¿La propagación de las incertidumbres es lineal?

No lo es, al menos no en el sentido estadístico. Lo que estás haciendo es encontrar el cambio (linealmente aproximado) en$y$obtenido al cambiar las entradas por sus desviaciones estándar. Esto está bien como una aproximación aproximada, pero puede hacerlo mejor casi sin trabajo adicional.

Si desea conocer la varianza real y la desviación estándar de$y$, la fórmula es diferente. Suponer

$$y = f(x_1, \ldots, x_n) = f_0 + \sum_{i=1}^n a_i x_i + \sum_{i=1}^n \sum_{j=i}^n b_{ij} x_i x_j + \mathcal{O}(x^3).$$ En primer lugar, podemos calcular la expectativa de $y$, $E(y) \equiv \hat{y}$, muy facilmente: $$\hat{y} = f_0 + \sum_{i=1}^n a_i \hat{x}_i + 2 \sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n b_{ij} \hat{x}_i \hat{x}_j + \sum_{i=1}^n b_{ii} E(x_i^2) + \mathcal{O}(x^3).$$ Esto se deriva del hecho de que las expectativas son lineales. Tenga en cuenta que aquí asumimos $x_i$es independiente de $x_j$, a menos que, por supuesto $i = j$; así se reparte la expectativa sobre el producto. Si sus entradas están correlacionadas, este simple análisis falla. Tenga en cuenta también que esto está muy cerca de lo que supondría el valor "medio" de $y$es, pero no del todo. En segundo lugar, debe tener en cuenta las expectativas de los cuadrados de las entradas que no coinciden con los cuadrados de las expectativas. Al menos la máxima "enchufe los mejores valores de $x$para obtener el mejor valor de $y$"funciona perfectamente a primer orden en $x$.

Podemos elevar al cuadrado este resultado, dando

$$\begin{align} \hat{y}^2 & = f_0^2 + 2f_0 \sum_{i=1}^n a_i \hat{x}_i + 4f_0 \sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n b_{ij} \hat{x}_i \hat{x}_j \\ & \quad \qquad + 2f_0 \sum_{i=1}^n b_{ii} E(x_i^2) + \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_i a_j \hat{x}_i \hat{x}_j + \mathcal{O}(x^3). \end{align}$$ En la misma línea, tenemos $$\begin{align} E(y^2) & = E\left(f_0^2 + 2f_0 \sum_{i=1}^n a_i x_i + 2f_0 \sum_{i=1}^n \sum_{j=i}^n b_{ij} x_i x_j + \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_i a_j x_i x_j\right) + \mathcal{O}(x^3) \\ & = f_0^2 + 2f_0 \sum_{i=1}^n a_i \hat{x}_i + 4f_0 \sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n b_{ij} \hat{x}_i \hat{x}_j + 2f_0 \sum_{i=1}^n b_{ii} E(x_i^2) \\ & \quad \qquad + 2 \sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n a_i a_j \hat{x}_i \hat{x}_j + \sum_{i=1}^n a_i^2 E(x_i^2) + \mathcal{O}(x^3). \end{align}$$

Finalmente, estamos en condiciones de calcular la varianza de$y$. esto es simplemente

$$(\Delta y)^2 \equiv E(y^2) - \hat{y}^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2 \left(E(x_i^2) - \hat{x}_i^2\right) + \mathcal{O}(x^3).$$ De hecho, este resultado se puede escribir completamente en términos de las primeras derivadas, $a_i$, y las varianzas de las entradas, $(\Delta x_i)^2$: $$(\Delta y)^2 \approx \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 (\Delta x_i)^2.$$ La desviación estándar $\Delta y$, que es lo que espera que se informe cuando vea $y = \hat{y} \pm \Delta y$, es simplemente la raíz cuadrada de esto: $$\Delta y \approx \left(\sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 (\Delta x_i)^2\right)^{1/2}.$$ Es esta fórmula la que la gente tiene en mente cuando dice cosas como "sumamos las incertidumbres en cuadratura", ya que este resultado tiene una aplicación muy amplia: se aplica siempre que tengamos una función continuamente diferenciable de entradas independientes con medias conocidas y desviaciones estándar.

La idea es que si las incertidumbres son lo suficientemente pequeñas, puede aproximar la función por su serie de Taylor.

$$f(x_i + \delta_i) \approx f(x_i) + \sum_j \frac{\partial f(x_i)}{\partial x_j} \delta_j + \sum_{j,k} \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f(x_i)}{\partial x_j \partial x_k} \delta_j \delta_k + \cdots.$$

Si descuida los términos de segundo orden, la función es una función lineal y las incertidumbres se combinan como lo harían para una función lineal. Si las incertidumbres son tan grandes que los términos de orden superior importan, entonces necesita hacer algo más complicado para propagar la incertidumbre (por ejemplo, Monte Carlo).