¿Cómo evaden los radiadores isotrópicos coherentes el teorema de la bola peluda?

La solución propuesta por Matzner y descrita en la otra respuesta es solo aproximada, no exacta. El problema es cuánto de una solución aproximada es realmente.

La idea original en Int. J. Antena. Propagación 2012 , 187123 (2012) fue obtener un campo con una intensidad de campo esféricamente simétrica en la región asintótica de campo lejano. Una vez que se conoce tal solución, en principio es posible encontrar una distribución de corriente finita que produzca el mismo campo, y de hecho se calculó una distribución correspondiente en una capa esférica.

La solución de campo lejano propuesta tiene una forma separable simple y se lee

$$\vec{E}(\vec{x}, t) = \left(-i\omega\frac{\mu_0 k}{4\pi} e^{i\omega t} \right) \frac{e^{-ikr}}{kr} \vec{A}(\theta, \phi) = C(t) \vec{E}_0(r, \theta, \phi)$$ con $$\vec{E}_0(r, \theta, \phi) = f(kr) \vec{A}(\theta, \phi)$$ y $$\begin{align} A_x(\theta, \phi) & = \exp\left(-i\frac{\pi}{4}\cos\theta\right)\;,\;\;\; A_y = 0\\ A_z(\theta, \phi) & = i\;\frac{\cos\phi}{\sin\theta} \left[ \exp\left(i\frac{\pi}{4}\cos\theta\right) - i \cos\theta \exp\left(-i\frac{\pi}{4}\cos\theta\right) \right] \end{align}$$ Pero no es difícil ver que es sólo una solución de primer orden en $1/r$ y solo para $k\ll1$.

1. Se afirma que la intensidad del campo es esféricamente simétrica porque la magnitud de la componente tangencial de$\vec{A}(\theta, \phi)$es de hecho esféricamente simétrico, como se señaló en la otra respuesta.

   Pero para las componentes cartesianas dadas, la componente radial$A_r(\theta, \phi)$no es nula, y no es esféricamente simétrica. se lee de hecho

   $$\begin{align} A_r(\theta, \phi) & = A_x \sin\theta \cos\phi + A_y \sin\theta\sin\phi + A_z \cos\theta \\ & = \frac{\cos\phi}{\sin\theta}\left[ \exp\left(-i\frac{\pi}{4}\cos\theta\right) + i\cos\theta \exp\left(i\frac{\pi}{4}\cos\theta\right)\right] \\ & \neq 0 \end{align}$$ Nota : En el artículo subsiguiente sobre Radiadores isotrópicos , la componente radial de$\vec{E}\;$se establece explícitamente en 0, y la intensidad se calcula nuevamente utilizando los componentes transversales.

2. El problema más apremiante tiene que ver con la forma del factor radial. Ya que$f(kr) = \exp(-ikr)/kr$es en sí misma una solución esféricamente simétrica de la ecuación de Helmholtz

   $$\left(\Delta + k^2 \right)f(kr) = 0$$ las contribuciones no triviales de$\vec{A}(\theta, \phi)$debe satisfacer $$\frac{f(kr)}{r^2} \;{\hat L}^2 \left( A_x(\theta, \phi) \right) = 0\\\frac{f(kr)}{r^2} \;{\hat L}^2 \left( A_z(\theta, \phi) \right) = 0$$ dónde${\hat L}^2$no es otro que el operador del momento angular cuadrado.

   Si se lee literalmente, esta es una ecuación de valores propios de${\hat L}^2$para un valor propio nulo, con la única solución exacta$\sim Y_0^0(\theta, \phi) = const$. Así que cualquier $A_x(\theta, \phi)$ y $A_z(\theta, \phi)$ pueden ser soluciones aproximadas siempre que la presencia de la$1/r^2$factor hace que su contribución sea menor que algunos límites de tolerancia acordados.

3. Lo mismo ocurre con la condición de transversalidad$\nabla \cdot \vec{E} = 0$, que en coordenadas esféricas se lee

   $$\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \;E_r \right) + \frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\theta} \left( \sin\theta \;E_\theta \right) + \frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \phi} E_\phi = 0$$ Para la solución particular buscada aquí se convierte, después de una ligera reorganización, en $$k \times \Big\{ \frac{1}{(kr)^2} \frac{\partial}{\partial (kr)} \left[ (kr)^2 f(kr) \right] A_r(\theta, \phi) + \frac{f(kr)}{(kr)\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ \sin\theta \;A_\theta(\theta, \phi) \right] + \\ + \frac{f(kr)}{(kr)\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \phi} A_\phi(\theta, \phi) \Big \} = 0$$ El término radial entonces da $$\frac{1}{(kr)^2} \frac{\partial}{\partial (kr)} \left[ (kr)\; \exp\left(-i\; kr\right) \right] = \frac{f(kr)}{kr} - if(kr)\;,$$ e ignorando un factor de$\exp(-ikr)/\sin\theta\;$, $$-\frac{ik}{(kr)}\; A_r(\theta, \phi) \sin\theta + \frac{k}{(kr)^2} \Big\{ A_r(\theta, \phi) + \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ \sin\theta \;A_\theta(\theta, \phi) \right] + \frac{\partial}{\partial \phi} A_\phi(\theta, \phi) \Big\} = 0$$ Para que esto se cumpla exactamente, tanto el primer término inicial como el que está entre llaves grandes deben desaparecer por separado (corresponder a diferentes potencias o$(kr)$). Pero como esto no sucede para la solución en cuestión, debemos concluir que la transversalidad solo se cumple aproximadamente en el límite$kr\gg1$y/o$k \rightarrow 0$.

