¿Cómo expresó Kirchhoff su ley de voltaje (KVL)?

La Ley de Voltaje de Kirchhoff aparece en su artículo de 1845 "Ueber den Durchgang eines electrischen stromes etc."

2. wenn die Draehte$1,2,...\nu$eine geschlossene Figur bilden, $$I_1\omega_1 + I_2\omega_2+ ... +I_{\nu}\omega_{\nu}$$ = der Summe alle elektromotorischen Kraefte die sich auf Wege:

Que traduzco como:

2. cuando los cables$1,2,...n$formar una figura cerrada, $$I_1R_1 + I_2R_2 + ... I_nR_n$$ = la suma de todas las fuerzas electromotrices que están en el camino:

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Editar:

La pregunta original dice que

A veces se afirma que la Ley de voltaje de Kirchhoff (KVL) es equivalente a la declaración de que un campo eléctrico dado es conservativo.

Sredni Vashtar, en una larga respuesta, defiende exactamente esa afirmación de equivalencia. SV afirma eso.

en notación moderna, la forma original de KVL también se puede escribir como:

$$\oint_{\Gamma}\vec{E}\cdot d\ell = 0$$

SV apoya su caso citando textos como el segundo volumen de Berkeley Physics: Electricity and Magnetism 3rd edition de Purcell y Morin, y Ramo Whinney VanDuzer, "Fields and Waves for Communication Electronics" 3rd edition, p. 179. Hay muchos otros textos que SV podría haber citado también.

Todas las partes están de acuerdo en que esta versión refundida de la ley de voltaje de Kirchhoff es físicamente inexacta en presencia de un campo magnético variable en el tiempo. Pero creo que el texto de la formulación de Kirchhoff deja en claro que la versión moderna es una refundición , y no simplemente la formulación original de KVL por Kirchhoff.

Por lo tanto, nos corresponde examinar si esta refundición es o no fiel al original, o si introduce alguna innovación que no puede atribuirse propiamente al original. En particular, necesitamos examinar de qué manera podemos reformular los términos$I_CR_C$y$\mathscr{E}_C$, donde el último término es la fuerza electromotriz a lo largo del camino$C$

SV reorganiza la ecuación de Kirchhoff en la forma:

(R1 I1 - fem1) + (R2 I2 - fem2) + ... + (Rn In - fem) = 0

lo cual es completamente justificable. Sin embargo, luego procede a afirmar que

En el siglo XXI reconocemos que cada término entre paréntesis representa la integral de trayectoria del campo eléctrico total a lo largo de cada uno de los segmentos 1, 2,... n, en los que se ha dividido la trayectoria cerrada (el bucle). Por lo tanto, en términos modernos, la formulación original de KVL dice

Suma de la integral de trayectoria de Etot.dl a lo largo de las ramas de nuestra figura cerrada = 0

Aunque esto está de acuerdo con los textos modernos, uno debe preguntarse si hay alguna justificación para reformular de esta manera.

No tengo problemas con la refundición.$I_CR_C$en forma de$\int_C\vec{E}\cdot d\ell$término. De hecho, creo que tal refundición es una mejora con respecto a Kirchhoff. Elimina la dependencia de KVL en su formulación original de la ley de Ohm.

Sin embargo, la refundición de$\mathscr{E}$en forma de$\int_C\vec{E}\cdot d\ell$término es objetable.

La ley de Gauss nos dice que un campo eléctrico tiene una divergencia distinta de cero solo en presencia de una densidad de carga neta distinta de cero. Por tanto, es razonable tomar la FEM producida por un campo magnético variable en el tiempo a lo largo de alguna curva, no como el campo eléctrico total , sino como la componente rotacional o solenoidal del campo eléctrico. [Consulte la descomposición de Helmholz para comprender que un campo vectorial 3D se puede descomponer en un componente rotacional/solenoidal/libre de divergencia y un componente irrotacional/conservador/libre de rotaciones]. Es decir,

$$\mathscr{E}_{induced} = \int_C\vec{E}_{rotational} \cdot d\ell$$

Tenga en cuenta que para bucles cerrados

$$\mathscr{E}_{induced} = \oint_C\vec{E}_{rotational} \cdot d\ell = \oint_C\vec{E}_{total} \cdot d\ell$$

pero lo anterior no aplica para caminos abiertos .

