¿Cómo puedo hacer que este modelo de caminata aleatoria cuántica de juguete sea unitario?

Dejar$\psi(k,t)$Sea la amplitud para ubicar la partícula en el sitio$k$en el momento$t$. también deja$U_{j,k}$Sea la matriz que describe su proceso, tal que

$$\psi(j, t+1) = \sum_k{U_{j,k}\psi(k,t)}$$ Entonces el proceso que usted propuso es descrito por $$U_{j,k} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \delta_{j,k-1} + \delta_{j, k+1}\right)$$ Se puede verificar de inmediato que el proceso de solicitud $U$a una amplitud inicial $\psi(k,t=0) = \delta_{k,0}$produce exactamente los estados que describiste para $t=1$y $t=2$.

El problema que tienes es que U no es unitario, ya que

$$\sum_l{U^*_{l,j}U_{l,k}} = \frac{1}{2}\sum_l{\left( \delta_{l,j-1} + \delta_{l, j+1}\right)\left( \delta_{l,k-1} + \delta_{l, k+1}\right)} = \frac{1}{2}\left( \delta_{j, k-2} + 2\delta_{j,k} + \delta_{j, k+2} \right) \neq \delta_{j,k}$$ Para un enfoque más formal, observe que U puede escribirse como la suma $$U = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(W^\dagger + W \right)$$ dónde
$$W_{j,k} = \delta_{j,k+1} \;\;\;\text{and} \;\;\; \sum_l{W^*_{j,l}W_{l,k}} = \delta_{j+1,k+1}, \;\; \sum_l{W_{j,l}W^\dagger_{l,k}} = \delta_{j,k}$$ Esto significa que $W$es unitario, ya que $$W^\dagger W = WW^\dagger = I$$ Desafortunadamente, el hecho de que $W^2 \neq W$, $\left(W^\dagger\right)^2 \neq W^\dagger$, lleva a $U^\dagger U = \frac{1}{2}\left( W^2 + \left(W^\dagger\right)^2 + W W^\dagger + W^\dagger W \right) \neq I$, como ya sabemos.

Cómo solucionarlo: no creo que necesites tomar las amplitudes como matrices. Lo que sigue no es una solución definitiva de ninguna manera, pero muestra que las cosas se pueden resolver de varias maneras.

Necesitamos un unitario conveniente$U$que implica solo saltos entre sitios adyacentes. Ya sabemos que una simple superposición de saltos de izquierda y derecha a lo largo de toda la red no funciona. Una forma de evitar esto es usar una dinámica simple en pares de sitios adyacentes. Por ejemplo: divida la red en pares que no se superpongan$(2k, 2k+1)$,$k = 0, \pm 1, \pm 2,...$y para cada par definir una matriz unitaria SU(2)$U^{(k)}$,

$$U^{(k)}_{2k,2k} = cos(\theta_k),\;\;U^{(k)}_{2k,2k+1} = sin(\theta_k)e^{i\alpha_k} \\ U^{(k)}_{2k+1,2k} = -sin(\theta_k)e^{i\alpha_k},\;\;U^{(k)}_{2k+1,2k+1} = cos(\theta_k)$$ la superposición $$W^{(+)} = \sum_k{U^{(k)}}$$ es unitario, pero actúa por separado en cada par $(2k, 2k+1)$. Dado que queremos que el proceso total mezcle sitios adyacentes en ambas direcciones, construyamos también procesos similares $V^{(k)}$para parejas $(2k-1, 2k)$, $k = 0, \pm 1, \pm 2,...$, $$V^{(k)}_{2k-1,2k-1} = cos(\theta_k),\;\;V^{(k)}_{2k-1,2k} = sin(\theta_k)e^{i\alpha_k} \\ V^{(k)}_{2k,2k-1} = -sin(\theta_k)e^{i\alpha_k},\;\;V^{(k)}_{2k,2k} = cos(\theta_k)$$ y definamos la superposición unitaria adicional $$W^{(-)} = \sum_k{V^{(k)}}$$ Ahora podemos definir el proceso de paso de tiempo unitario U como $$U = W^{(-)} W^{(+)}$$

Para ver cómo funciona en un ejemplo simple, tome$\theta_k = \frac{\pi}{4}$,$\alpha_k = 0$y$\psi(j,t=0) = \delta_{j,0}$. Entonces sí

$${\bar \psi}(j, 0) = \left[W^{(+)}\psi(t=0)\right]_j = \left[U^{(0)}\psi(t=0)\right]_j = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \delta_{j,0} - \delta_{j,1}\right)$$ tenemos para $t=1$ $$\psi(j, t=1) = \left[U\psi(t=0)\right]_j = \left[ W^{(-)}{\bar \psi}(t=0) \right]_j = \left[ \left(V^{(0)} + V^{(1)}\right) {\bar \psi}(t=0)\right]_j = \frac{1}{2}\left(\delta_{j,-1} + \delta_{j,0} - \delta_{j,1} + \delta_{j,2} \right)$$ Es una propagación ligeramente asimétrica, pero va en ambas direcciones en los sitios vecinos y conserva la probabilidad. Espero eso ayude.

Lo que estás describiendo es un paseo de Hadamard en una línea .

La caminata de Hadamard es una caminata cuántica discreta. Para hacerlo unitario, el estado del caminante tiene que estar definido no en uno sino en dos espacios: moneda (posibles direcciones de un caminante) y posición. Luego, el paseo en sí se realiza aplicando dos transformaciones unitarias.

Puede encontrar más sobre eso aquí en la sección 3.1.

He encontrado un conjunto de cuatro amplitudes que parecen funcionar. Tienes que asumir que la partícula tiene dos estados.

L Mover a la izquierda (amplitud = +1/2)

L' Mover a la izquierda y cambiar la polarización (amplitud = +1/2)

R Mover a la derecha (amplitud = +1/2)

R' Mover a la derecha y cambiar la polarización (amplitud = -1/2)

Lo he probado hasta t=3 y parece funcionar. Aunque no he probado que funcione siempre. Parece modelar una partícula que viaja en el cono de luz. Como la probabilidad de$x^2\neq t^2$parece siempre ser cero.