Corriente superficial y densidad de corriente

La siguiente discusión se refiere a la electrodinámica en tres dimensiones.

Definiciones.

Sea una superficie bidimensional$\Sigma\subset\mathbb R^3$dado, entonces una densidad de corriente superficial en$\Sigma$es una funcion$\mathbf K:\Sigma\to \mathbb R^3$. En otras palabras, es un campo vectorial en la superficie. para cada punto$p$en la superficie, representa físicamente la carga por unidad de tiempo que pasa a través de una unidad de longitud de sección transversal en la superficie.

Puedes pensar en la densidad de corriente superficial de esta manera. Considere algún punto$p$en la superficie$\Sigma$. Dejar$\gamma$ser un segmento de curva corto en$\Sigma$que pasa a través$p$. Dejar$\mathbf n$denote el vector unitario tangente a$\Sigma$en$p$pero normal para$\gamma$, entonces

$$(\mathbf K(p)\cdot\mathbf n)\mathrm{len}(\gamma)$$ aproxima la carga por unidad de tiempo que fluye sobre la superficie y pasa a través $\gamma$.

Por otro lado, una densidad de corriente (o densidad de corriente espacial como la llamas) es una función$\mathbf J:\mathbb R^3\to\mathbb R^3$. En otras palabras, es un campo vectorial. para cada punto$\mathbf x$, la densidad de corriente en ese punto representa la carga por unidad de tiempo que pasa a través de una unidad de área de sección transversal.

Puedes pensar en la densidad de corriente así. Considere algún punto$\mathbf x\in\mathbb R^3$, y deja$\alpha$denotan un pequeño segmento de superficie que pasa a través de$\mathbf x$. Dejar$\mathbf n$denote el vector unitario en$\mathbf x$normal a$\alpha$, entonces

$$(\mathbf J(\mathbf x)\cdot \mathbf n)\mathrm{area}(\alpha)$$ aproxima la carga por unidad de tiempo que pasa $\alpha$.

Informática$\mathbf J$de$\mathbf K$.

Una densidad de corriente superficial$\mathbf K$se puede escribir como una densidad de corriente$\mathbf J$que incluye deltas de Dirac. Por ejemplo, la densidad de corriente superficial de una esfera giratoria de radio$R$con velocidad angular$\omega$y con densidad de carga superficial uniforme$\sigma$fijado a él está dado en coordenadas esféricas por

$$\begin{align} \mathbf K = \sigma\omega R\sin\theta\,\hat{\boldsymbol\phi} \end{align}$$ que se puede escribir de manera equivalente como una densidad de corriente $$\begin{align} \mathbf J = \sigma\omega R\sin\theta\,\delta(r-R)\,\hat{\boldsymbol\phi} \end{align}$$