Aunque el cambio en el subíndice parece menor, significa la diferencia entre una ley que es correcta en general y una ley que es correcta solo en ausencia de campos magnéticos variables en el tiempo.

[Es fácil ver que si$\mathscr{E}_{induced}$se reformula como$\mathscr{E}_{induced} = \int_C\vec{E}_{rotational} \cdot d\ell$en vez de$\mathscr{E}_{induced} = \int_C\vec{E}_{total} \cdot d\ell$entonces el KVL resultante es correcto, incluso en presencia de campos magnéticos variables en el tiempo.$\vec{E}_{total} = \vec{E}_{rotational} + \vec{E}_{irrotational}$. Entonces, si uno resta$\vec{E}_{total}$de$\vec{E}_{rotational}$uno se queda con un campo vectorial irrotacional, es decir, conservativo, y por lo tanto la suma de cualquier integral de contorno en lazo cerrado de este último campo siempre será 0.]

¿Hay alguna justificación para volver a emitir KVL en una forma que no esté rota, cuando podría haberse vuelto a emitir en una forma que no esté rota? ¿Hay alguna evidencia de que la forma rota sea más fiel a Kirchhoff que la forma ininterrumpida?

SV argumenta que Kirchhoff no basó su formulación de KVL en experimentos que emplearon la inducción de EMF a través de un campo magnético variable en el tiempo. La implicación no declarada parece ser que Kirchhoff quizás ignoraba esta fuente de EMF. Quizás una implicación no declarada más atroz es que, al desconocer esta fuente de EMF, la refundición más fiel de KVL es la que está rota.

No tengo evidencia disponible de que Kirchhoff estuviera al tanto de la inducción de EMF a través de un campo magnético variable en el tiempo en 1845. Sin embargo, Maxwell escribió en "Un tratado sobre electricidad y magnetismo" Volumen 2, 1873, capítulo XVIII p358, sección 759, eso

Kirchhoff* hizo la primera determinación de la resistencia de un alambre en medida electromagnética. Empleó dos bobinas...

• 'Bestimmung der Constanten von Welchar die Intensitat inducirter elektrischer Stromme abhungt' Pogg. Ana. lxxvi (abril de 1849)

incluyendo una ilustración del aparato de Kirchhoff:

Entonces, sabemos que a más tardar 4 años después de publicar KVL, Kirchhoff no solo estaba al tanto de la inducción de Faraday, sino que la empleó activamente en sus experimentos.

Si suponemos, como parece suponer SV, que Kirchhoff no se enteró de la inducción de Faraday en la Universidad de Konigsberg, entonces seguramente habría sido una gran sorpresa para él, no más de 4 años después. Si no consideró los campos electromagnéticos inducidos al formular KVL, ¿no sería sorprendente que no reconsiderara o modificara KVL al enterarse de su existencia?

Un comentario final con respecto a la respuesta de SV.

Estoy de acuerdo con Sredni Vashtar en que la ley de voltaje de Kirchhoff y la ley de inducción de Faraday son diferentes. KVL no dice nada sobre el origen de los campos electromagnéticos, la ley de inducción de Faraday sí. KVL expresa la relación entre los campos electromagnéticos y las caídas de voltaje resistivo en cualquier bucle arbitrario en cualquier circuito arbitrario, pero Faraday no lo hace. Entonces, todos podemos estar de acuerdo en que la ley de voltaje de Kirchhoff y la ley de inducción de Faraday son diferentes. Donde no estoy de acuerdo es con la afirmación de SV de que la ley de Faraday (en su forma original) es una extensión de KVL (en su forma original).

Editar:

En otra respuesta de intercambio de pila, SV llama al campo eléctrico inducido por un campo magnético variable en el tiempo$E_{ind}$y utiliza la siguiente fórmula y título:

voltaje = voltaje inducido + diferencia de potencial escalar

De lo cual se puede inferir con seguridad que

$$\mathscr{E}_{ind} = \int_{\gamma_{A\rightarrow B}} \vec{E}_{ind} \cdot d\vec{\ell}$$

(o posiblemente el negativo de eso).