Entonces, ¿qué se puede hacer con respecto a la solución monocromática exacta deseada con una intensidad esféricamente simétrica?

La existencia de tales soluciones cuando la polarización del campo es elíptica y varía de un punto a otro no es una idea tan nueva, consulte este artículo de IEEE Transactions on Antennas and Propagation , noviembre de 1969, 209 ( eprint ). Sin embargo, encontrar una solución exacta sigue siendo una tarea complicada.

Formalmente, equivale a resolver el campo eléctrico como una solución sin divergencia de una ecuación de Helmholtz,

$$\left(\Delta + k^2 \right) \vec{E} = 0 \;, \;\;\; \nabla \cdot \vec{E} =0$$ bajo el requisito adicional de que la intensidad de campo $\vec{E}^2$ser esféricamente simétrica.

Una estrategia estándar es considerar una expansión multipolar con factores radiales escalares dados por funciones esféricas de Bessel y factores direccionales vectoriales como superposiciones lineales de armónicos esféricos. Pero luego, al imponer la condición de intensidad esférica, aparece un nido de avispas de coeficientes de Clebsch-Gordon. O, potencialmente, algún argumento irrep muy bueno.

¿Alguien está a la altura?

Los campos que probablemente satisfagan esos requisitos se dan en

H. Matzner y E. Levine. ¿Pueden los radiadores ser realmente isotrópicos? En t. J. Antena. Propagación 2012 , 187123 (2012) .

El reclamo es:

$$\mathbf{E} = \frac{i\omega \mu_0}{4 \pi r} e^{i(kr-\omega t)}\mathbf{A}(\theta,\phi)$$

dónde$\mathbf{A}(\theta,\phi)$tiene componentes altitudinales y azimutales

$$A_\theta(\theta,\phi) = i \cos(\phi) e^{-i\frac{\pi}{4} \cos \theta}$$ y $$A_\phi(\theta,\phi) = - \sin (\phi) e^{+i\frac{\pi}{4} \cos \theta}$$ respectivamente. Las condiciones (i) y (iii) de la pregunta son claras (y basándose en $|A_\theta|^2 + |A_\phi|^2)$, aún debemos comprobar (ii)). Comprobaré más adelante si realmente se cumple la ecuación de onda.

¿Cómo evaden los radiadores isotrópicos coherentes el teorema de la bola peluda?

Al tener una topología toroidal.

El concepto de una onda electromagnética esférica es una buena ficción.

No es una ficción.

que a veces se invoca en los libros de texto de introducción a la óptica, pero se topa con un problema topológico profundo en la forma del teorema de la bola peluda de Brouwer ...

No, no lo hace.

o, en otras palabras, "no se puede peinar una esfera peluda".

Pero puedes peinar un toroide peludo de tal manera que no tenga mechón: "Una rosquilla peluda (2-toroide), por otro lado, es bastante fácil de peinar".

^{Imagen de dominio público de The Evil Midnight Uploader, ver Wikipedia .}

En cuanto al electromagnetismo, esto significa que una onda esférica polarizada linealmente no puede ser isotrópica, porque la ley de Gauss requiere que el componente de radiación sea transversal, y el teorema de la bola peluda requiere que tenga ceros en su distribución de intensidad angular.

Las ondas electromagnéticas están compuestas de fotones de todos modos. Esos fotones permanecen coherentes. No hay fotones que radien hacia el exterior en forma esférica completa. Entonces, lo que estás preguntando es hipotético de todos modos. Sin embargo, dado el escenario, el toro soluciona el problema que plantea.

El argumento habitual con, por ejemplo, estrellas y similares es que la radiación que emiten no es coherente, lo que elude esta limitación. Sin embargo, una respuesta reciente señaló que si relaja el requisito de que la polarización sea uniforme, es posible tener ondas esféricas coherentes con una distribución de intensidad isotrópica al permitirles tomar polarizaciones elípticas o circulares en algunas direcciones, y eso es muy interesante en por derecho propio. Sin embargo, este no es un punto que se haga muy a menudo, por lo que me gustaría ver formas explícitas de cómo se puede hacer esto.

Usted "infla" su toroide. Cuanto más lo inflas, más esférico se vuelve. Vea las animaciones toroidales de Adrian Rossiter . O dibuja dos círculos adyacentes para representar una sección transversal a través del toro, luego, usando los mismos centros, dibuja círculos cada vez más grandes. En el límite tus dos círculos son congruentes:

Más específicamente, me gustaría ver soluciones exactas explícitas de las ecuaciones de Maxwell del vacío en el espacio completo menos una esfera, es decir$\{\mathbf r\in\mathbb R^3:\|\mathbf r\|>a\}$, que son (i) monocromáticas, (ii) ondas esféricas salientes y (iii) tienen una intensidad constante sobre cada esfera centrada en el origen.

Estás pidiendo demasiado. Particularmente cuando se trata del punto iii. No hay partículas puntuales.

Si hay una descomposición explícita de esta onda en, por ejemplo, una suma de dos polarizaciones lineales ortogonales con diferentes distribuciones de intensidad, también sería bueno verlo.

Trabaja al revés.

Creo que las referencias en la respuesta anterior, incluida esta , se pueden trabajar en esa forma con cierta facilidad, pero no estoy particularmente preocupado por la existencia de implementaciones fáciles con antenas de cable recto o algo así. Valoraría más soluciones. que son exactas en todas partes sobre soluciones que tienen las propiedades deseadas en un sentido asintótico. Dicho esto, si hay una distribución actual en la esfera misma que dará exactamente las soluciones deseadas (en el sentido de esta respuesta ), entonces eso es ciertamente interesante.

Creo que es más interesante de lo que crees.