Regularización de función zeta en QFT para núcleos de calor

La regularización de la función zeta se puede considerar como una regularización analítica con una elección especial del esquema de resta. Al igual que cualquier otra regularización, habrá posibles ambigüedades que, a menos que se traten de manera consistente en un cálculo, harán que los resultados de una resta ingenua/mínima sean incorrectos. Sin embargo, estas ambigüedades siempre deberían poder ser explicadas por contra-términos finitos. ¹
Entonces, el arte de la regularización está en establecer un esquema de resta consistente, ya sea usando una resta mínima consistente, usando condiciones de renormalización, una operación R, o usando consistentemente alguna resta implícita como la regularización de la función zeta. Sin embargo, como señalaste en tu pregunta, la última opción no siempre es tan fácil.

El enfoque de regularización de la función zeta para los cálculos QFT de un ciclo proviene de la observación de que$\partial_t H^{-t}|_{t\to0} = -\log(H)$. entonces ²

$$\begin{align} \log\det(H) &= \mathrm{tr}\log H := -\zeta'_H(0)\,, \\ \zeta_H(s) &= \mathrm{tr} H^{-s} = \frac1{\Gamma(s)}\int_0^\infty\mathrm{d}t\, t^{s-1}\mathrm{tr}(\exp(-H t)) \end{align}$$ El núcleo de calor es $K(x,x'|t) = \exp(-H t)\delta(x,x')$y tomar su rastro implica establecer $x' \to x$e integrando sobre todo el espacio-tiempo $x$(y tomando la traza sobre cualquier grupo o índices de sabor). A menudo, la integral del espacio-tiempo no se realiza ya que desea que la respuesta sea una acción efectiva.
$\zeta_H$se llama la función zeta de $H$desde $$\zeta_H(s) = \mathrm{tr} H^{-s} = \sum_{n} \lambda_n^{-s} \,,$$ donde el $\lambda_n$son los valores propios de $H$. $\zeta_H(s)$es básicamente la integral de un bucle regularizada analíticamente y podría expandirla fácilmente en potencias de $s$para extraer la parte divergente ( $s^{-1}$), la parte finita ( $s^0$) y los términos que desaparecen como $s\to0$. La regularización de la función Zeta solo devuelve el $s^0$parte y tira el resto; como señaló en su pregunta, no siempre se garantiza que esto funcione en todos los casos y en todo el orden de las operaciones. No hay razón para pensar que el esquema de sustracción implícita de la regularización de la función zeta es mejor que cualquier otro esquema de sustracción para la regularización analítica.

Normalmente el límite de coincidencia$x'\to x$se hace antes de la integral de propiedad del tiempo, ya que simplifica las cosas. Además, el núcleo de calor a menudo se calcula a través del espacio de momento y luego es posible dejar la integral de momento hasta después de la integral de tiempo adecuada; esto significa que nunca tendrá una expresión de espacio de posición para el núcleo de calor, pero también puede simplificar los cálculos. Si se obtienen diferentes resultados por diferentes órdenes de operación, entonces hay algún tipo de convergencia condicional que no está fijada por su esquema de regularización.

El resultado de un cálculo regularizado de función zeta o cualquier otro cálculo QFT renormalizado no debe tomarse como correcto a menos que satisfaga una elección sensata de condiciones de renormalización motivadas físicamente (e identidades de Ward, etc.). Cualquier otro esquema de resta es simplemente un resultado intermedio conveniente.

Finalmente, como se indica en https://physics.stackexchange.com/a/13045/429 , el truco de escribir$\log H$como la derivada de algunos$H^{-n}$no es único Esta falta de unicidad se puede utilizar para parametrizar la ambigüedad de la regularización zeta de modo que se puedan comparar diferentes métodos y se puedan aplicar más fácilmente las condiciones de renormalización. La inadecuación de la regularización ingenua de la "función zeta" de los núcleos de calor se vuelve evidente en los cálculos de ciclo superior.

_{1. Dicho esto, he realizado cálculos en los que la ambigüedad surge en un término finito (dimensión de mayor masa) que no está presente en la acción clásica ni es susceptible de corrección mediante ningún contratérmino renormalizable. Esta ambigüedad, al estar en un término finito, proviene de la convergencia condicional en las integrales de un lazo en sus formas no regularizadas o regularizadas. En tales casos, no estoy seguro de cómo lidiar con las ambigüedades...}

_{2. Todos los signos de igualdad deben tomarse con pinzas. Dependen del esquema de regularización y renormalización etc...}

Siempre que necesitemos evaluar la Traza del Núcleo de Calor... podemos usar la aproximación WKB para la función Theta = Traza del Núcleo de Calor, es decir, para el modelo unidimensional

$Trace(exp(-tH))= \sum _{n=0}^{\infty}exp(-tE_{n})= \iint_{R}dpdxexp(-tp^{2}-tV(x))$