SV$\vec{E}_{ind}$es igual a mi$\vec{E}_{rotational}$, es decir, la componente rotacional o solenoidal del campo eléctrico total.

Entonces, por derecho, SV debería usar

$$\mathscr{E}_{ind} = \int_{\gamma_{A\rightarrow B}} \vec{E}_{ind} \cdot d\vec{\ell}$$

para la EMF inducida magnéticamente al refundir KVL. Es decir, debe reconocer que su afirmación de que

En el siglo XXI reconocemos que cada término entre paréntesis representa la integral de trayectoria del campo eléctrico total a lo largo de cada uno de los segmentos 1, 2,... n, en los que se ha dividido la trayectoria cerrada (el bucle). Por lo tanto, en términos modernos, la formulación original de KVL dice [énfasis añadido]

Suma de la integral de trayectoria de Etot.dl a lo largo de las ramas de nuestra figura cerrada = 0

Está Mal. La formulación original utiliza el término específico "emf", en lugar de "voltaje", y según el propio relato de SV, la "emf" inducida a lo largo de una rama de un circuito por un campo magnético variable en el tiempo no es la integral de trayectoria de Etot.dl , pero la integral de trayectoria de Eind.dl

Podemos leer el artículo original que Kirchhoff publicó en Annalen der Physik und Chemie 1845, Band LXIV con el título " Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene ins besondere durch eine kreisformige " (" Sobre el paso de una corriente eléctrica a través de un plano , a través de una forma circular en particular ")

fuente: Annalen der Physik und Chemie LXIV 1945 - p. 497

Desafortunadamente, no pude encontrar las imágenes a las que se hace referencia en el documento, pero creo que la información en el texto solo se puede usar para inferir los siguientes dos puntos:

1. Kirchhoff formuló sus leyes sobre la base de experimentos que utilizaban formas de fuerza electromotriz localizadas y no inductivas.
2. La ley de voltaje de Kirchhoff, tal como se formuló originalmente, es fundamentalmente diferente de la ley de Faraday. En particular, la FEM inductiva debida a un flujo magnético cambiante vinculado por el bucle no podría aparecer entre los 'electromotorischen Krafte' a lo largo del camino ('auf dem Wege') según lo considerado por Kirchhoff.

Sobre las fuentes de fuerza electromotriz consideradas por Kirchhoff

Desde el principio, Kirchhoff menciona una corriente galvánica constante que fluye a través de un disco metálico, entrando y saliendo de él por medio de cables:

" Leitet man einen constanten galvanischen Strom durch eine Metallscheibe , so wird sich die Elektricität in die ser auf eine bestimmte Weise vertheilen . Die Art der Vertheilung kann man nach den von Ohm aufgestellten Principien theoretisch ermitteln . Ich habe die dazu no thige Rechnung unter der Voraussetzung , daſs der Zu stand der Scheibe ein stationärer geworden sey , in dem Falle durchgeführt , daſs die Scheibe eine kreisförmige ist , und daſs die Elektricität durch einen Draht in sie hinein , durch einen zweiten aus ihr heraustrete " .

La traducción automática de un conocido proveedor de servicios era un poco aproximada, así que le pedí a un hablante nativo de alemán con formación científica que la arreglara. En lo siguiente, las negritas son mías:

" Si se pasa una corriente galvánica constante a través de un disco de metal, la electricidad en dicho disco se distribuirá de cierta manera. El tipo de distribución se puede determinar teóricamente de acuerdo con los principios establecidos por Ohm. He realizado el cálculo necesario sobre el condición de que el estado del disco haya pasado a ser estacionario, para el caso de que el disco tenga forma circular, y que la electricidad entre en él por un hilo, y salga por otro . ”

Las fuentes de electricidad utilizadas por Kirchhoff se mencionan en varios puntos del documento, por ejemplo en la página 509:

" Ich leitete durch die Scheibe der Strom einer constanter Hydrokette, und beruhrte sie an zwei Punkte mit den Enden zweier Drahte, in deren Schliefsung aufser dem Multiplicator eine schwache, auf Kupfer und Zink gebildete, Thermokette eingeschaltet war. "

Nuevamente, la traducción automática era demasiado incierta, pero con la ayuda del mismo hablante nativo de alemán y después de cambiar 'multiplicador' por 'galvanómetro' (porque así se llamaba el tipo de galvanómetro de Schweigger y Poggendorff en ese momento) obtenemos:

" Pasé a través del disco la corriente de una Hydrokette [batería] constante , y la puse en contacto en dos puntos con los extremos de dos cables, en cuyo bucle se encendió un Thermokette [elemento termoeléctrico] débil formado en cobre y zinc , en un [galvanómetro] " .

