Velocidad terminal después del lanzamiento vertical

La ecuación de movimiento considerando el arrastre lineal es (eje orientado hacia arriba)

$$m\frac{dv}{dt}=-mg-bv.$$ La velocidad terminal $v_t$se obtiene cuando $\frac{dv}{dt}=0$, es decir $$v_t=-\frac{mg}{b}.$$ Resolviendo con la condición inicial $v(0)=v_0$obtenemos $$v(t)=v_t(1-e^{-bt/m})+v_0e^{-bt/m}.$$ Si la velocidad inicial es igual (en magnitud) a la velocidad terminal, entonces $$v(t)=v_t(1-2e^{-bt/m}).$$ Entonces $v(t)=v_t$implica $0=e^{-bt/m}$. Esta igualdad se cumple sólo para $t\rightarrow\infty$, es decir, la partícula no alcanzará su velocidad terminal durante la caída.

La respuesta de Diracology es perfectamente correcta, pero creo que quizás otra forma de responder la pregunta es calcular explícitamente la velocidad de la partícula que cae a medida que vuelve a caer a la altura desde la que fue lanzada. La última ecuación de Diracology asume que la partícula puede seguir cayendo por debajo del nivel desde el que fue lanzada para siempre y que el aumento de la velocidad es monótono, por lo que vemos que la velocidad de la partícula cuando vuelve a caer a través de su altitud inicial es una cantidad distinta de cero menor que la velocidad de lanzamiento. .

Método 1 (cálculo cualitativo) : la energía cinética inicial del cuerpo es$E_0=\frac{1}{2}\,m\,v_0^2>0$. El campo de fuerza de la gravedad es conservativo. Por lo tanto, cambia$\Delta U$en el potencial gravitatorio en el momento en que el cuerpo vuelve a caer a su altura inicial es cero. La fuerza de arrastre actúa en contra de la velocidad del cuerpo en todo momento. Por lo tanto, el cuerpo realiza trabajo en el aire, de modo que cuando alcanza su altura inicial, debe haber perdido una cantidad distinta de cero.$E_d$de su energía total. Así, midiendo potenciales relativos a la altitud inicial, tenemos$E_0 - E_d + \Delta U = \frac{1}{2}m\,v_f^2$, dónde$v_f$es la velocidad buscada. Por lo tanto vemos que$v_f < v_0$y que la diferencia es distinta de cero.

Este método cualitativo tiene la ventaja de ser independiente de la forma funcional$f(v,\,\cdots)$del arrastre (por ejemplo, el arrastre de la presión del ariete varía como$v^2$y posiblemente el arrastre también podría depender de la posición); lo único que necesitamos saber es que el arrastre se opone al movimiento en todo momento.

Método 2 (cuantitativo) : escriba la ecuación de movimiento de Diracology en la forma:

$$m\,v\,\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} y} = -m\,g - b\,v$$

dónde$y$es la altitud. Así concluir

$$\frac{m}{b}(v-v_0) - \frac{m^2\,g}{b^2} \,\log\left(\frac{m\,g+b\,v}{m\,g+b\,v_0}\right) = -y$$

y encontrar la segunda solución$v_f$para$y=0$, es decir, para cuando el cuerpo vuelve a la altitud inicial$y=0$(la primera es, por supuesto$v=v_0$). Esta es una ecuación trascendental en$v$, pero se puede manipular para mostrar que$v<v_0$(escriba la condición para$y=0$en la forma$b\,(v-v_0) = m\,g\log\left(\frac{m\,g+b\,v}{m\,g+b\,v_0}\right)$y demuestre que los dos lados solo pueden tener el mismo signo si son cero ($v=v_0$, nuestra primera solución) o estrictamente$v<v_0$).

Evidentemente no, por no aumento de energía (el arrastre siempre produce trabajo negativo). Si a alguna altura positiva el objeto alcanzara su velocidad de lanzamiento (sea lo que sea, siendo la velocidad terminal es irrelevante para este argumento), habría obtenido su energía cinética inicial y habría ganado energía potencial (gravitatoria), por lo que se ha producido algún trabajo positivo. a realizar. Pero arrastrar (solo) no puede hacer eso.

(Esto básicamente también se dice en la respuesta de Rod Vance, pero creo que si existe una explicación sin fórmulas, vale la pena darla).