Ventajas computacionales de varias notaciones para electromagnetismo [cerrado]

La mayoría de las clases y libros de texto de electromagnetismo de pregrado utilizan la notación vectorial para describir las ecuaciones de Maxwell. Sin embargo, existen otras notaciones como la geometría diferencial y el cálculo geométrico que simplifican las ecuaciones y las derivaciones al usarlas. (Véase, por ejemplo, E&M y geometría: una perspectiva histórica o el artículo Teaching electromagnetic field theory using differentential forms de Warnick et al.)

Mi pregunta es la siguiente: ¿el uso de formas diferenciales o cálculo geométrico brinda alguna ventaja computacional (particularmente, papel y lápiz) en el electromagnetismo no relativista?

En otras palabras, si estoy tratando de encontrar los campos electromagnéticos y/o los potenciales de un sistema en particular, ¿estas otras notaciones producirán cálculos más cortos ? ¿Puede dar un ejemplo específico (no trivial)?

¡Hola, Ted, y bienvenido a Physics Stack Exchange! Tradicionalmente, no hemos presentado muchas preguntas sobre educación, por lo que las personas pueden considerar esto fuera de tema; si es así, podemos enviarlo a Educadores de Matemáticas . Llamaría la atención de la gente sobre esta meta pregunta sobre la actualidad de estas preguntas.
Estoy dispuesto a desechar el lenguaje de la educación. Eso es más por el contexto que por el contenido.
Esto no es suficiente para una respuesta, pero en mi experiencia, es más fácil hacer el cálculo vectorial habitual con deformaciones. No es necesario recordar cómo calcular elementos de área y volumen, incluido el cálculo de la norma de un producto cruzado para el elemento de área, todas estas cosas "se calculan solas". También el cálculo de derivadas exteriores en coordenadas curvilíneas (pero en menor medida, también en cartesianas) es mucho más fácil que con div/curl, aunque por lo que recuerdo, calcular duales hodge en coordenadas no cartesianas puede ser un fastidio.
@Uldreth Mi experiencia es similar a la tuya. Los elementos derivados y diferenciales son fáciles, pero el operador de Hodge (y el operador de retroceso) pueden ser complicados. Tal vez aquí haya una regla de "conservación del esfuerzo", pero lo pregunto porque soy un novato con estas técnicas.
También agregaría que, aunque no he hecho ningún cálculo con él, el uso de marcos móviles (para coordenadas ortogonales) de la misma manera que lo hacemos normalmente en el cálculo vectorial podría ser beneficioso. Hace que los duales hodge sean triviales, pero que los derivados exteriores sean más complicados. Sin embargo, si calcula todos los coeficientes de estructura al comienzo del cálculo, digamos, entonces diría que calcular las derivadas exteriores podría ser más una rutina que con la notación de cálculo vectorial. (En comparación con un marco de coordenadas, quiero decir)
Fui estudiante universitario hace mucho tiempo (1962-1966). En aquel entonces, el análisis tensorial/la geometría diferencial eran en su mayoría cursos de posgrado. ¿Han cambiado tanto los planes de estudio que los estudiantes de física ahora poseen esas habilidades antes de tomar E&M?
@LewisMiller Supongo que esto varía según las universidades. En mi caso (Universidad de Szeged), el análisis tensorial con índices se enseña en cursos de pregrado. Cuando estaba en ese nivel, también teníamos una geometría diferencial muy elemental pero moderna (la independiente de las coordenadas), sin embargo, fue un experimento y falló, así que ahora volvemos a los índices. Básicamente, los estudiantes no podían lidiar con eso. Eso también me incluía a mí, pero en realidad fue el curso, lo que marcó mi dirección en términos de estudios, ya que me fascinó.
@Lewis Hay un puñado de personas que argumentan que la notación vectorial agrega obstáculos conceptuales innecesarios para comprender E&M, y que estas otras representaciones son más compactas y elegantes. Entonces, están enseñando cálculo diferencial o álgebra geométrica desde el comienzo del curso. Eso está muy bien, pero soy más pragmático, así que tengo curiosidad si, al final del día, puedo calcular las cosas más fácilmente si invierto el tiempo para aprender estas otras técnicas.
@TedCorcovilos Hay ciertas cosas que se pueden calcular más fácilmente (y con elegancia) con técnicas de tensor. Los he usado ampliamente en mi investigación en física nuclear (con la ecuación de Dirac, ver: journals.aps.org/prc/abstract/10.1103/PhysRevC.14.706 ). Solo me preocupa que los estudiantes universitarios no los dominen lo suficiente como para beneficiarse de su uso.
Estoy decepcionado de que mi pregunta haya sido cerrada. Aquellos que votaron para cerrarlo, ¿pueden sugerir formas de mejorarlo en lugar de simplemente un "no" general? Creo que tengo una pregunta legítima, pero quizás no la expresé de la mejor manera.

Respuestas (2)

Aquí hay un papel para que usted reflexione sobre:

Enseñanza de la teoría del campo electromagnético usando formas diferenciales

Extracto del resumen:

las simplificaciones computacionales resultan del uso de formas: las derivadas son más fáciles de emplear en coordenadas curvilíneas, la integración se vuelve más sencilla y las familias de identidades vectoriales se reemplazan por reglas algebraicas.

Sí. Tengo ese papel en mi escritorio. Sin embargo, después de resolver algunos problemas de ejemplo con formas diferenciales y notación vectorial, mi opinión es que se requirió la misma cantidad de trabajo. Esto es exactamente lo que motivó mi pregunta.
Podría ser útil agregar eso a la pregunta.

Existen claras ventajas de las formas diferenciales, el cálculo geométrico y los cuatro vectores sobre el álgebra vectorial de Gibbs en 3D y el cálculo vectorial.

Específicamente, primero puede resolver el campo electromagnético ... y luego dejar que alguien lo divida en partes eléctricas y magnéticas más tarde si lo desea (si es que lo hace).

Por ejemplo, el campo debido a una carga puntual que no acelera puede expresar su dirección como un producto externo de 1) las cuatro velocidades de la carga que produce el campo en el evento de la intersección del cono de luz pasado del evento que tiene el campo y la línea universal de la carga que produce el campo y 2) ese vector nulo que conecta los dos eventos. En el marco de inercia instantáneamente móvil de la carga que produce el campo en ese entonces, todo es campo eléctrico. Pero no tienes que elegir un marco y calcular un campo eléctrico y un campo magnético. Simplemente puede calcular el campo de Faraday (campo electromagnético) directamente.

Estoy excluyendo específicamente los 4 vectores, etc. La pregunta es sobre hacer cálculos de una manera no relativista.
@TedCorcovilos El objetivo de enseñar una teoría relativista de una manera no relativista parece apuntar a no enseñar realmente la teoría. Pero claro, aún puede elegir un marco y calcular todo en ese marco y nunca cambiar los marcos y luego no tiene que preocuparse por la relatividad galileana versus SR. Pero aún debe calcular el campo electromagnético como si le importara la Relatividad, luego simplemente tome los componentes en su marco para obtener los campos eléctricos y magnéticos en ese marco.
Veo su punto de vista, y lo consideraría para un curso de posgrado. Pero enseñar relatividad especial y EM al mismo tiempo a estudiantes que nunca han visto ninguno de los dos parece demasiado para tragar. El libro de Purcell hace un intento, pero incluso en su caso, la SR es más una justificación que un resultado final.
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