Una oración que ayuda a arrojar algo de luz sobre la naturaleza exacta de las fuerzas electromotrices utilizadas en los experimentos. 'Hydrokette' y 'thermokette' también fueron las fuentes de electricidad utilizadas por Georg Ohm , a quien se menciona al comienzo del artículo de Kirchhoff, en sus experimentos. Ohm experimentó con celdas galvánicas y termopilas a principios de los años veinte del siglo XIX; su teoría de los circuitos galvánicos, publicada en 1827 como " Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet " (" El circuito galvánico investigado matemáticamente"), fue duramente criticado por Georg Pohl y finalmente condujo a la renuncia de Ohm de su cargo académico en 1828. (Ohm fue más tarde 'redescubierto' ex-patriado en 1841 cuando la Royal Society de Londres le otorgó la medalla Copley como reconocimiento a su En ese momento, las fuentes de electricidad eran celdas galvánicas, baterías químicas y termopilas, como la fuente de electricidad estable 'de última generación' utilizada por Ohm para establecer su ley: un termopar basado en el efecto Seebeck.

Termopar Seebeck con galvanómetro primitivo incorporado en forma de aguja magnetizada (fuente: http://dingler.culture.hu-berlin.de/article/pj315/ar315128 )

De hecho, thermokette se traduce como termopila ( Wikipedia en alemán - Wikipedia en inglés ). para hidrokette, que algunos diccionarios traducen como 'hidrocelda' o 'hidroelemento', no he podido encontrar una definición satisfactoria en inglés, pero me han dicho que "Hydrokette" o "hydroelektrische Kette" es una celda hecha de dos placas de metal de diferente "orden" sumergido en un fluido conductor. Una "Hydrokette Constante" tiene cada placa de metal sumergida en un fluido conductor diferente, los dos fluidos están separados por un diafragma que permite la migración de los portadores de carga pero no permite que los fluidos se mezclen. Básicamente es una celda electroquímica. Aquí hay una imagen de una presentación checa que muestra el galvanómetro de Ohm y compara Thermokette con Hydrokette con respecto al experimento de Ohm (el dibujo de la derecha puede no ser exactamente esclarecedor, lo sé, pero es compatible con la suposición hecha)

Thermokette vs. Hydrokette en el experimento de Ohm (fuente: https://image2.slideserve.com/4698073/hled-n-kvantitativn-ch-vztah-l.jpg )

A continuación se muestra una fotografía del galvanómetro (en ese entonces llamado 'un multiplicador') usado por Ohm con una "termocinta" en su lugar, junto con un boceto del dispositivo en uso. El voltaje fue 'obtenido' con cables conectados a las dos 'copas' de cobre en la base del instrumento:

Aparato real utilizado por Ohm y representación pictórica durante su uso (fuentes: izquierda https://www.oocities.org/bioelectrochemistry/ohm.htm , derecha: https://www.youtube.com/watch?v=fk_BpXlfZ8U )

De la misma fuente de la imagen de la izquierda:

"Este aparato fue utilizado por Ohm. La corriente que fluye a través de la barra de metal en el cilindro central desvía una aguja magnetizada suspendida sobre ella. El ángulo de desviación es proporcional a la corriente. La fuente de potencial eléctrico es un termopar (descubierto por Seebeck en 1821) Los extremos del termopar se calientan con vapor y se enfrían con agua helada en los pequeños recipientes de los trípodes".

