¿Cómo (o por qué) el principio de equivalencia condujo a las ecuaciones de campo de Einstein?

En 1921 Einstein dio una serie de conferencias en Princeton, que hoy puedes leer bajo el título "El significado de la relatividad" . Es una descripción temprana y muy especial de la Relatividad General, donde enfatiza mucho los conceptos y razonamientos que lo llevan a la teoría.

Nadie es capaz de saber qué había realmente dentro de la mente de Einstein, pero en esas conferencias actúa como si hubiera inventado la Relatividad General a través de una especie de proceso heurístico basado en el Principio de Equivalencia. Si hizo eso en estas conferencias para que otros lo entendieran mejor, o si realmente usó el Principio de Equivalencia como el origen de la Relatividad General, es difícil saberlo, pero apuesto a que es el segundo caso. Otras ideas como el Principio de Mach (que es otra cuestión que, dicho sea de paso, sigue sin resolverse) también están presentes en esas conferencias.

Es un libro muy bonito que muestra un poco de cómo funcionaba el pensamiento de Einstein (al menos da esa ilusión). Sin embargo, no es una descripción popular (de todos modos, es más fácil de leer que el artículo de 1916). Intentaré ofrecer aquí un breve resumen de cómo esas conferencias llevan del Principio de Equivalencia a la Relatividad General, aunque este intento es casi una blasfemia y deberías intentar echar un vistazo al texto de Einstein (no hay nada mejor). Tenga en cuenta que voy a citar algunos párrafos del libro. Puedo hacerlo porque los derechos de autor de esas conferencias han expirado, se ofrecen de forma gratuita, por ejemplo, en el sitio del Proyecto Gutenberg . También insertaré breves explicaciones de cosas básicas que probablemente sepas, para otros lectores.

Entonces, según ese libro, estos son más o menos los pasos que conectan el Principio de Equivalencia y las Ecuaciones de Campo:

1: Invariancia del intervalo infinitesimal, extendida a observadores no inerciales

La Relatividad Especial ya se había ocupado bien de los fenómenos en ausencia de gravedad. En esa teoría, la distancia medida entre dos eventos infinitamente cercanos en el espacio-tiempo es la misma para dos observadores$O$y$O'$que se mueven con velocidad constante entre sí:

$$cdt^2-dx^2-dy^2-dz^2 =cdt'^2-dx'^2-dy'^2-dz'^2$$ Puede pensar en un "evento" como una chispa: algo instantáneo que sucede en un punto en el espacio y el tiempo.

La cantidad que es directamente medible por nuestras varillas de medición unitarias y relojes,

$${dX_{1}}^{2} + {dX_{2}}^{2} + {dX_{3}}^{2} - {dX_{4}}^{2}$$ es por lo tanto un invariante unívocamente determinado para dos eventos vecinos

La siguiente expresión se puede escribir en una forma más corta, como en la ecuación (55) del libro:

$$ds^2=g_{\mu \nu}dx^{\mu \nu}$$

Y por lo tanto,$ds^2=ds'^2$, ambos observadores miden el mismo intervalo

lo que se relaciona$(t,x,y,z)$y$(t',x',y,',z')$es una transformación de Lorentz . Por medio de una Transformación de Lorentz, puede calcular, por ejemplo, las diferencias en la longitud de una barra que medirán dos observadores (inerciales) que se mueven de manera diferente y, por lo tanto, las diferentes$dx^{\mu}$. Pero el conjunto de coeficientes$g_{\mu\nu}$es el mismo para ambos observadores en Relatividad Especial , simplemente un conjunto de cuatro números$+1,-1,-1$y$-1$

2: El nuevo rol y carácter tensorial de la$g_{\mu \nu}$coeficientes

El problema era que la transformación de Lorentz solo funciona para observadores que no aceleran. Pero el principio de equivalencia establecía que un observador acelerado debería ser por todos los medios equivalente a un observador no acelerado incrustado en un campo gravitatorio, y luego la brillante idea de Einstein fue "reparar" la Relatividad Especial NO tratando de reinventar la Transformación de Lorentz. , sino introduciendo la nueva información del campo gravitacional/aceleración en el$g_{\mu\nu}$cantidades, que habían sido hasta el momento meramente un conjunto de números constantes pasivos independientes del observador.

