Diagrama]

Al principio, retienes el bucle en el vértice de la trayectoria, pero luego alcanzas una combinación crítica de velocidad y ángulo en la que desaparece el bucle, lo que le da a la trayectoria un punto afilado en el que el objeto lanzado se queda momentáneamente estacionario en el marco giratorio.

Si desea que un objeto golpee el suelo directamente debajo del punto de lanzamiento, debe lanzarlo hacia el giro en lugar de dejarlo caer. Las trayectorias toman bucles más anchos cuanto más cerca está del eje del hábitat: [Diagrama]

Si desea que un objeto lanzado verticalmente aterrice por debajo de su punto de lanzamiento, solo hay una velocidad que puede lograrlo para una posición radial determinada dentro del hábitat; si es demasiado lento, aterrizará en sentido antigiro; si es demasiado rápido, aterrizará en sentido de giro. Una vez más, las trayectorias se vuelven más anchas cuanto más se acerca al centro del hábitat desde el que se lanza: [Diagrama]