No solo se localizan las fuentes de campos electromagnéticos mencionadas por Kirchhoff en su artículo, sino que también se aseguró de que la electricidad suministrada fuera constante y estable, como se explica desde el comienzo del artículo de 1845 (mía en negrita):

" He realizado el cálculo necesario con la condición de que el estado del disco se haya vuelto estacionario ... "
fuente: Annalen der Physik und Chemie LXIV 1845 - p. 497

El uso de una fuente constante de corriente galvánica en condiciones de estado estacionario se opone fuertemente a la posibilidad de que dicho documento pretendiera incluir fuentes de EMF variables en el tiempo, o incluso los efectos secundarios de la autoinducción. Además, no hay referencias a fuerzas electromotrices inductivas o elementos inductivos en ninguna parte del texto.

Por el contrario, cuando en un trabajo posterior (" Ueber die Bewegung der Elektricität in Leitern ", 1857) Kirchhoff analizó un circuito con autoinducción, fue muy claro al mencionar la "ley de inducción de Weber". En este artículo de 1857, traducido al inglés por P. Graneau y AKT Assis para APEIRON Nr. 19 de junio de 1994 (págs. 19-25), Kirchhoff encuentra la forma local de la ley de Ohm como (en notación moderna)

donde claramente considera el campo eléctrico total Etot = - grad phi - dA/dt, como en j = sigma Etot y no el componente conservativo solo Ecoul = -grad phi. En el prólogo de la traducción, los traductores comentan que " Esta es esencialmente la ley de Ohm generalizada por Kirchhoff a conductores tridimensionales y para tener en cuenta los efectos de la autoinducción ". También vale la pena señalar que el concepto de vector potencial magnético A fue introducido por Neumann en un artículo publicado en enero de 1846 en el volumen I de Annalen Der Physik 143 con el título “ Allgemeine Gesetze Der Inducirten Elektrischen Ströme ” (de esta respuesta).

Considerándolo todo, parece plausible que, si Kirchhoff hubiera empleado fuentes inductivas de EMF en sus experimentos que condujeron a su artículo de 1845, una forma tan novedosa de fuerza electromotriz (variable en el tiempo) al menos se mencionaría explícitamente, si no se discutiera en detalle. Pero este no es el caso. Por otro lado, en la pág. 510 del artículo de 1845 Kirchhoff menciona nuevamente " la fuerza electromotriz de una termopila ", y en la p. 513, justo antes de enunciar sus dos célebres leyes, escribe:

" Der Strom einer starken Hydrokette theilte sich in die beiden Arme ACB und ADB... "

Eso se puede traducir como

" La corriente de una fuerte [batería] se separó en ambos brazos ACB y ADB... "

Creo que he señalado que en su artículo original de 1845, Kirchhoff solo mencionó y usó fuentes de fuerza electromotriz localizadas, estacionarias y no inductivas. ¿Por qué esto es relevante para la pregunta planteada aquí? Debido a que las fuentes EMF localizadas , como las celdas galvánicas, las baterías voltaicas, los termopares y las termopilas, desarrollan un voltaje que se puede ubicar con precisión en los terminales del dispositivo (dos cables) dentro de la rama del circuito del que forman parte. Este no es el caso de la EMF deslocalizada originada por el flujo magnético cambiante vinculado por el bucle en su totalidad.

Sobre lo que dice la formulación original de KVL de Kirchhoff sobre la ubicación de las fuentes de CEM

Esta es la formulación original de lo que hoy se conoce como KVL (Ley de voltaje de Kirchhoff) o Regla de bucle de Kirchhoff, según lo escrito por Kirchhoff en su artículo de 1845 (página 513 del enlace Annalen):

Modernizando la notación (usando R en lugar de omega para indicar la resistencia y n en lugar de nu para los índices), el texto dice:

2) wenn die Drahte 1, 2, n, eine geschlossene Figur bilden R1 I1 + R2 I2 + ... + Rn In = der Summe aller elektromotorischen krafte, die sich auf dem Wege: 1, 2, n befinden; wo R1, R2, Rn die Widerstande der Drahte, I1 I2,... die Intensitaten der Strome bezeichnen, von denen diese durchflossen werden, alle nach einer Richtung als positiv gerechnet.