Pero, ¿por qué en el$g_{\mu\nu}$? Bueno, se sabía que la velocidad relativa altera las medidas de longitud entre observadores. Eso equivale a cambiar la distancia entre los ticks del eje de uno de los observadores. Si había una forma de hacer ese tipo de acortamiento, de una manera más sofisticada para tener en cuenta las aceleraciones, era alterando los coeficientes$g_{\mu \nu}$que multiplican la$dx^{\mu}$de una manera dependiente del observador, de modo que la expresión final de$ds^2$permaneció independiente del observador. Esto puede parecer fácil de entender ahora, pero para tener esa brillante idea primero, tienes que ser... bueno, ¡Einstein!

Por lo tanto, comenzó a buscar alguna forma de hacer esta alteración de la$g_{\mu \nu}$para incluir aceleraciones, por lo que comenzó a buscar sus propiedades matemáticas . Y el punto de partida fue exigir que el Principio de Equivalencia se cumpla también en la nueva situación:

Se sigue de la invariancia$ds^{2}$por una elección arbitraria del$dx_{\nu}$, en conexión con la condición de simetría consistente con la ecuación (55), que el$g_{\mu\nu}$son componentes de un tensor covariante simétrico (tensor fundamental).

3: Postulado geodésico que conecta el$g_{\mu \nu}$y la gravedad

Ya que$ds^2$da cuenta de un desplazamiento corto en el espacio-tiempo, el siguiente paso era ver qué sucedía al poner un desplazamiento corto tras otro caminando siempre hacia delante, sin permitir ningún desvío de la línea recta hasta construir una trayectoria "recta" finita. Esto es importante, porque te dice cómo es el espacio(tiempo) en el que te estás moviendo. Por ejemplo, si comienzas a caminar en línea recta hacia el Polo Norte, no importa qué tan recto hayas caminado, cuando llegues al Polo Norte te darás cuenta de que, en el espacio 3D, tu trayectoria ha hecho un arco gigante, entonces sabes que has estado caminando sobre la superficie curva de la Tierra.

Ese tipo de trayectoria "recta" se llama línea geodésica y matemáticamente ya se conocía para la geometría "ordinaria" de superficies curvas:

Una línea puede construirse de tal manera que sus elementos sucesivos surjan unos de otros por desplazamientos paralelos. Esta es la generalización natural de la línea recta de la geometría euclidiana. Para tal línea, tenemos

$$\delta \left(\frac{dx_{\mu}}{ds}\right) = -\Gamma_{\alpha\beta}^{\mu} \frac{dx_{\alpha}}{ds}\, dx_{\beta}$$ El lado izquierdo debe ser reemplazado por $\dfrac{d^{2} x_{\mu}}{ds^{2}}$

Obtenemos la misma línea si encontramos la línea que da un valor estacionario a la integral

$$\int ds\quad\text{or}\quad \int \sqrt{g_{\mu\nu}\, dx_{\mu}\, dx_{\nu}}$$ entre dos puntos (línea geodésica).

Ahora ves que, si fueras capaz de conocer el$g_{\mu \nu}$un observador "siente" en cada punto del espacio-tiempo, podría derivar la forma de la línea geodésica entre dos eventos arbitrarios. Más o menos a la inversa (pero no completamente en el caso general), si algún principio físico pudiera decirnos la forma de la línea geodésica, tendríamos la conexión entre$g_{\mu \nu}$y la gravedad para cada observador. El principio físico necesario era otra idea brillante, el Postulado Geodésico:

Una partícula material sobre la que no actúa ninguna fuerza se mueve, según el principio de inercia, uniformemente en línea recta. En el continuo de cuatro dimensiones de la teoría especial de la relatividad (con coordenadas de tiempo real) esta es una línea recta real. La generalización natural, es decir, la más simple, de la línea recta que es plausible en el sistema de conceptos de la teoría general de las invariantes de Riemann es la de la línea más recta o geodésica. En consecuencia, tendremos que suponer, en el sentido del principio de equivalencia, que el movimiento de una partícula material, bajo la acción únicamente de la inercia y la gravitación, se describe mediante la ecuación,

$$\frac{d^{2} x_{\mu}}{ds^{2}} + \Gamma_{\alpha\beta}^{\mu} \frac{dx_{\alpha}}{ds}\, \frac{dx_{\beta}}{ds} = 0$$

De hecho, esta ecuación se reduce a la de una línea recta si todos los componentes,$\Gamma_{\alpha\beta}^{\mu}$, del campo gravitacional se desvanecen.

