electrón que cae

Suponiendo velocidades no relativistas, la potencia radiada por una carga que acelera a una aceleración constante$a$viene dada por la fórmula de Larmor :

$$P = \frac{e^2 a^2}{6\pi \epsilon_0 c^3}$$

Hacer el cálculo correctamente es sorprendentemente complicado, pero es fácil demostrar que el efecto de la radiación sobre la caída de electrones es despreciable. Si el electrón cae una distancia$h$entonces el tiempo que demora esta dado por:

$$h = \frac{1}{2}gt^2$$

entonces:

$$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Si suponemos que el electrón se acelera a una tasa constante de$g$, la energía total radiada es simplemente potencia por tiempo o:

$$E_{rad} = \frac{e^2 g^2}{6\pi \epsilon_0 c^3} \sqrt{\frac{2h}{g}}$$

en tu pregunta$h$es 1000m, entonces:

$$E_{rad} = 7.83 \times 10^{-51}J$$

El cambio de energía potencial es, como dices, simplemente$mgh$:

$$E_{pot} = m_e g h = 8.94 \times 10^{-27} J$$

Entonces, la relación entre la energía radiada y la energía potencial es aproximadamente$10^{-24}$, y por lo tanto el efecto de la radiación sobre la caída del electrón es completamente despreciable.

Respuesta al comentario:

La potencia radiada por el electrón produce una fuerza que se opone a la aceleración de la gravedad. Suponga que podemos ignorar las desviaciones de acelerar a una tasa constante$g$, luego en poco tiempo$dt$la energía radiada es$Pdt$. La energía es fuerza por distancia ($dx$) así que para obtener la fuerza dividimos por la distancia:

$$F = P\frac{dt}{dx} = \frac{P}{v} = \frac{P}{\sqrt{2gh}}$$

usando$v^2 = 2as$. La aceleración producida por esta fuerza es sólo$F/m_e$, por lo que la aceleración neta del electrón es:

$$a_{net} = g - \frac{P}{m_e \sqrt{2gh}}$$

Así que el electrón acelera un poco más lentamente que$g$, pero la diferencia entre la aceleración y$g$es inversamente proporcional a la distancia caída, por lo que se vuelve cada vez más insignificante cuanto más cae el electrón.

Probablemente hayas notado que la ecuación anterior dice que la fuerza debe ser infinita en el momento en que sueltas la partícula. Eso es porque a medida que se acerca el momento de la liberación, ya no es seguro hacer la aproximación de que puede ignorar el cambio en la aceleración debido a la radiación.

Un electrón que cae es básicamente una corriente eléctrica minúscula y creará un campo magnético circular, que se puede calcular usando la Ley de Ampere.

A medida que el electrón acelera, este campo magnético también crece, generando un campo eléctrico perpendicular, que se puede calcular utilizando las Ecuaciones de Maxwell.

En este punto, necesitarías usar la teoría cuántica, ya que las tres cantidades son minúsculas. La teoría cuántica establece que la radiación EM se compone de fotones, los electrones libres no pueden emitir fotones individuales, porque los momentos no se suman como se requiere.