Que se traduce como (negrita mía)

2) si los cables 1, 2, n forman una figura cerrada R1 I1 + R2 I2 + ... + Rn In = = la suma de todas las fuerzas electromotrices ubicadas en el camino: 1, 2, ... n; donde R1, R2, ... Rn son las resistencias de los cables, e I1 I2, ...In denotan las intensidades de las corrientes que fluyen a través de ellos, todas calculadas como positivas en una dirección.

La traducción automática mejora cada día más gracias al progreso de la IA. La salida de Google Translate para el texto original en alemán no necesitó ningún ajuste:

La locución " ubicado en el camino: 1, 2, n " apunta a fuentes de CEM ubicadas en el camino mismo, como si Kirchhoff estuviera tratando expresamente formas localizadas de CEM. Una confirmación adicional de esto proviene de un artículo posterior, publicado en el volumen 72 de diciembre de 1847 de Annalen der Physik und Chemie. El artículo, publicado con el título " Ueber die Auflösung der Gleichungen, auf welche man bei der Untersuching der linearen Vertheilung Galvanisher Ströme geführt wird ", ha sido traducido por J. B. O'Toole y republicado en IRE Transaction on Circuit Theory (IEEE Trans. CT-5, 4–7, 1958). Aquí Kirchhoff escribe (negritas y cursivas mías):

" Dado un sistema de n hilos: 1, 2, . . . , n unidos entre sí de forma arbitraria. Si con cada uno de ellos está en serie una fuerza electromotriz , el número necesario de ecuaciones lineales para la determinación de las corrientes I1, I2, . . . , In, que fluyen a través de los cables se encuentra usando... "

De esto se sigue, entre otras cosas, que si elegimos dos hilos de un sistema arbitrario, la corriente causada en uno por una fuerza electromotriz en el segundo es exactamente igual a la corriente producida en el segundo por una fuerza electromotriz igual en el segundo. primero . "

Confirmando así que está hablando de campos electromagnéticos localizados como elementos en serie insertados en cada rama y no de un campo electromagnético deslocalizado a lo largo de todo el bucle. Descomponer toda la EMF del lazo en las contribuciones parciales a lo largo de varias partes del lazo requeriría el conocimiento de la configuración del campo eléctrico inducido en el espacio ocupado por los conductores (conocimiento que no estaba disponible en ese momento) o la integración de la línea del derivada temporal del potencial magnético vectorial A a lo largo de los diversos segmentos curvilíneos. Una vez más, si bien podría argumentarse que el conocimiento de una entidad matemática correspondiente al vector potencial A se desprende del artículo de Kirchhoff de 1857, tal hazaña habría requerido al menos una mención, si no una explicación completa.

Finalmente, también encontré al menos una fuente adicional que confirma que Kirchhoff formuló sus reglas que abordan formas localizadas y agrupadas de EMF. En su artículo de Educación Física " Explicando la inducción electromagnética: un reexamen crítico. El valor clínico de la historia en la física " (J Roche 1987 Phys. Educ. 22 91), el historiador de la ciencia J. Roche escribe:

" G Kirchhoff (1824-87) demostró en 1849 que los campos electromagnéticos localizados generalmente establecen fuerzas electrostáticas auxiliares, por medio de cargas superficiales, para establecer una corriente uniforme alrededor del circuito (Kirchhoff 1879 pp49-55, 1514). Dado que estos campos adicionales son conservativos, la suma de las diferencias de potencial netas en todo el circuito será exactamente igual a la suma de las PD en los campos electromagnéticos subyacentes localizados únicamente. Esta es la sustancia de la segunda ley de red de Kirchhoff (Kirchhoff 1879 pp 15- 16) "

En resumen, no solo la configuración experimental empleada por Kirchhoff, sino también la forma en que expresó sus leyes constituyen evidencia de que el lado derecho de la ecuación KVL original de Kirchhoff recopila (con el debido signo) la contribución de todas las fuentes EMF agrupadas que están presentes a lo largo de el camino (" auf dem Wege ").