Ves que en este alto del libro ya llama "campo gravitatorio" a esos coeficientes (Símbolos de Christoffel) que dan cuenta de la manera de "encoger" el eje de los observadores.

En resumen hasta ahora:

• En ausencia de gravedad, una partícula libre se mueve en línea recta según la inercia galileana.
• Todos los observadores inerciales ven esa partícula libre moviéndose en línea recta (versión restringida del principio de equivalencia de la relatividad especial)
• Esto se extiende al espacio-tiempo con gravedad o observadores acelerados, al postular que las partículas libres son "vistas" en el espacio-tiempo a lo largo de líneas geodésicas, por todos los observadores, inerciales o no.

4: Newton$F=\dot p$de la ecuación geodésica

Inmediatamente después de formular el Postulado Geodésico, exige que las ecuaciones de movimiento se reduzcan a las de Newton en ausencia de gravedad, por lo que ya encuentra ecuaciones de movimiento newtonianas:

¿Cómo se relacionan estas ecuaciones con las ecuaciones de movimiento de Newton? Según la teoría especial de la relatividad, la$g_{\mu\nu}$así como el$g^{\mu\nu}$, tienen los valores, con respecto a un sistema inercial (con coordenada en tiempo real y elección adecuada del signo de$ds^{2}$),

$$\left. \begin{array}{*{4}{>{\quad}r}} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & +1 \end{array} \right\}$$

Las ecuaciones de movimiento se convierten entonces en

$$\frac{d^{2} x_{\mu}}{ds^{2}} = 0.$$ Llamaremos a esto la "primera aproximación" a la $g_{\mu\nu}$-campo.

La "segunda aproximación" consiste en añadir una pequeña perturbación a esa$g_{\mu\nu}$campo que lo lleva a la Segunda Ley de Newton$F=\dot p$, lo que permite identificar esa pequeña perturbación que ha añadido con el potencial gravitatorio clásico (encerrado en la fuerza, igual al gradiente del potencial). Él ya tiene una teoría que se asemeja a la gravedad newtoniana, pero solo si el potencial gravitacional (o la aceleración involucrada) es pequeño.

5: Búsqueda heurística a partir de la forma general de las ecuaciones de gravedad, de las semejanzas a la Ecuación de Poisson y la necesidad de conservación local de Energía-momentum para todos los observadores

Entonces, la parte final del camino es extender esto a un caso general. Él quiere que sus ecuaciones sean similares a las de la gravedad newtoniana cuando se escribe a la Poisson, donde se puede ver un campo de densidad dependiente de la posición en un lado, como fuente de los efectos "sensibles" (el potencial gravitatorio) que se encuentran en el otro. lado del signo igual. Lo intenta porque ya tiene algún objeto para poner en el lugar de la masa, un objeto que toma de la Relatividad Especial que describe la masa y la energía, el tensor Energía-Momento:

A continuación debemos intentar encontrar las leyes del campo gravitatorio. Para este propósito, la ecuación de Poisson,

$$\Delta\phi = 4\pi K\rho$$ de la teoría newtoniana debe servir como modelo. Esta ecuación tiene su fundamento en la idea de que el campo gravitatorio surge de la densidad $\rho$de materia ponderable. También debe ser así en la teoría general de la relatividad. Pero nuestras investigaciones de la teoría especial de la relatividad han demostrado que en lugar de la densidad escalar de la materia tenemos el tensor de energía por unidad de volumen. En este último se incluye no sólo el tensor de la energía de la materia ponderable, sino también el de la energía electromagnética.

