Violación de la unitaridad: significado y consecuencias.

La unitaridad es una característica central de todas las teorías cuánticas, con o sin campos. La unitaridad es simplemente la demanda de que el operador de evolución temporal$U(t_1,t_2)$desde cualquier momento$t_1$a cualquier hora$t_2$ser unitario , es decir, conservar el producto interior$(\cdot,\,\cdot)$del espacio de estados de Hilbert$\mathcal{H}$, es decir, para cualquier estado$|\psi\rangle,|\phi\rangle$,

$$(U(t_1,t_2)|\psi\rangle,U(t_1,t_2)|\phi\rangle) = (|\psi\rangle,|\phi\rangle) \quad\forall t_1,t_2$$ que fácilmente se ve que es equivalente a$U^\dagger U = \mathrm{id}_\mathcal{H}$por definición del adjunto. ¹ También es evidente que es malo que la evolución temporal no sea unitaria, porque, por ejemplo, la norma$\lvert(|\psi\rangle,|\psi\rangle)\rvert^2$es, por la regla de Born, la probabilidad de encontrar el estado (normalizado)$|\psi\rangle$en el estado$|\psi\rangle$. Es evidente que eso debería quedarse$1$a lo largo de toda la evolución del tiempo.

Además, dado que la unitaridad significa preservar la norma, y ​​la norma es la suma al cuadrado de los coeficientes en una base (que son las probabilidades de encontrar un estado en un estado base), la no unitaridad significaría que la suma de todas las probabilidades excede$1$. Una vez más, es de esperar que sea evidente que eso sería malo.

También se cumple una especie de recíproco: uno podría ver que si encontramos probabilidades (por ejemplo, para la dispersión de los estados inicial a final) que exceden$1$ en cualquier parte de la teoría, aunque todos los estados iniciales se normalizaron, entonces la evolución temporal/la teoría evidentemente no es unitaria, lo cual es, creo, el caso de la teoría de Fermi de la desintegración beta.

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^{1 No uso la notación de Dirac aquí porque oscurece que preservar el producto interno es una definición ligeramente diferente a$U^\dagger U = \mathrm{id}_\mathcal{H}$a priori.}

La unitaridad se deriva de la "conservación de la probabilidad". Debe quedar bastante claro que la evolución de la mecánica cuántica, según lo prescrito por la ecuación de Schrödinger, se debe al grupo fuertemente unitario generado por el hamiltoniano (cuando es independiente del tiempo) o, más generalmente, por el propagador unitario correspondiente (cuando el hamiltoniano es temporal). -dependiente). En cada caso, los productos escalares y, por lo tanto, las amplitudes de probabilidad se conservan en la evolución temporal. Se supone que la ecuación de Schrödinger proporciona la regla para la evolución, por lo que una violación de la unitaridad es inaceptable en el marco cuántico y cuando sucede, uno busca una solución más simple, por ejemplo, algunas suposiciones incorrectas en la configuración del modelo.

En la teoría de Fermi de$\beta$-decay, la sección transversal muestra un comportamiento divergente a escalas superiores a unos 300 GeV. Este problema se debe a una mala descripción a bajas energías (es decir, a la aproximación de la interacción de puntos). Una teoría más precisa, que involucre bosones vectoriales, evita este inconveniente.