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Apéndice: Sobre lo que significa la naturaleza localizada de las fuentes EMF para la formulación original de KVL por Kirchhoff

Una objeción común planteada por las personas que creen que KVL siempre se aplica, incluso cuando el campo eléctrico no es conservativo, es que la ley de voltaje de Kirchhoff fue pensada desde un principio para abarcar todas las formas de fuerzas electromotrices, incluida la FEM inductiva no localizada vinculada por el bucle mismo. . La razón detrás de esta creencia es que en la mayoría de los libros de texto universitarios introductorios y de secundaria, KVL se expresa en una forma aplicable a circuitos agrupados donde la suma de todo tipo de campos electromagnéticos localizados (incluidos los de transformadores agrupados y generadores de inducción) se iguala a la suma de todas las caídas de voltaje (incluidas las atribuidas a los inductores agrupados).

El problema es que el EMF inductivo es un tipo muy especial de EMF que no es como otras formas de EMF. Por ejemplo, el voltaje que se mide a través de los terminales de un inductor (como una bobina de múltiples vueltas) es diferente del voltaje calculado a lo largo del conductor del que está hecha la bobina (algo que por sí mismo viola KVL en el bucle formado por el filamento de la bobina y el salto en sus terminales). Para obtener más información sobre esto, consulte a Ramo Whinnery VanDuzer a la que se hace referencia a continuación.

KVL original con terminología moderna
Avance rápido hasta el siglo XXI, donde tendemos a expresar las leyes de la electrodinámica en términos de relaciones entre campos, podemos ver cómo se expresaría hoy la formulación de Kirchhoff de campos electromagnéticos localizados.

Primero, reescribamos la ecuación de Kirchhoff haciendo explícitos los campos electromagnéticos que están en los caminos 1, 2, ... n llamándolos emf1, emf2, ... emfn. Si una rama no tiene una fem localizada, entonces la fem correspondiente será cero; lo mismo puede decirse de la resistencia. En su forma expandida, el KVL original de Kirchhoff se convierte en:

R1 I1 + R2 I2 + ... + Rn In = fem1 + fem2 + ... + fem

donde emf1, emf2,... emfn son las fuerzas electromotrices localizadas ubicadas en los segmentos 1, 2, ..., n del camino cerrado.

Ahora tomamos los campos electromagnéticos localizados de cada rama que están del lado derecho y los llevamos al lado izquierdo. El cambio de signo refleja esa diferente convención de signos que usamos para generadores y para elementos pasivos.

(R1 I1 - fem1) + (R2 I2 - fem2) + ... + (Rn In - fem) = 0

Esta es la forma equivalente moderna de KVL como la formuló Kirchhoff.

En el siglo XXI reconocemos que cada término entre paréntesis representa la integral de trayectoria del campo eléctrico total a lo largo de cada uno de los segmentos 1, 2,... n, en los que se ha dividido la trayectoria cerrada (el bucle). Por lo tanto, en términos modernos, la formulación original de KVL dice

Suma de la integral de trayectoria de Etot.dl a lo largo de las ramas de nuestra figura cerrada = 0

El lado derecho es cero porque ya hemos tenido en cuenta todo " der electromotorischen Krafte, die sich auf dem Wege " - todas las fuerzas electromotrices en las ramas 1, 2,... n - y porque Kirchhoff no consideró ninguna fuente deslocalizada de campos electromagnéticos inductivos. Dado que la integral de trayectoria a lo largo de una trayectoria cerrada es la circulación, en notación moderna, la forma original de KVL también se puede escribir como:

circulación de Etot.dl = 0
Notación moderna para KVL formulada por Kirchhoff (es decir, usando solo fuentes EMF localizadas)
Nota: todos los EMF localizados aparecen en la integral de trayectoria en el lado izquierdo.

La ley de Faraday introduce una FEM que no está en el camino.
Faraday descubrió, en términos modernos, que la circulación de Etot.dl puede ser distinta de cero, si hay un flujo magnético variable cortado por la superficie formada por la figura cerrada 1, 2, . .. n Kirchhoff estaba discutiendo. Según la ley de Faraday (no la ley de Kirchhoff), la circulación del campo eléctrico total a lo largo del camino del circuito es igual a menos el flujo del campo magnético B cortado por la superficie delimitada por dicho camino cerrado:

circulación de Etot.dl = -d/dt flujo de B
Notación moderna para la ley de Faraday en forma integral que muestra la suma del flujo en el lado derecho. La ley de Faraday introduce una fuente EMF que no encaja en la integral de trayectoria del campo eléctrico (total) de la izquierda.