Y ahora viene la parte final: algo análogo al lado izquierdo de la ecuación de Poisson. Si a la derecha debe ser el tensor Energía-Momento, entonces el lado izquierdo también debe ser un tensor. Luchó durante mucho tiempo para encontrarlo (el llamado tensor de Einstein) e incluso publicó una versión restringida primero, en 1915, que rápidamente resultó no ser válida en todas las situaciones.

Para mantener la analogía con la ecuación de Poisson, el tensor de Einstein debía tener ciertas propiedades:

Si hay un análogo de la ecuación de Poisson en la teoría general de la relatividad, entonces esta ecuación debe ser una ecuación tensorial para el tensor$g_{\mu\nu}$del potencial gravitatorio; el tensor de energía de la materia debe aparecer en el lado derecho de esta ecuación. En el lado izquierdo de la ecuación debe haber un tensor diferencial en el$g_{\mu\nu}$. Tenemos que encontrar este tensor diferencial. Está completamente determinada por las siguientes tres condiciones:

1. No podrá contener coeficientes diferenciales de los$g_{\mu\nu}$más alto que el segundo.

2. Debe ser lineal y homogéneo en estos segundos coeficientes diferenciales.

3.Su divergencia debe desaparecer idénticamente.

Las dos primeras de estas condiciones se toman naturalmente de la ecuación de Poisson.

La tercera condición proviene de algo análogo a la conservación clásica de energía y momento, que se traduce en la afirmación de que la divergencia del tensor Energía-Momento debe desaparecer, nuevamente, para todos los observadores:

De acuerdo con nuestros resultados anteriores, los principios de cantidad de movimiento y energía se expresan mediante el enunciado de que la divergencia de este tensor se desvanece. En la teoría general de la relatividad, tendremos que asumir como válida la correspondiente ecuación general covariante.

(Tenga en cuenta, sin embargo, que esto es solo una conservación local, pero esta es otra cuestión).

Hay otras formas que podría tener el tensor de Einstein para satisfacer estas condiciones, y es interesante señalar que, al elegir la forma final, se dice que tenía una especie de sentido estético de la simplicidad. Bueno, aquí está el paso final:

Dado que puede demostrarse matemáticamente que todos estos tensores diferenciales pueden formarse algebraicamente (es decir, sin diferenciación) a partir del tensor de Riemann, nuestro tensor debe tener la forma

$$R_{\mu\nu} + a R g_{\mu\nu}$$ en el cual $R_{\mu\nu}$y $R$están definidas por la ecuación (...) Además, se puede probar que la tercera condición requiere $a$tener el valor $-\frac{1}{2}$. Para la ley del campo gravitatorio, por lo tanto, obtenemos la ecuación $$R_{\mu\nu} - \tfrac{1}{2}g_{\mu\nu} R = - \kappa T_{\mu\nu}$$

El constante$\kappa$se encuentra que es proporcional a la newtoniana$G$un par de páginas más adelante, por identificación con la gravedad newtoniana en el límite de las pequeñas energías.

El principio de equivalencia no es el origen de la relatividad general en el sentido de que comienzas con el principio de equivalencia y varias páginas de matemáticas más tarde terminan con la relatividad general. Es más un principio rector. Si acepta que el principio de equivalencia es cierto, impone restricciones al tipo de teoría que podría describir la gravedad.

Nadie excepto Einstein puede estar seguro de exactamente cómo llegó a GR. Después de leer varias historias de la época, me parece que una vez que a Einstein se le ocurrió el principio de equivalencia, comenzó a buscar teorías que lo incorporaran. Ya había habido sugerencias de que la gravedad podría ser una propiedad geométrica, pero hasta que Einstein y Grossmann dieron con la idea de usar la geometría de Riemann, nadie había hecho que la idea funcionara. Einstein debió darse cuenta muy rápidamente de que una teoría geométrica ofrecía una forma natural de incorporar el principio de equivalencia.

La sección Desarrollo de la teoría de la gravitación en el artículo de Wikipedia sobre el principio de equivalencia tiene más información sobre esto. Si te interesa conocer más detalles sobre la historia de la relatividad te recomiendo el libro de Abraham Pais Sutil es el Señor .