Tenga en cuenta que la integral de la izquierda representa todas las fuerzas electromotrices localizadas (baterías, celdas solares, celdas Peltier, termopares...) presentes en las ramas del bucle, pero no la FEM inductiva no localizada debido al flujo cortado por su circuito cerrado, que es la novedad introducida por Faraday. No necesitamos una nueva ley para cada tipo de campo electromagnético no inductivo que existe: todos son responsables de la integral de circulación en el lado izquierdo. El término de la derecha, por otro lado (juego de palabras), es una nueva adición que rompe la ley de Kirchhoff original y amplía considerablemente nuestro conocimiento del campo electromagnético. En su forma diferencial local

enrollamiento E = - dB/dt

La ley de Faraday establece que el campo eléctrico se enrosca (es decir, deja de ser irrotacional) en presencia de un campo magnético que cambia en el tiempo. Esto no es 'simplemente otro tipo de EMF': es una propiedad fundamental del campo electromagnético que ha cambiado nuestra comprensión del electromagnetismo. No es una coincidencia que la ley de Faraday sea una de las cuatro célebres ecuaciones de Maxwell.

La ruptura de la regla del bucle de Kirchhoff se confirma, por ejemplo, en el segundo volumen de Berkeley Physics: Electricity and Magnetism 3rd edition de Purcell y Morin:

Fuente: Purcell, Morin tercera edición, sección 7.5

" ... La regla del bucle de Kirchhoff (que establece que la integral de trayectoria de E.ds = 0 alrededor de una trayectoria cerrada) ya no es aplicable cuando hay un campo magnético cambiante . Faraday nos ha llevado más allá del cómodo reino de los campos eléctricos conservadores. La diferencia de voltaje entre dos puntos ahora depende del camino entre ellos " .

KVL extendido y sus límites :
KVL es una herramienta tan útil que se ha ampliado para trabajar con CA y circuitos dinámicos generales. Aún así, incluso en la versión 'modificada', 'generalizada' o 'extendida', para mantener (y no romper otras leyes de circuito, como la ley de Ohm en su propia forma generalizada) KVL requiere que las fuentes de inductivo EMF se agrupará en componentes que se ubicarán a lo largo de la ruta del circuito. En su forma extendida o generalizada, KVL puede aceptar tanto las contribuciones de los campos electromagnéticos inductivos agrupados como las "caídas de voltaje" de los autoinductores agrupados en la integral de trayectoria a la izquierda de la ecuación.

Para que el KVL extendido funcione en un lazo, es necesario que los voltajes para dos puntos cualquiera en el lazo estén definidos de manera única. Esto exige que no cambie el flujo vinculado por el bucle mismo y, a su vez, requiere que todo el flujo magnético cambiante esté confinado dentro de los componentes magnéticos sin fugas apreciables en el bucle mismo. Para más información, el lector puede consultar Ramo, Whinnery, VanDuzer, " Fields and Waves in Communication Electronics ", tercera edición (capítulo 4: el electromagnetismo de los circuitos, en particular pp. 174-179). Aquí hay un extracto más relevante:

Fuente: Ramo Whinney VanDuzer, "Fields and Waves for Communication Electronics" 3ra edición, p. 179

KVL extendido funciona cuando las fuentes de EMF se pueden agrupar (y, por lo tanto, localizar en una rama en particular) y el flujo magnético cambiante se puede ocultar dentro del componente, pero no podemos hacer que funcione cuando el EMF se debe al flujo cambiante vinculado por el trayectoria del circuito en sí. Eso romperá KVL para siempre, y nos vemos obligados a considerar la ley más general: la Ley de Faraday.

Tenga en cuenta que tratar de traer la contribución EMF inductiva deslocalizada representada por la integral de superficie de B a la derecha, incorporándola dentro de la integral de trayectoria de E en el lado izquierdo para distribuirla a lo largo de las ramas alterará el campo integrando cambiándolo de la campo eléctrico total Etot a la parte conservativa sola Ecoul de dicho campo. Este componente parcial del campo eléctrico (total) admitirá una función potencial (el potencial eléctrico escalar phi) que obedecerá a KVL pero romperá la ley de Ohm en su forma local.